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La serie armónica y la serie de los inversos de los números primos

Introducción

En algún post de Gaussianos se ha hablado ya de la serie armónica:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}}$

En este post vamos a ver una sencilla demostración de la divergencia de esta serie¹. Además veremos también una demostración (algo más complicada) de la divergencia de la serie de los inversos de los números primos, hecho que además del interés que tiene por sí mismo sirve de demostración (una más) de la infinitud del conjunto de los números primos.

Demostración de la divergencia de la serie armónica

La demostración que vamos a ver sobre la divergencia de la serie armónica es bastante sencilla y al parecer se la debemos a Nicolás Oresme:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}=1+\left [ \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ] + \left [ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right ]+ \cdots > 1+ \left [ \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac {1}{4} + \frac{1}{4} \right ] + \left [ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right ] + \cdots=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots}$

Hemos obtenido que la serie armónica es mayor que una serie que es claramente divergente. Por tanto la misma serie armónica debe ser también divergente.

Divergencia de la suma de los inversos de los números primos

Aclarando desde este momento que si una suma o producto tiene como índice $p$ nos referiremos al conjunto de los números primos vamos a demostrar que $\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}}$ es divergente. Como se tiene que:

$\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p} < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}$

no podemos utilizar de forma tan directa la divergencia de la serie armónica para comprobar este resultado, aunque este hecho será importante para dicha demostración. Otro resultado fundamental para la misma es lo que se conoce como fórmula del producto de Euler, que establece lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}}$

La demostración de este hecho podéis verla aquí.

Tomando $s=1$ en esta fórmula obtenemos la igualdad que vamos a utilizar en nuestra demostración:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}}$

Vamos ya con nuestra demostración:

$\displaystyle{\ln \left (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \right )=\ln \left (\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}} \right )=\sum_p \ln \left ( \frac{1}{1-p^{-1}} \right )=\sum_p -\ln(1-p^{-1})=*}$

Utilizando ahora que Taylor y sus desarrollos en serie nos dicen que $\displaystyle{\ln(1-x) = -\sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n}$ para $|x| < 1$ :

$\begin{matrix} \displaystyle{*=\sum_p \left (\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots \right)=\sum_p \left (\frac{1}{p} \right )+\sum_p \frac{1}{p^2} \left (\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\cdots \right ) <} \\ \displaystyle{< \sum_p \left (\frac{1}{p} \right ) +\sum_p \frac{1}{p^2} \left ( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right )=\sum_p \left ( \frac{1}{p} \right )+\sum_p \frac{1}{p(p-1)}=\sum_p \left ( \frac{1}{p} \right )+C} \end{matrix}$

siendo $C<1$ una cierta constante ya que esa serie sí es convergente (en este último desarrollo hemos sustituido $2,3, \ldots$ por $1$ y hemos utilizado la fórmula de la suma de una progresión geométrica).

Tomando límite ahora obtenemos el resultado perseguido:

$\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}=+\infty}$

Es decir, la suma de los inversos de los números primos es divergente.

Extra

Como dijimos anteriormente este resultado nos sirve como demostración de la infinitud de los números primos. ¿Por qué? Pues muy sencillo. Si esa serie tiene cómo límite $+\infty$ significa, entre otras cosas, que está formada por infinitos términos. Como cada término corresponde a números primos distintos obtenemos que existen infinitos números primos.

Fuentes:

Harmonic series en la Wikipedia (inglés)
Proof that the sum of the reciprocals of the primes diverges en la Wikipedia (inglés)

¹: Una serie numérica infinita se dice divergente si el límite de su sucesión de sumas parciales es $\infty$ .

Escrito por ^DiAmOnD^, 10 de Diciembre de 2007 en Demostraciones, Números primos

37 comentarios

Trackback para este post

Omar-P - 10 de Diciembre de 2007 12:17

En cambio la suma de los inversos de los números primos gemelos es convergente.
E - 10 de Diciembre de 2007 12:42

Una pequeña apreción: generalmente es más preciso entender la divergencia de una serie en el sentido de “no convergencia”. Divergencia es algo más general que divergencia a $\infty$ .

Omar-P, ¿puedes indicar la prueba de que la serie de inversos de los primos gemelos converge? Gracias de antemano.
Omar-P - 10 de Diciembre de 2007 13:09

Creo que la prueba está en Brun, V. Bull. Sci. Math. 43, 124-128, 1919.
La serie converge hacia el valor 1.90216058… A este valor se lo llama constante de Brun, o constante de Brun B_2.
Tito Eliatron - 10 de Diciembre de 2007 14:09

para E: Las sucesiones, y por consiguiente las Series, reales pueden ser:

CONVERGENTES, es decir, con límite real
DIVERGENTES, es decir, con límite $\infty$
OSCILANTES, es decir, ni convergentes ni divergentes, como la sucesión: $(-1)^n$
Asier - 10 de Diciembre de 2007 14:34

¿y divergente oscilante? ejemplo: $(-2)^n$
Guille - 10 de Diciembre de 2007 15:32

Asier:

Si oscila, por muy grande que se hagan los valores positivos o negativos que van alternando, la serie no diverge hacia ningún valor real o a infinito.

Tito Eliatron:

El límite de la serie armónica es 0, pero sin embargo la serie diverge. En este caso lo que dices no vale como “regla”.
^DiAmOnD^ - 10 de Diciembre de 2007 15:51

Guille: la sucesión $\left ( \frac{1}{n} \right )$ tiene límite ${0}$ pero la serie determinada por ella (la serie armónica) diverge. Tito Eliatron estaba dando una clasificación para las sucesiones y por tanto para las series (recuerdo que una serie es una sucesión definida de cierta forma), pero una cosa es una sucesión o otra la serie determinada por ella.
Asier - 10 de Diciembre de 2007 17:25

En cuanto al extra final acerca de la infinitud de los números primos, la divergencia de la serie armónica y la fórmula del producto de Euler ya son suficientes para demostrarlo, dado que el producto para primos tiene que contener infinitos términos.
Domingo H.A. - 10 de Diciembre de 2007 19:33

Una de las demostraciones que a mí más me gusta de la divergencia de la serie armónica se debe a Pietro Mengoli sobre 1647.

Partiendo del hecho trivial $\cfrac{1}{n-1}+\cfrac{1}{n}+\cfrac{1}{n+1}\succ \cfrac{3}{n}$ , para $n\geq 2$ , Mengoli razona por reducción al absurdo del modo siguiente:

si $S=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+\ldots= 1+\left(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}\right)+\left(\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}\right)+\left(\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{10}\right)\ldots$ fuese un número (finito)

entonces por la acotación anterior se tendría que

$S\succ 1+\cfrac{3}{3}+\cfrac{3}{6}+\cfrac{3}{9}+\cfrac{3}{12}+\ldots=1+1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+\ldots=1+S$ ,

que es imposible si $S$ es finito.

Tres cosas más:

1) Hasta hace poco desconocía el motivo de que a dicha serie se le denominase “armónica”. Ignorante de mí, resulta que todo se debe a que el término $n-$ ésimo ( $\frac{1}{n}$ ) es igual a la media armónica de los términos contiguos ( $\frac{1}{n-1}$ y $\frac{1}{n+1}$ ).

2) No quisiera discrepar, pero me parece a mí que la clasificación en convergente-divergente-oscilante no es muy rigurosa. Cauchy en su Course d’analyse define la convergencia de una serie e indica que una serie no convergente es divergente. Otra cosa es que queramos dar ejemplos ilustrativos de diferentes tipos de divergencia (divergencia a infinito, oscilación,…), lo cual tiene una muy diversa casuística.

3) El hecho de que la serie de los inversos de los primos gemelos converja, se debe a que el número de primos gemelos inferiores a un natural $N$ dado es del orden $\frac{N}{log^2(N)}$ . Sobre esto ya habíamos comentamos algo someramente en http://gaussianos.com/probabilidad-de-escoger-dos-numeros-coprimos/
Domingo H.A. - 10 de Diciembre de 2007 19:45

en mi comentario 3) hay una errata. En lugar de decir “el número de primos gemelos inferiores a un natural N dado es del orden” debe decir “el número de primos gemelos inferiores a un natural dado es menor que”.
Domingo H.A. - 10 de Diciembre de 2007 19:48

Teorema de Brun (1919): http://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem
Tito Eliatron - 10 de Diciembre de 2007 20:12

En la Universidad de Sevilla es la Clasificación que nos dieron. De hecho, creo que es la que viene en el CALCULUS de Apostol, pero como no lo tengo a mano ahora… pues nada, ya os lo cometnaré.

De todas formas, rigurosa SI que es, pues son 3 categoráismutuamente excluyentes, que guste más o menos es otra cosa.

Y una serie se define como la sucesión de sus sumas parciales (coño, hoy mismo lo he explicado en mi clase… que casualidad) opor lo tanto, la misma clasificación que hayapara sucesiones la habrá para series.

Otra cosa son las Series de Terminos Positivos, que como su sucesión de sumas parciales es creciente, nunca va a ser OSCILANTE, es decir, o convergerá o divergerá a $\infty$

PD: Si entráis en Google Books y escribís CONVERGENTE DIVERGENTE OSCILANTE os saldrán varios resultados delibros en los que se utiliza esta clasificación de las sucesiones y de las series
Toro Sentado - 10 de Diciembre de 2007 20:30

¿Alguien sabe por qué se llama serie armónica a la serie de la que hablamos?
Domingo H.A. - 10 de Diciembre de 2007 20:40

Toro Sentado, hasta donde mi conocimiento alcanza, hay al menos dos razones para ese nombre. Una la expuse en el comentario 1) de arriba. Otra, porque precisamente los términos $\frac{1}{n}$ corresponden a los armónicos en música http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_arm%C3%B3nica_(m%C3%BAsica)
Domingo H.A. - 10 de Diciembre de 2007 22:16

Jakob Bernoulli dio una prueba alternativa de divergencia similar a la de Nicolás de Oresme. Para ello consideró que

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n^2}\geq \frac{n^2-n}{n^2}=1-\frac{1}{n}$ ,

y de aquí que $\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n^2}\geq 1$ , para cada natural n. Así al sumar los términos de la serie armónica sumaremos una infinidad de unos.

Otra prueba que surgió por entonces (no recuerdo ahora a quien se debe) estaba relacionada con el desarrollo en serie del logaritmo:

$log(1-x)=-\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \cfrac{x^n}{n}$ , para $|x|\prec 1.$

Basta hacer que $x\to 1^-$ para obtener el resultado.

Bueno, y otra prueba que me parece curiosa es la siguiente:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n} \cfrac{1}{k}\geq \displaystyle{\sum_{k=1}^n} log\left(1+\cfrac{1}{k}\right)=log(n+1)$ (la suma de logaritmos que aparece es telescópica)
Domingo H.A. - 11 de Diciembre de 2007 0:37

En relación con la última acotación que poníamos:

$a_n:=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{k}}-log(n+1)\geq 0$

es fácil ver que esta sucesión de números $\{a_n\}$ es creciente y acotada superiormente por 1. Su límite es la famosa constante de Euler(-Mascheroni).

Ya hemos comentado que tanto la serie armónica como la serie de los inversos de los primos divergen, pero que si sólo se consideran los inversos de los primos gemelos entonces hay convergencia. Asimismo, la serie de los inversos de las potencias $k-$ ésimas converge.

Con permiso del administrador, propongo que estudiemos qué ocurre con la serie de los inversos de los números libres de cuadrados (”números sin potencias la factorización”)

¿Converge o no la serie $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\ldots$ ? En caso de que haya convergencia, estimar (o evaluar) su límite.
Omar-P - 11 de Diciembre de 2007 1:21

Me parece una buena idea. Justamente yo iba a preguntarles si tienen datos sobre las series de la suma de los recíprocos de las siguientes secuencias relacionadas con los números primos:
Números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12,…
Noprimos: 1, 4, 6, 8, 9, 10,…
Primos aislados: 2, 23, 37, 47, 53, 67,…
Primos aislados impares: 23, 37, 47, 53, 67, 79,…
¿Divergen o convergen? ¿Existen constantes?
Saludos.
Asier - 11 de Diciembre de 2007 10:20

En cuanto a la serie que planteas, Domingo, se ve claramente que diverge, pues incluye a la suma de los inversos de los primos.

Omar-P: los compuestos y no primos también divergen claramente. Para comprobarlo basta por ejemplo con sacar 1/2 como factor común. En cuanto a los primos aislados, no entiendo a lo que te refieres.
Omar-P - 11 de Diciembre de 2007 10:44

Asier: me refiero a los single, isolated or non-twin primes. (En castellano: los primos que no son gemelos). Nota: Hay 2 sucesiones. La primera incluye al número 2. La segunda contiene unicamente a los miembros impares de la anterior (Odd isolated primes). Saludos.
Omar-P - 11 de Diciembre de 2007 10:51

También se podría investigar que ocurre con los primos impares (Odd primes): 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
Asier - 11 de Diciembre de 2007 10:59

Pues si la suma de los inversos de los primos diverge pero la suma de los inversos de los primos gemelos converge, entonces está claro que la suma de los inversos de los primos aislados diverge. (primos = aislados + gemelos)

El hecho de que el 2 (o cualquier otra cantidad de números aislados) esté incluido no modifica la convergencia.
Omar-P - 11 de Diciembre de 2007 11:56

Una paradoja: Si los primos aislados son infinitos entonces los primos gemelos también lo son, pues si los primos gemelos no fueran infinitos entonces tampoco lo serián los primos aislados, ya que a partir de cierto número no habría distinción alguna entre éstos dos tipos de primos.
fede - 11 de Diciembre de 2007 12:06

A mí una de las demostraciones matemáticas que más me gustan es la demostración de Erdos de la divergencia de inversos de los primos. (segunda demostración de las que aparecen aquí)

No usa ni logaritmos ni la divergencia de la serie armónica, que se obtiene como corolario inmediato.
fede - 11 de Diciembre de 2007 16:16

En la serie armónica cada término es media armónica entre los dos adyacentes.

Sobre el origen del nombre ‘media armónica’ tenemos una noticia o leyenda que cuenta Jámblico (In Nicom. arithm. 100.19,24):

“Antiguamente, en el tiempo de Pitágoras y de los matemáticos de su escuela, había tres mediadades solamente: la aritmética, la geométrica y una tercera entonces llamada subcontraria pero que fué llamada armónica por el círculo de Arquitas e Hipaso,
porque parecía proporcionar razones relativas a la armonía y la melodía.”

Fuente: Ivor Thomas, “Greek Mathematical Works. I. Thales to Euclid”, pag 111.
Omar-P - 11 de Diciembre de 2007 16:19

¡Grande fede!
Domingo H.A. - 11 de Diciembre de 2007 16:58

Excelente, fede!!
Domingo H.A. - 11 de Diciembre de 2007 17:15

Dejo por aquí otra prueba de que la serie armónica diverge:

Llamemos $S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{k}}$ . Es un ejercicio sencillo (de inducción) ver que $S_{2^m}\geq 1+\frac{m}{2}$ . Con esto, es obvia la divergencia
Domingo H.A. - 11 de Diciembre de 2007 17:42

Asier, la prueba que das de la divergencia de la serie de inversos de los números libres de cuadrados es tan diáfana como indiscutible.

Históricamente, la divergencia de la serie de los inversos de los primos es posterior a la divergencia de la primera serie.

Parece ser que la prueba que voy a indicar ahora es anterior:

Cualquier natural n se puede expresar como $n=a^2\cdot b$ siendo $b$ libre de cuadrados. Entonces

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\leq \displaystyle{\sum_{a=1}^n \frac{1}{a^2}}\cdot\displaystyle{\sum_{b\;{\rm libre\;de\;cuadrados}} \frac{1}{b}}\leq \cfrac{\pi^2}{6}\cdot \displaystyle{\sum_{b\;{\rm libre\;de\;cuadrados}}\cfrac{1}{b}}$

y de aquí que la serie debe diverger por comparación con la armónica. Aquí usamos el conocimiento de que la serie de los inversos cuadrados converge (sin necesidad de conocer su valor), que es anterior al conocimiento de la divergencia de la serie de inversos de los primos.
Domingo H.A. - 11 de Diciembre de 2007 17:44

Para seguir con este tema un poco más, propongo que demostremos las estimaciones siguientes (que conducen a la constante de Euler-Mascheroni)

$ln\;(n+1)\prec S_n\prec 1+ln\;(n+1),\quad n\geq 1$ , con $S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{k}}$ y $ln$ el logaritmo natural.
Guille - 12 de Diciembre de 2007 2:58

Yo me refería a que en Cálculo, la mayoría en clase se tiraba de cabeza a calcular el límite y decía: “la serie converge porque el límite es 0″ y el profesor decia: NOOOO (cuando me reía jaja).

La distinción me parece correcta. Es la que siempre he estudiado y está en muchos libros de cálculo: Calculus, Salas-Hille, Stewart, \displaystyle{Burgos, …

Qué lástima, a pesar de la matrícula que me cayó en Cálculo no me acuerdo ahora de mucho :P, pero recuerdo que la parte de las series/sucesiones, teoremas relacionados con ellos y demás estaban bastante chulos (regla del sandwich, cómo te hecho de menos).

Como curiosidad sobre la armónica, la serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}}$ convergía si $\alpha$ > 1.
Guille - 12 de Diciembre de 2007 3:02

J**** qué mal escribo….
Omar-P - 12 de Diciembre de 2007 19:01

Gracias, Asier, por tus respuestas.
Asier - 23 de Diciembre de 2007 0:58

Para demostrar las inecuaciones tan interesantes que propones, Domingo, se me ha ocurrido lo siguiente:

Empiezo por probar que: $\displaystyle ln(n+1) - ln(n) \prec \frac{1}{n} \ \ (1)$

Desarrollamos la inecuación de la siguiente manera:

$\displaystyle ln(n+1) \prec \frac{1}{n} + ln(n) \Rightarrow n\cdot ln(n+1) \prec 1 + n \cdot ln(n) \Rightarrow (n+1)^n \prec e \cdot n^n \Rightarrow$ $\displaystyle \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n \prec e$

Esta última inecuación es cierta debido a que $e$ se define como: $\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{n+1}{n} \right )^n \$ . Por lo tanto (1) es cierto.

Por lo tanto, sumando de 1 a n: $\displaystyle \left [ ln(n+1) - ln(n) \right ]+ \left [ ln(n) - ln(n-1) \right ] + \left [ ln(n-1) - ln(n-2) \right ] + \dots + \left [ ln(2) - ln(1) \right ] \prec \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-2} + \dots + \frac{1}{2} + 1$
Simplificando nos queda una de las inecuaciones: $\displaystyle ln(n+1) \prec \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \ (2)$

Para la segunda desigualdad, teniendo en mente la representación gráfica de la función 1/x, es fácil ver que:
$\displaystyle ln(n+1) = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{x} dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{x} dx + \dots + \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx \succ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n+1}$
Sumando 1 a cada lado nos queda: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \prec 1 + ln(n+1) \ (3)$

Por lo que veo en este último desarrollo es posible afinar algo más la inecuación tomando $ln(n)$ en lugar de $ln(n+1)$ siempre que n sea mayor que 1:
$\displaystyle ln(n+1) \prec \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \prec 1 + ln(n) \ \ \forall n \ge 2$
Domingo H.A. - 23 de Diciembre de 2007 12:19

Sí señor, Asier, muy bien. Aunque hay un detalle menor incorrecto cuando pruebas (3), la idea es buena.

Yo para para probar (1) había usado (en mi último comentario del día 10 de diciembre) que $e^x\succ 1+x,\;\;\forall x\succ 0$ , y entonces eligiendo $x=1/n$ y tomando logaritmos sale directo. Y efectivamente obtuve (2) a través de una suma telescópica de logaritmos.

Para probar (3), efectivamente se acota

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{x}}=1+\displaystyle{\sum_{k=2}^n \cfrac{1}{x}}\prec 1+\displaystyle{\int_1^n \cfrac{1}{x}}=1+ln\;n$

Efectivamente se puede mejorar la estimación, pero acoté $S_n\prec 1+ln\;(n+1)$ para dejar el logaritmo evaluado en un mismo argumento.

Esto nos conduce a ver que la sucesión que define la constante de Euler ( $\gamma$ ) está acotada y estrictamente creciente (y por tanto posee un límite). ¿Alguien quiere indicar los detalles de esto último?

Saludos y felices fiestas a todos.
Asier - 23 de Diciembre de 2007 13:46

No acabo de ver ese detalle incorrecto al que te refieres, Domingo, podrías indicármelo, por favor?
Domingo H.A. - 23 de Diciembre de 2007 14:17

Asier, nada hombre, simplemente en (3), que el sumatorio que indicas debe llegar hasta n+1 (en vez de hasta n), y luego haces bien en reajustar los índices y ya está…está todo muy bien trabajado y ese ínfimo detalle no desmerece en absoluto tu esfuerzo.
Asier - 23 de Diciembre de 2007 16:56

Ah, vale, gracias por aclararlo, pero lo había hecho a propósito para que la inecuación fuera la que necesitamos para la demostración, dado que si es cierto para n+1 también tiene que serlo para n, y así, junto con la inecuación (2) ya tenemos la inecuación exactamente como la planteaste.

¡Felices fiestas!

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