Las edades de los hijos

Hoy os traigo un juego sacado del blog de Juan de Mairena:

Dos matemáticos están mirando un polinomio en un pizarrón:

f(x) = anxn +…+ a1x + a0

donde no conocen los coeficientes ak, que son números enteros, ni el grado n.

-A ver, supongamos que la edad de mi hijo es una raíz.

-¿Era 7…?

-No, es más grande. Digamos que f(7)=77.

-A ver, probemos con un número más grande, la edad de mi hija…, ¿qué tal si ahí da 85? Tu hijo es más grande que mi hija, ¿no?

-Si, y ahora con esos datos cualquiera puede saber qué edades tienen.

-Listo, preguntemos eso en el parcial, en vez del grado, los coeficientes, y esas boludeces de siempre.

Yo lo he mirado por encima pero no he llegado a nada claro. A ver si entre todos los sacamos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

22 Comentarios

  1. Eso me recuerda a un profesor de Dibujo Técnico del instituto que puso como solución de un problema la edad de su mujer en milímetros…

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  2. Pues a mi tampoco se me ocurre de dónde sacar los datos para resolverlo… como no dicen nada en claro… ¡¡pobres alumnos!!

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  3. Es más fácil de lo que aparenta.
    Siendo a la edad del hijo tenemos
    f(x) = g(x)*(x-a)
    Por tanto
    77=g(7)*(7-a)
    De donde es fácil obtener las posibles a’s
    Después muy parecido para la hija.
    Salen dos soluciones, aunque en una llega a los 18 años

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  4. Naka… Cómo podés sacar las posibles a’s si tienes un polinomio g(x) de grado desconocido?

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  5. Para aqui_c:

    Despejando (notar que g(7)0): a=7-(77/g(7))

    Como a>7, “a” es un número **entero** y 77=7*11:
    Si g(7)=-7 entonces a=7+11=18
    Si g(7)=-11 entonces a=7+7=14

    Luego, si “b” es la edad de la hija:
    b=18+(85/g(b)) o b=14+(85/g(b))

    Por tanto, y teniendo en cuenta que a>b>7:
    (a=18,b=13) o (a=14,b=9)

    Mi duda está en qué dato descarta una de las dos soluciones.

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  6. Si no entendí mal el problema, dice que a>7 pero no dice que b (la edad de la hija) también deba de serlo. Por tanto tambien sería válida la solución de a=18 y b=1, aunque para eso no requeriría preguntar si el hijo es mayor que su hija, pero a la vista de los datos…

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  7. hola a todos, y gracias ^DiAmOnD^ por postearlo! no quiero dar pistas, que el problema está muy bueno, pero contesto algunos comentarios:

    ReiVaX18: no se suponen que las otras raíces sean enteras

    Naka Cristo y teskmon: les está faltando considerar una ecuación para descartar la incorrecta

    Ferni: sí dice que a > b > 7 [-¿Era 7…? -No, es más grande (…) -A ver, probemos con un número más grande, la edad de mi hija… (…)Tu hijo es más grande que mi hija, ¿no? -Si]

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  8. La solución correcta es a=14, b=9.

    -A ver, supongamos que la edad de mi hijo es una raíz.

    -¿Era 7…?

    Cuando el segundo de los matemáticos pregunta si la edad era 7 podemos suponer que el termino independiente a0 tiene como divisor al 7. 14 es múltiplo de 7, no así 18 con lo que la primera solución (18,13) podemos descartarla.

    ¿Es correcto mi razonamiento?

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  9. Pues si. No me fijé en esa frase de probemos con un número más grande

    Tendré que volver a la escuela para aprender a leer de nuevo. 🙂

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  10. podría pasar que el término independiente fuese nulo, o múltiplo también de 18, etc… pero es una muy buena idea para hacer variaciones del problema!

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  11. El razonamiento de teskmon es correcto, pero le faltan soluciones. Los divisores de 77 son: 1,7,11,77. Con lo que salen las posibles soluciones
    (14,13),(14,9),(18,17),(18,13)

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  12. Teniendo en cuenta el comentario de efecto mariposa,nos quedaría (14,13)y (14,9).
    Si f(x) fuera de grado 2, la primera solución no encaja para coeficientes enteros. En cambio para (14,9) tenemos la solución:
    f(x)= -3x^2+52x-140

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  13. Haber yo considere de la siguiente manera el problema:

    Sea a la edad del niño y b la edad de la niña, tomando en cuenta que b

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  14. Haber yo considere de la siguiente manera el problema: Sea a la edad del niño y b la edad de la niña, tomando en cuenta que b

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  15. Haber yo considere de la siguiente manera el problema: Sea a la edad del niño y b la edad de la niña. si f(x)=(x-a)g(x); (1) f(7)=(7-a)g(7)=77; (2) f(b)=(b-a)g(b)=85; de (1) se que la edad del niño “a” es mayor que 7 por lo tanto se que el termino (7-a) es negativo, primera pista, segundo se que los terminos de la función son enteros por lo tanto deduzco que (7-a) y g(7) son numeros enteros, como se que el unico par de numeros que me da 77 es 7 * 11 “enteros”, deduzo que g(7)=-7 y (7-a)=-11, de la ultima expresión obtenemos que la edad del niño es de 18 años, reemplazando esto en (2) tenemos que: f(b)=(b-18)g(b)=85 ; deduciendo que (b-18) es entero y g(b) es entero tambien, la unica combinacion posible es 17 * 5, dado que b es menor que 18, (b-18) es negativo y su valor es b-18=-17 de la expresion anterior nos da que la niña tiene 1 año.. Esa es mi solución, quedo que quedo claro pq escogi cierto numeros para tales expresiones, ya que eran las unicas combinaciones posibles.

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  16. Miguel Jáuregui: ¿por qué asocias g(7) y (7-a) así? La otra posibilidad también es válida: g(7)=-11, (7-a)=-7, y en este caso el niño tendría 14 años.

    Asociando de esta forma además salen otras posibilidades para la edad de la niña.

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  17. me acabo de dar cuenta de un error que supuse algo que no era, una relacion que estaba equivocada y mejor no la coloco, sorry.. por eso llego a la conclusion final que la edad es 14 y 9, pq si la edad del niño es 14 tendriamos que b-14=-17 ó b-14=-5, en la primera expresión nos da -3 y en la segunda 9 que es mayor que “7” y dice el matematico No, es más grande. Digamos que f(7)=77. -A ver, probemos con un número más grande, la edad de mi hija…, ¿qué tal si ahí da 85? Tu hijo es más grande que mi hija, ¿no?, “entiendo que se refiere a que la edad de su hija es mas grande que 7”

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  18. Bueno, yo llego a 2 posibles soluciones: (14,9) y (18,13), pero no veo como descartar una de las dos con los datos del enunciado. ¿Realmente se puede?

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