Las esferas besuconas, o el gran salto a la tercera dimensión

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Introducción

La tercera dimensión, \mathbb{R}^3, o como lo queramos llamar, es un lugar complicado de manejar. Es donde hacemos nuestra vida diaria (al menos a nuestra escala) pero matemáticamente es un espacio que con cierta frecuencia produce auténticos quebraderos de cabeza. El salto de dos a tres dimensiones es sencillo en algunas ocasiones y tremendamente difícil en otras. No son pocos los problemas cuya respuesta es relativamente fácil de encontrar en dos dimensiones, pero que entrañan una suprema dificultad cuando aumentamos en uno la dimensión de la situación.

El problema que nos ocupa es uno de ellos. Es muy sencillo encontrar la solución del mismo para dimensión uno y dimensión dos. Hasta para ciertas dimensiones mayores el problema es fácil de resolver. Pero en dimensión tres no es ni mucho menos trivial. De hecho es ciertamente complicado. Veremos en el transcurso de este artículo por qué es razonable dudar sobre la solución de este problema y cómo la dificultad que posee el mismo motivó una disputa entre dos grandes matemáticos.

El problema del número de besos

La cuestión que nos ocupa tiene que ver con esferas que besan (en el sentido de tocar en punto) a otra. En concreto nuestro objetivo es el siguiente:

Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial?

Lo primero que vamos a hacer es definir qué es lo que vamos a considerar como esfera en este artículo. Una esfera será para nosotros el conjunto de puntos que distan de un punto fijo una cierta cantidad (radio) o menos. Por ejemplo, en dimensión 1 una esfera es un intervalo, en dimensión dos es un círculo relleno y en dimensión tres es algo así como una pelota.

Comencemos con dimensión 1. Es evidente que dado una esfera en esta situación sólo es posible colocar dos esferas iguales a ésta (una a la izquierda y otra a la derecha), tal como muestra la siguiente figura:

En dimensión dos el estudio también es sencillo. Dada una esfera pueden colocar seis esfera alrededor de ésta que tocan a la inicial, y no se pueden poner más. Lo podemos ver en esta imagen:

¿Y en dimensión tres? Pues aquí la situación se complica bastante. Al parecer the kissing number problem (que es como se denomina en inglés a este problema) raíz de unos estudios sobre mecánica celeste de Isaac Newton. El propio Newton conjeturó que eran 12 las esferas que pueden colocarse besando a una esfera dada en tres dimensiones. Pero apareció David Gregory, quien aseguraba que ese número era 13.

Vamos a analizar la cuestión con un poco más de detalle. Es relativamente sencillo colocar 12 esferas tocando a una esfera dada, por ejemplo así:

Pero esta no es la única forma de colocarlas, y quizás este hecho sea lo que provoca la dificultad de este problema. Hay más formas de colocar estas esferas. De hecho a partir de una colocación cualquiera se pueden mover las esferas hasta que queden colocadas sobre los vértices de un icosaedro (poliedro de 20 caras y 12 vértices) cuyo centro es el mismo que el de la esfera interior. Esta colocación es la siguiente:

La duda aparece cuando uno analiza esta configuración y aprecia que queda una cierta cantidad de espacio entre las esferas. Por ello no es ni mucho menos una locura plantearse que las esferas pueden recolocarse de tal forma que esos huecos permitan colocar una esfera más besando a la interior.

Esa fue la disputa entre Newton y Gregory: el primero decía que esto no se podía conseguir y el segundo estaba convencido de que sí.

¿Qué diríais vosotros? ¿Podremos juntar todos esos huecos en uno para poder colocar otra esfera? Es cierto que la apuesta más segura quizás es la de Newton, pero en cierto modo la opción Gregory es tentadora…Bueno, no me extiendo más. El ganador es:

NEWTON

Enhorabuena a los que hayáis acertado. En realidad no se pueden aprovechar esos huecos para colocar otra esfera. Newton acertó y Gregory falló, pero por desgracia ninguno de los dos conoció una demostración de este hecho en vida. De hecho hubo que esperar hasta 1953 (casi 300 años después del planteamiento inicial del problema) para conseguir tal demostración. Algo así como el último teorema de Fermat, pero con menos renombre.

Bien, resuelto el tema de dimensión tres, ¿qué ocurre en dimensiones mayores? Bien, en dimensión cuatro el problema tampoco es fácil. De hecho se dudaba entre 24 y 25. De hecho la situación es parecida a la anterior: es relativamente sencillo colocar 24 esferas tocando a una dada en dimensión cuatro, pero quedan muchos huecos entre ellas. La cuestión se resolvió en el año 2003 y la respuesta es también del estilo a la del caso anterior: aunque quedan huecos no se puede colocar niguna más. Es decir, en dimensión cuatro el kissing number es 24.

Si seguimos subiendo…poca información más tenemos. Se sabe que en dimensión 8 podemos colocar de esta manera 240 esferas y en dimensión 24 ese número es 196560. Pero no se conoce con exactitud ningún otro kissing number. En el resto de caso lo único que tenemos son cotas superiores e inferiores de este número. Por ejemplo, en dimensión 5 se sabe que este número de esferas se encuentra entre 40 y 44, en dimensión 6 entre 72 y 78, en dimensión 12 entre 840 y 1357, en dimensión 20 entre 17400 y 36764…En el segundo enlace que de las fuentes podéis ver una tabla con todas las cotas hasta dimensión 24.

Como dato final comentar que parecer este kissing number muestra una tendencia de crecimiento exponencial, como podéis apreciar en el gráfico de la derecha (podéis verlo a mayor tamaño en el segundo enlace de las fuentes. La parte gris representa para cada n el intervalo de valores entre los que esta el kissing number. El problema, claro está, es que no se conoce la base de este crecimiento exponencial.


Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Parece claro que en tres dimensiones podemos poner las dos primeras esferas trivialmente, ¿en 4 dimensiones serán las primeras 3?.

    Saludos.

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    • Maestro Miguel Ángel Morales: es gratos saber que este tipo de información que usted proporciona a los pocos interesados en las matemáticas tengamos oportunidad de poder entender y a ala vez analizar y resolver las grandes conjeturas que se determinan en cada uno de los temas relacionados…mas sin embargo le agradezco mucho el informe, aparte estoy deduciendo los de la conjetura de Kepler, pues con este autor inicialmente empece a resolver los cálculos de las posiciones de los planetas en vida real, sin utilizar telescopio ni ningún instrumento de presicion, solo conocimientos de algebra, trigonometria, calculo, entre otros detalles, para así resolverlos. gracias.
      mi correo electrónico: atcmmun@gmail.com y en facebook, corsario ballet@yahoo.com.mx. saludos cordiales maestro.

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  2. ^DiAmOnD^, has puesto:
    Por ejemplo, en dimensión se sabe que este número de esferas se encuentra entre 40 y 44
    y te has dejado la dimension

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  3. ¿No se llama a esto “número de osculación”? Me suena de algún artículo de Investigación y Ciencia. Lo digo por aparcar el anglicismo.

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  4. ¿Quién lo habrá traducido así? Aparece en la wikipedia, pero el verbo oscular no está en el diccionario.

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  5. “Osculación” tampoco viene :S.

    A mí, de las 3 dimensiones, me fascina el modo en que el concepto de politopo (poliedro, en este caso) regular empieza a admitir interpretaciones variadas. Los cuerpos más regulares que existen son los sólidos platónicos, pero también están los sólidos de Arquímedes, los de Johnson o los de Catalan.

    Por otra parte, los polígonos regulares en dos dimensiones son infinitos, mientras que en tres dimensiones lo más parecido que hay son los prismas o antiprismas, que pueden ser sólidos de Arquímedes si la altura se elige adecuadamente, y que en todo caso dependen de los infinitos polígonos regulares.

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  6. El verbo tal vez no exista, pero sí el nombre : Ósculo. Según la RAE: Beso de respeto o afecto.

    Genial entrada, por cierto 😉

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  7. Si la estructura en tres dimensiones fuera hecha de átomos metálicos, obtendríamos la estructura llamada “hexagonal compacta”, se puede ver que los átomos forman capas de hexágonos desplazados entre si. Estas estructuras cristalinas se pueden deducir mediante difracción de rayos X, y es la más densa de todas. Es decir, que Newton tenía razón o existiría por ahi en la naturaleza alguna estructura cristalina aún más densa.

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  8. Parece ser que en n dimensiones el kissing number es múltiplo de n.
    Si esto es cierto, entonces en dimensión 5, el kissing number es 40.

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  9. Ósculo significa “beso” y sí viene en el diccionario. Derivar “oscular” y “osculación” mediante reglas gramaticales no debería ser causa para rasgarse las vestiduras.

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