La semana de la cúbica: Divisibilidad de la solución

El problema de esta semana, como no podía ser de otra forma, está relacionado con ecuaciones cúbicas. Aquí os lo dejo:

Sea a la mayor solución positiva de la ecuación x^3-3x^2+1=0. Demostrar que \lfloor a^{1788} \rfloor y \lfloor a^{1988} \rfloor son ambos divisibles entre 17 (\lfloor x \rfloor denota, como siempre, la parte entera de x).

Recuerdo que lo ideal es resolver el problema mediante un procedimiento matemático. Las ayudas informáticas están muy bien, pero os pediría que no las utilizarais. Pido por favor que si alguien obtiene algún resultado (ya sea parcial o final) mediante procedimientos estrictamente informáticos no lo publique en un comentario, ya que le quitaría la gracia al problema.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Las raíces cumplen x_1\in(-1,0), x_2\in(0,1) y x_3\in(2,3) (x_3=a). Llamemos s_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n para n\geq 0: s_0=3, s_1=3, s_2=9. De hecho siempre es un entero, pues de la propia ecuación s_{n+3}=x_1^3\cdot x_1^n +x_2^3\cdot x_2^n+x_3^3\cdot x_3^n=3\cdot s_{n+2}-s_n.

    Si n es suficientemente grande tenemos que \lfloor a^n\rfloor=s_n-1, ya que x_1\in(-1,0) y x_2\in(0,1). Queda ver para qué valores de n se verifica que s_n\equiv 1\; (mod\;17). De los valores iniciales y la recurrencia

    s_0\equiv 3(17), s_1\equiv 3(17), s_2\equiv 9(17), s_3\equiv 7(17),

    s_4\equiv 1(17), s_5\equiv 11(17), s_6\equiv 9(17), s_7\equiv 9(17),

    s_8\equiv 16(17), s_9\equiv 5(17), s_{10}\equiv 6(17), s_{11}\equiv 2(17),

    s_{12}\equiv 1(17), s_{13}\equiv 14(17), s_{14}\equiv 6(17), s_{15}\equiv 0(17)

    y aquí se repite el ciclo: s_n\equiv s_{n+16} (17). Por último, 1788 \equiv 12 (16) y 1988\equiv 4 (16), y precisamente s_{12}, s_4 son congruentes con 1 módulo 17.

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  2. M, ¿Lo podrías explicar un poco? Es que hay algunas partes en las que me he perdido. Por ejemplo, ¿De dónde sacas que las soluciones x1, x2 y x3 están en los rangos que mencionas? ¿De dónde sale que s_1 = 3? Por lo que yo veo, s_1 = x_1 + x_2 + x_3, pero no veo que esa suma tenga que ser forzosamente 3. No quiero decir con esto que esté mal, ni muchísimo menos, pero es que no me queda claro eso.

    saludos!

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  3. Jose, creo que las soluciones deduce que está en ese rango aplicando, por ejemplo, el teorema de bolzano.
    Ya en lo otro que comentas sí que me pierdo jeje
    Un saludo

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  4. OK, Jose, disculpa lo escueto de la respuesta. Era tarde, y ya se sabe…

    1) Como dice Toniii los intervalos se deducen directamente del teorema de Bolzano. De hecho, usando la fórmula para la ecuación cúbica (que imagino que pronto aparecerá en un post), podemos calcularlas exactamente en forma real

    x_1=1+2cos(7\pi/9), x_2=1+2cos(5\pi/9), x_3=1+2cos(\pi/9).

    2) Que la suma s_1=3 es consecuencia de las relaciones de Cardano (en este caso, s_1 coincide con el opuesto del término de segundo grado en la ecuación original).

    Que la suma s_2=9, es consecuencia de que x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2\cdot(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=3^2-2\cdot 0=9 (donde el segundo paréntesis vale cero también por las relaciones de Cardano, en este caso con el término de grado 1 en la ecuación original).

    3) Entonces lo gracioso es que siempre las sumas de las potencias son números naturales, como se puede demostrar por inducción. Partiendo de que para cada raíz se verifica x_i^3=3x_i^2-1, se llega a que s_{n+3}=3s_{n+2}-s_n, y así podemos calcular todas las sumas.

    4) Pero es que si n es grande (digamos n\geq 10), el valor de las sumas lo aporta básicamente x_3^n, pues los otros dos valores tienden a cero. Esto nos da que s_n=\lfloor x_3^n\rfloor+1 (porque ambas cantidades son enteras).

    5) Para ver cuando \lfloor x_3^n\rfloor\equiv 0(17), calculamos con la recurrencia los valores de s_n (17) y vemos cuándo da 1.

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  5. Muchas gracias M!! Es que pensaba que se resolvía el problema sin utilizar los valores de las soluciones calculados. A ver si me pongo a ver lo de las relaciones de Cardano.

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  6. Me ha parecido interesantísimo este problema. ¿Podriais recomendarme algún buen libro que explique detalladamente ecuaciones cúbicas y las relaciones de Cardano?
    Muchas gracias de antemano

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  7. Un libro bastante ameno para todo este asunto de resolución de ecuaciones, construcción de polígonos regulares, construcciones con regla y compás e irresolubilidad de los tres problemas clásicos es “Galois theory for beginners. A historical perspective”, de Jörg Bewersdorff (AMS, 2006). En particular en la página 20 aparece la fórmula que da las soluciones de la cúbica en el caso de que las tres sean reales:

    http://books.google.es/books?id=RSC2hpPQ0LQC&dq=galois+theory+for+beginners+a+historical+perspective&printsec=frontcover&source=bn&hl=es&ei=02dGSonFGtSZjAf2-51j&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5

    Para las relaciones de Cardano-Vieta:

    http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html

    http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formulas

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