La Sociedad del 12

El 12, mi número favorito y día del mes de marzo en el que estamos, tiene, entre otras, una característica que le hace ser enormemente interesante si lo comparamos con los números enteros positivos que tiene cerca: que tiene muchos más divisores que ellos. Por esta razón, el 12 es uno de los más indicados para utilizarlo como base de numeración. ¿Y de qué manera podemos honrarlo y promocionar su uso y sus interesantes propiedades? Muy sencillo: creando una sociedad en su honor. Bueno, en realidad no solamente una, sino varias.

Pero comencemos por el principio: ¿por qué es tan interesante el 12? Bueno, ya hemos comentado que tiene una gran cantidad de divisores comparándolo con los enteros positivos cercanos a él. Sin contar al propio número, el 12 tiene como divisores al 1, al 2, al 3, al 4 y al 6. Si lo comparamos con el 10, el que usamos como base de numeración actualmente, que solamente tiene al 1, al 2 y al 5, está claro que el 12 sale victorioso. Esto, por poner un ejemplo, es muy interesante a la hora de medir, ya que si dividimos una unidad en 12 partes nos aparecen marcadas las fracciones 1/4, 1/2, 3/4, 1/3 y 2/3, cosa que con el 10 no ocurre.

De hecho históricamente siempre se ha tenido en buena consideración al 12. Y en la actualidad lo seguimos usando: nuestro año se divide en 12 meses, nuestro día está dividido en 24 horas (el doble de 12) y los relojes analógicos tiene 12 horas, se sigue usando la docena como unidad de medida en algunas zonas y algunos productos…

Pero volvamos al tema de este post. En 1934, Frank Emerson Andrews, un escritor dedicado a temas muy diversos, descubrió estas interesantes propiedades del 12 y se dio cuenta de las ventajas que tendría volver a un sistema de numeración con 12 como base. Escribió un artículo sobre esto, que envió a varias publicaciones, siendo rechazado en todas. Al final se lo aceptaron en The Atlantic Monthly, publicándose como An excursion in numbers en octubre de 1934. Y ahí comenzó todo.

Se recibieron gran cantidad de mensajes de apoyo, así como aportando ideas. El tema fue avanzando y la colaboración entre varias personas, Andrews entre ellas, llevó a la creación en 1944 de The Duodecimal Society of America (de la cual el propio Frank Emerson Andrews fue el primer Presidente y miembro nº 1), junto con la cual también se creó The Duodecimal Bulletin, publicación mediante la cual se difundirían los artículos relacionados con la sociedad.

A partir de aquí el tema se sigue expandiendo: en 1959 se crea The Duodecimal Society of Great Britain, y en 1960 se celebra el primer congreso duodecimal: First International Duodecimal Conference. Actualmente las dos sociedades siguen existiendo, aunque se denominan The Dozenal Society of America (DSA) y The Dozenal Society of Great Britain (DSGB) y persiguen el mismo objetivo: llamar la atención sobre las ventajas del sistema de numeración en base 12 respecto al de base 10 que utilizamos habitualmente. En este enlace (pdf) podéis ver más datos sobre la historia de estas sociedades.

Por cierto, The Duodecimal Bulletin se sigue publicando. Sale dos veces al año y se distribuye en formato electrónico entre todos los miembros de la DSA. Además se sube en pdf a la web de la propia DSA. Aquí tenéis la portada del primer número que apareció en 2010, el Vol. 4E, Nº 1, Año 11E6:

¿Qué características tendría este sistema? Pues, sin meternos profundamente en el tema, para comenzar tendría como base doce números, por los diez del decimal. Tendríamos los habituales del 0 al 9, y luego dos más (que corresponderían al 10 y al 11), siendo el 10 duodecimal nuestro 12. En principio se utilizaron los siguientes símbolos:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X,E

aunque actualmente se utilizan otros. Contaríamos de la siguiente forma:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X,E,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,1X,1E,20, \ldots

que se corresponden en numeración decimal, respectivamente, con:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24, \ldots

Las operaciones serían iguales, pero contando con estos nuevos símbolos. Por ejemplo, 2+3 sigue siendo igual a 5, pero 5+6 ahora es igual a E y 7+5 es igual a 10. Igual con la multiplicación: 5·2 es X y 7·2 es 12 (el diez duodecimal más dos). ¿Y cuánto sería 7·X? Pues 5X (cinco veces el diez duodecimal más X). Aquí tenéis un conversor duodecimal-decimal (y viceversa) que utiliza * para X y # para E.

Como curiosidades finales sobre los miembros, comentar que Isaac Asimov fue el miembro 293 de la DSA y que el matemático estadounidense John Selfridge, autor de 14 trabajos junto a Paul Erdös, fue vicepresidente también de la DSA.


Fuentes y enlaces relacionados:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Gabriel, pues el caso es que no sé quién fue el miembro número 12, ya que no encuentro un listado exhaustivo de miembros y en el pdf sobre la historia de la sociedad que enlazo en el artículo no viene el miembro 12. Si alguien lo encuentra sería curioso saber quién fue :).

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  2. Esto me parece tan divertido, que también hablaba del 60 como heredero de estas propiedades de divisibilidad del 12 en mi último libro.

    Por intentar aportar algo, se pueden contar docenas con una mano, contando con el pulgar las falanges de los otros cuatro dedos.

    Y para los atrevidos, si cuentas las docenas que vas contando con los dedos de la otra mano puedes contar hasta sesenta.

    Y para los piraos… si cuentas con las falanges de la otra mano las docenas que vas llevando… pues puedes llevar una cuenta de doce docenas sin perderte.

    Saludos y gracias por los interesantes posts, como siempre.

    Javier

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  3. Una docena de felicitaciones por el artículo… Por cierto, decir que John Selfridge fue coautor de varios artículos con Paul Erdös no es demasiado significativo: al fin y al cabo hay unos 500 matemáticos con Número de Ërdos 1 🙂

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  4. Muy curioso artículo. Me encanta tu blog, te seguiré.

    Saludos.

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  5. Jaja, qué simpático…¿cuales son los múltiplos de E?…¿X y E son primos o compuestos?…¿el último teorema de fermat es verdadero…o es falso?

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  6. Se me ha ocurrido buscar números duodecimales capicúas que también resulten capicúas al pasarlos a base 10.
    Sorprendentemente hay muy pocos.
    Concretamente salvo las obviedades de los de un dígito y el X que se convierte en 11 no hay ninguno de dos dígitos, hay 7 de 3 dígitos, a saber: 131, 3X3, 434, 484, 515, 565 y 787, pero solo hay uno de cuatro dígitos que es el 4774 que, convertido da 8008. Creo no haberme dejado ninguno.
    ¿Alguien se atreve a buscar (a ser posible sin un programa de ordenador) el siguiente? Tendría en base 12 al menos cinco dígitos.
    Walton, los múltiplos de E son 1X, 29, 38, 47, 56, 65, 74…. X es compuesto porque es igual a 2*5 y E es primo porque no es divisible más que por 1 y por E.

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  7. Se nota que el sistema Duodecimal se diseño en los años 30 del pasado siglo, hoy daría lugar a equivocos el usar las letras X y E.

    La letra E se utiliza en muchos lenguajes informaticos y calculadoras para señalar la parte exponencial de un número. Por ej: 456E6 significa 456 millones.

    Asi mismo la X daría lugar a confusión con el signo de multiplicar, la incognita y el eje x.

    Una notación más moderna y común con el sistema Hexadecimal sería: la [A] para el [10] y la [B] para el [11].

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  8. Maelstrom, cierto, es 2010. Dejo aquí el cálculo para quien no sepa cómo hacerlo:

    \begin{matrix} 11E6_{(12}=6 \cdot 12^0+11 \cdot 12^1+1 \cdot 12^2+1 \cdot 12^3= \\ = 6+132+144+1728=2010 \end{matrix}

    Ignacius, parece que ahora usan algo como la chi, \chi, para X y un tres al revés para E.

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  9. Gracias a JJGJJG me acabo de dar cuenta de una cosa, y es que las reglas de la divisibilidad de E en este sistema en base 12 son las mismas que las del 3 ó 9 en base 10. Es decir, que un número es divisible por E cuando la suma de sus cifras es igual a E o uno de sus múltiplos.
    Esto es interesantísimo.

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  10. Una desventaja para el paso “radiacal” al sistema duodecimal que veo es la multipliación: no bastaría con saberse las tablas hasta el 9, si no que habría que saberse las tablas hasta el 11 (X) , y hasta el 11(X): 3*X= 29 (2*12+9)

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  11. Para dramey:

    Saberse la tabla del 11 es muy fácil. La del 12, para los frikis de esta sociedad también debe ser bastante conocida…

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  12. Yo lo veo una locura y una tremenda tonteria… y soy matematico.

    Que el doce tiene mas divisores, pues si, y 60 tiene mas, usemos pues la base 60, o 420 que tambien es divisible por 7… o los primeros 10 primos multiplicados… o 100 mejor… y así hasta el infinito.

    En USA les vendría muy bien porque son unos cabezotas y usan pies, pulgadas, yardas y millas todo mezclado para las distancias, y como no hay quien se maneje con tantas unidades inconexas y además por debajo de la pulgada notienen nada, pues terminan con tubos de 3/5 de pulgada, o sensores de cámaras de 1/8 de pulgada y esas tonterías, en lugar de usar milimetros y listo.

    ESA es la única razón de que les interese la base 12. Si se pasaran al sistema internacional de medidas y abandonasen formas mediavales de medir distancias, se acabaría su problema, porque no necesitarían manejar fracciones en su vida diaria.

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  13. ¿Y como se pronunciarían? Es decir, así como 16 es dieciseis; ¿1X es “dieciequis”? ¿Y E8, por ejemplo, como sería?

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  14. Jose Antonio, en general un número en base N es divisible entre N-1 cuando sus dígitos suman un múltiplo de N-1. Y si M es un divisor de N-1, un número en base N es divisible entre M cuando sus dígitos suman un múltiplo de M.

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  15. Siempre me he preguntado por qué en las pastelerías se piden los productos por docenas. Cuando le he preguntado a un matemático siempre me ha dado la misma respuesta: porque el doce tiene mas divisores. Pero, ¿Qué es lo que hay que dividir?.
    Pues bien la respuesta me la dio el dueño de una pastelería:
    Los pasteles se sirven en bandejas. Hay bandejas de distintos tamaños y pasteles también de distintos tamaños y si se piden por docenas o medias docenas siempre hay una forma de llenar completamente una bandeja!

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