Las espíricas de Perseo

Introducción

Perseo fue un antiguo geómetra griego que investigó las curvas que se producen al cortar un toro con un plano.

La única noticia que tenemos sobre él es que descubrió la propiedad característica de alguna de esas curvas y compuso el epigrama adjunto, que se podría traducir por:
“Tres lineas sobre cinco tipos de secciones espíricas,
Perseo por ello a los dioses honró”.

La palabra usada por los antiguos griegos para designar al toro era \sigma \pi \epsilon \iota \rho \alpha .

No sabemos qué propiedades descubrió Perseo, pero se ha conjeturado que las secciones del toro que estudió son las producidas por planos paralelos al eje del toro, y por eso se llaman espíricas de Perseo a la curvas así obtenidas.

Un lugar geométrico

Las espíricas de Perseo son lugares geométricos de los puntos cuyo producto de potencias respecto a dos circunferencias focales de radios iguales (reales o imaginarios) es constante y positivo.

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La potencia del punto P respecto a una circunferencia es, por definición, d^2-\rho^2, siendo d y \rho las longitudes indicadas en la figura.

Una circunferencia con centro real y radio imaginario \rho\sqrt{-1} no tiene puntos en el plano real, pero podemos usar una circunferencia de radio real \rho con el mismo centro para representar la raíz de la potencia respecto a la circunferencia de radio imaginario, como se ve en la figura cuando está marcada la casilla.

Representaremos con linea de trazos las circunferencias de radio imaginario.

La curva roja de la figura siguiente (sobre la que se puede mover el punto verde) es el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de potencias respecto a las circunferencias focales azules es igual al producto de las potencias del punto rojo respecto a esas circunferencias.

El punto rojo se puede mover libremente en la figura.

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Podemos modificar la distancia entre los centros de las circunferencias focales y su radio moviendo el punto azul y el deslizador.

Marcando las casillas correspondientes podemos ver la planta y alzado del toro con la traza del plano cuya sección produce ese lugar geométrico.

Si el producto de las potencias es negativo, es decir, si el punto rojo está dentro de una circunferencia focal real y fuera de la otra, el lugar geométrico no es sección de un toro por un plano real, sino por un plano situado a una distancia imaginaria del centro.

Si hacemos nulo el radio de las circunferencias focales, la potencia es el cuadrado de la distancia al centro, y la familia de curvas que se obtienen alterando los otros parámetros son los óvalos de Cassini.

Si ponemos el punto rojo en el punto medio de los centros de las circunferencias focales, se producen lemniscatas diferentes al variar los otros parámetros.
Si además el radio focal es nulo, la sección es una lemniscata de Bernouilli.

Las secciones de un toro

En la figura anterior, a partir de las circunferencias focales y de un valor para el producto de las potencias obtenemos el toro y el plano secante que produce la curva definida como lugar geométrico.

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En la figura adjunta, moviendo el punto verde se pueden ver las diferentes secciones que produce un plano en un toro dado, cuyas dimensiones se pueden modificar con los puntos azules.

Si marcamos la casilla correspondiente aparecerán las circunferencias focales que definen a la curva como lugar geométrico. (El producto constante de potencias es igual al cuadrado del producto de la distancia entre sus centros por la distancia del centro del toro al plano secante).

La ordenada de la curva de radios, compuesta de una circunferencia y una hipérbola equilátera, da, para cada posición del plano secante, el radio de las circunferencias focales, real o imaginario según la traza del plano secante corte a la circunferencia o a la hipérbola.

Moviendo el punto \blacktriangleright se pueden ver las secciones producidas en el toro cuando el plano secante no es paralelo al eje.

Una propiedad del toro

Si tenemos dos esferas iguales y un plano que contenga sus centros, el lugar geométrico de los puntos del espacio cuyo producto de potencias respecto a las dos esferas es igual al cuadrado del producto de la distancia entre los centros de las esferas por la distancia del punto al plano, es la superficie de un toro.

O, de otra forma, dadas dos esferas inscritas diametralmente opuestas en un toro, si trazamos dos tangentes desde un punto del toro a esas dos esferas, el producto de las longitudes de las tangentes es igual al producto del diámetro del círculo director por la distancia del punto al plano que contiene al eje y los centros de las esferas.

Las propiedades anteriores del toro y de las espíricas resultan directamente de reescribir la ecuación del toro:

Si r y R son son los radios de las circunferencias generadora y directora del toro, la ecuación de la superficie de un toro con centro en (0,0,0) y cuyo eje es el eje z es

(R - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2 = r^2,

es decir

( R^2 - r^2 + x^2 + y^2 + z^2)^2  = 4R^2(x^2+y^2)

que podemos escribir como

\prod( (x \pm R)^2 + z^2 +y^2 - r^2) = 4R^2y^2


Los dos factores de la izquierda son las potencias del punto (x,y,z) respecto a dos esferas con centros en ( \pm R, 0, 0) y radio r.

Sustituyendo y por a obtenemos la ecuación de la curva que resulta al cortar el toro por el plano y=a, y por tanto la ecuación de las espíricas de Perseo es, cambiando el nombre de la coordenada z por y:


\prod( (x \pm R)^2 + y^2 - r^2 + a^2) = 4R^2a^2

y haciendo \rho^2 = r^2-a^2, los dos factores de la izquierda son las potencias del punto (x,y) respecto a las circunferencias con centros en ( \pm R, 0) y radio \rho.

Una (nueva) interpretación del epigrama de Perseo

La propiedad expuesta de las espíricas sugiere una interpretación del verso de Perseo:

Tres lineas, sobre cinco tipos de secciones espíricas.

No es inverosímil que Perseo llegase a una definición de las espíricas (como lugar geométrico) como la expuesta anteriormente y en ese caso el ‘tres’ del epigrama haría referencia a que Perseo tuvo que considerar separadamente los casos en que el radio de la circunferencia focal es real, nulo o imaginario.

Esto da lugar, igual que en el caso de las cónicas, a tres propiedades características diferentes o tres definiciones de lineas diferentes.

Por otro lado el ‘cinco’ podría hacer referencia a las cinco formas de las secciones que pueden resultar al cortar un toro, y que se pueden ver en la entrada sobre Perseo de la historia de MacTutor.

Para cada una de esas cinco formas hay curvas definidas por las tres propiedades diferentes. (En nuestra terminología, con radio focal real, nulo o imaginario).

Naturalmente Perseo no hablaría de producto de potencias constante, sino de media proporcional constante entre rectángulos.

Las ecuaciones anteriores (y su demostración) pueden ser reformuladas con razones entre magnitudes sin usar términos de grado superior al segundo, y por tanto los resultados expuestos están al alcance de los métodos de la antigua geometría griega.


Este artículo es una nueva colaboración de nuestro gran fede, tan brillante como siempre.


Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

1 comentario

  1. El toro tiene otras secciones interesantes: los círculos de Villarceau. Se obtienen cortando el toro por un plano que pasa por su centro y forma un ángulo igual a arcsen(r/R) con el plano “ecuatorial” del toro (perpendicular a us eje por el centro). La sección consiste en dos circulos entrelazados. por cada punto de la superficie del toro pasan dos de estos círculos, simétricos respecto al plano “ecuatorial”. Entonces, por cada punto de la superficie tórica pasan cuatro círculos, los de Villarceau, y los otros dos más evidentes, que podemos asimilar a “paralelos” y “meridianos”.

    Respecto a los óvalos de Cassini, otra forma de caracterizarlos es como las secciones paralelas al eje del toro a una distancia r, el radio de la circunferencia generadora, de este. Variando R, pueden obtenerse entonces toda la familia de óvalos de Cassini, incluida la Lemniscata de Bernouilli, cuando R = 2r. Si la sección no es a una distancia r, se trata del resultado de estirar/contraer en una dirección el correspondiente óvalo de Cassini.

    Aquí hay un ggb que muestra la obtención de laLemniscata de Bernouilli y los ovalos de Cassini apartir de la potencia de un punto respecto a una circunferencia:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Lemniscata.html

    El valor “c” es el radio de la circunferencia y a^2 el producto de las distancias.

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