¿Sabía que…

…los números 89 y 109 están muy ligados a la sucesión de Fibonacci?. Veámoslo:

Realicemos la división 1/89. Nos queda un número decimal periódico con 44 decimales:

1/89 = 0.01123595505617977528089887640449438202247191

Fijémonos en los decimales. Vaya, qué curioso, los seis primeros decimales (0, 1, 1, 2, 3, 5) son los seis primeros términos de la sucesión de Fibonacci (podéis ver aquí cómo se construye esta sucesión). Pero aún hay más. Dividamos ahora cada término de la sucesión por 10 elevado a la posición que ocupa en ella. Veamos qué pasa:

1 / 89 = 0.011235955… =
0 / (10 ^ 1 ) + 0.0 +
1 / (10 ^ 2 ) + 0.01 +
1 / (10 ^ 3 ) + 0.001 +
2 / (10 ^ 4 ) + 0.0002 +
3 / (10 ^ 5 ) + 0.00003 +
5 / (10 ^ 6 ) + 0.000005 +
8 / (10 ^ 7 ) + 0.0000008 +
13 / (10 ^ 8 ) + 0.00000013 +
. . . . . .

Como podemos ver los términos calculados así suman 1/89 y además nos dan los términos de la sucesión de Fibonacci en el mismo orden en el que aparecen en ella. Cuanto menos curioso.

Veamos qué pasa con el 109:

Realicemos la división 1/109. Nos queda un número decimal periódico con 108 decimales:

1/109 = 0.009174311926605504587155963302752293577981651376146788
990825688073394495412844036697247706422018348623853211

Como vemos los seis últimos decimales del período son, junto al 0, los primeros términos de la sucesión de Fibonacci colocados en orden inverso de aparición. Dividamos ahora cada término de la sucesión de Fibonacci por 10 elevado a 109 menos la posición que ocupa en la sucesión. Nos queda algo así:

1 / 109 = …18348623853211=
0 / (10 ^ 109 ) + …00000000000000 +
1 / (10 ^ 108 ) + …00000000000001 +
1 / (10 ^ 107 ) + …0000000000001 +
2 / (10 ^ 106 ) + …000000000002 +
3 / (10 ^ 105 ) + …00000000003 +
5 / (10 ^ 104 ) + …0000000005 +
8 / (10 ^ 103 ) + …000000008 +
13 / (10 ^ 102 ) + …00000013 +
. . . . . .

Nos suena, ¿verdad?. Esas operaciones suman 1/109 y también nos dan los términos de la sucesión de Fibonacci. Otra cosa cuanto menos bastante curiosa.

Y una más del 109 que me había dejado en el tintero:

Tomemos cada término de la sucesión de Fibonacci y elevémoslo a 10 elevado a su posición en la sucesión. Después sumemos y restemos alternativamente. El resultado vuelve a ser análogo a los anteriores:

1 / 109 = 0.00917431…=
0 / (10 ^ 1 ) + 0.0 +
1 / (10 ^ 2 ) – 0.01 –
1 / (10 ^ 3 ) + 0.001 +
2 / (10 ^ 4 ) – 0.0002 –
3 / (10 ^ 5 ) + 0.00003 +
5 / (10 ^ 6 ) – 0.000005 –
8 / (10 ^ 7 ) + 0.0000008 +
13 / (10 ^ 8 ) – 0.00000013 –
. . . . . .

Si sabéis más propiedades interesante de números relacionadas con esta sucesión no tenéis más que comentárnoslas.

Fuente: Golden Number

Más sobre la sucesión de Fibonacci en Gaussianos:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Es curioso, pero siempre se puede construir algo parecido. Por ejemplo con los 7 primeros primos incluido el uno:
    1 0,1
    2 0,02
    3 0,003
    5 0,0005
    7 0,00007
    11 0,000011
    la suma da 0,123581.
    La convertimos en periódica 0,123581… y luego en fracción = 123581/999999

    Lo difícil es que luego esa fracción sea un inverso, es decir, 1/x.

    Voy a ver si busco algo similar para los decimales de pi o parecido.

    Publica una respuesta
  2. Cito del artículo:

    “Dividamos ahora cada término de la sucesión por 10 elevado a la posición que ocupa en ella (…) nos dan los términos de la sucesión de Fibonacci en el mismo orden en el que aparecen en ella. Cuanto menos curioso.”

    Creo que no he entendido bien lo que quieres decir. Si dices que al dividir los términos de la sucesión entre 10 elevado a la posición que ocupan, nos dan los términos de la sucesión en orden… ¿qué tiene eso de curioso? :/ Cualquier número dividido entre una potencia de diez es ese mismo número pero en una posición decimal. Lo que sí es curioso es que la suma sea 1/89 :)

    Publica una respuesta
  3. Cierto Sergio, me expresé mla. Lo curioso es que dándonos los términos de la sucesión de Fibonacci en el mismo orden de aparición la suma dé 1/89 :) .

    Gracias por el apunte.

    Saludos :)

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Gaussianos » ¿Sabía que… - [...] Dedicado a rober, que en este comentario dijo que iba a intentar buscar algo parecido. ^DiAmOnD^, 15…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *