La singular belleza de las demostraciones visuales (II)

Ya hemos visto en Gaussianos que las demostraciones visuales tienen una belleza especial, además de ser tremendamente descriptivas del resultado que se quiere demostrar.

Lo hemos visto con el teorema de Pitágoras, aquí y aquí, con las potencias de un binomio, con algunas sumas infinitas o con segmentos y rectas hace bien poco.

Hoy os traigo dos demostraciones gráficas relacionadas con series que aparecieron en el primer post sobre demostraciones visuales que he visto en el Tumblr de Matt Henderson.

Pero antes un previo. Como ya vimos en ese primer post sobre demostraciones visuales, y también cuando hablamos de las cervezas geométricas, la suma de una serie geométrica de razón a (con |a| < 1, para que esa suma exista), es:

\displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n=\cfrac{a^{\Box}}{1-a}}

donde en \Box hay que escribir el término en el que comienza la serie. Para los dos casos que vamos a ver partiremos de que la serie comienza en \Box=1.

Vamos ahora con nuestras dos demostraciones visuales:

  • Suma de los inversos de las potencias de 3

    Tomando a=\textstyle{\frac{1}{3}}, obtenemos que:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{3^n}=\cfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\cfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\cfrac{1}{2}}

    La demostración visual que se puede ver en la imagen inferior parte de un triángulo equilátero. Dibujamos su baricentro, dividiéndolo así en tres partes iguales. Nos quedamos con una de ellas. Tomamos una de las partes que no hemos tomado, la dividimos a su vez en tres partes y nos volvemos a quedar con una. Y así sucesivamente, como se ve en la imagen:

    Como se puede comprobar a partir de la misma, al final lo que obtenemos es la mitad del triángulo, es decir, \textstyle{\frac{1}{2}}, lo que nos decían los cálculos.

    Podéis verla en este post del Tumblr de Matt.

  • Suma de los inversos de las potencias de 4

    Tomando ahora a=\textstyle{\frac{1}{4}}, obtenemos que:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{4^n}=\cfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\cfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\cfrac{1}{3}}

    Para la demostración visual partimos también de un triángulo equilátero, en el que uniendo los puntos medios de los lados dibujamos otro triángulo equilátero, que además sirve para dividir el inicial en cuatro triángulos iguales. Tomamos uno de ellos, pero no completo, sino en dos mitades (la de la izquierda y la de la derecha en la imagen). Después tomamos el triángulo central, lo dividimos igual que antes y nos quedamos con el triángulo de abajo completo. Realizando este proceso indefinidamente llegamos a lo que se ve en la siguiente imagen:

    En ella se ve claramente que la parte que acaba coloreada de rojo es exactamente \textstyle{\frac{1}{3}} del total (una de las tres partes iguales en las que habíamos dividido el triángulo para la demostración visual del punto anterior).

    Esta última demostración visual podéis verla en este otro post del Tumblr de Matt.


¿Qué otras demostraciones visuales de alguno de estos tipos conocéis? Los comentarios son vuestros.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. La suma de la progresión geométrica de razón 1/3 me encanta, es mucho más natural que la mía:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Suma_progresion_geometrica_1_3.html

    aparte de que sumando los lados vérticales de los triángulos rojos también se ve que

    2/3 + 2/9 + 2/27 + … = 1

    Sin embargo, para la de razón 1/4 me quedo mejor con ésta:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Suma_progresion_geometrica_1_4.html

    Saludos desde una coruña con un verano excesivamente suave …

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  2. Muy buenas, mas bellas que las anteriores todavia!
    Se que no va al tema, pero un dia como hoy por los inicios de 1600 nacía Pierre de Fermat. ¿No se lo puede honrar con algun post?

    Saludos!

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