Las fichas de colores

Hoy, día de la semana dedicado a problemas, os dejo otro junto con su solución para que lo analicemos:

Problema: Una bolsa contiene dos fichar de las que nada sabemos salvo que cualquiera de ellas puede ser blanca o negra. Adivinar sus colores sin sacarlas de la bolsa.

En principio, tal cual está planteado, la cosa parece imposible. Pero Lewis Carroll nos deja esta solución:

Solución: Sabemos que si una bolsa contiene 3 fichas, dos de ellas negra y la otra blanca, la probabilidad de sacar una negra es \textstyle{\frac{2}{3}}, y que cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad.

Llamemos N a bola negra y B a bola blanca. Las probabilidades de que la bolsa dada contenga NN, NB o BB son, respectivamente, \textstyle{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}} y \textstyle{\frac{1}{4}}.

Añadimos una ficha negra.

Ahora las probabilidades de que la bolsa contenga NNN, NBN o BBN son, como antes, \textstyle{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}} y \textstyle{\frac{1}{4}}.

Por la tanto la probabilidad de sacar una negra ahora es:

\cfrac{1}{4} \cdot 1 + \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{3} = \cfrac{2}{3}

Por lo tanto la bolsa contiene ahora NNB (pues, como dijimos antes, cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad).

En consecuencia, como añadimos una ficha negra, al comenzar teníamos NB, es decir, una ficha negra y otra blanca.

Bien, ahora viene la pregunta: ¿significa esto que siempre que tengamos una bolsa con dos fichas cada una de las cuales puede ser blanca o negra en realidad tendremos exactamente una blanca y una negra? ¿No parece extraño? ¿Hay algún error en el razonamiento de Lewis Carroll? A mí, la verdad, no me cuadra demasiado el tema. Espero vuestras opiniones.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Yo creo que el problema no tiene solución única, pueden ser las dos negras, las dos blancas o una de cada. El fallo que le veo a la solución de Lewis es que está suponiendo de antemano muchas cosas, como que esas dos fichas provienen de 3 fichas, y que esas fichas eran NNB.

    Haciendo lo mismo que Lewis, podemos suponer que si tiene 3 fichas blancas, la probabilidad de sacar una blanca es 1, y al añadir una blanca la probabilidad de sacar una blanca es 1, y como hemos añadido una blanca, antes había dos blancas. Y podemos hacer algo parecido con cualquier otra posibilidad de fichas que se nos ocurra.

    ¿He acertado? Siempre he odiado la estadística. Me costó aprobarla, y creo que todavía “me aprobaron”.

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  2. Acabo de empezar 2º de Matemáticas y aún no he tocado el cálculo de probabilidades, así que lo analizaré “intuitivamente” 😛

    Creo que el fallo está en la parte en negrita “cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad”. En este caso eso es cierto en el caso de que conozcamos de antemano el valor de las 3 fichas. En los casos NNN, NBB y BBB (y permutaciones) es claro que la probabilidad de sacar N es distinta de 2/3.

    Sin embargo, como en el caso que propone Carroll, desconocemos el valor de dos de las fichas, tenemos NXY, lo que hace que si la probabilidad de N y B son la misma, la probabilidad de NXY sea 2/3.

    Otro ejemplo sería tomando 4 fichas tales que NNNB. La probabilidad de sacar N es de 3/4 y en los demás casos es distinta.

    Pero si ahora suponemos que sólo conocemos el valor de dos fichas, negras las dos, el sistema queda NNXY y las probabilidades para X e Y son como antes 1/2 para N y B.

    Entonces tenemos que las probabilidades para NNXY son:
    1/2 de NNNB con probabilidad 3/4 de sacar N
    1/4 de NNBB con probabilidad 2/4 de sacar N
    1/4 de NNNN con probabilidad 1 de sacar N
    con lo que la probabilidad total es de 3/4 para sacar N

    Puede que haya incorrecciones varias y seguro que se puede explicar mejor con formalismos que no conozco, pero la idea es ésa.

    Saludos y enhorabuena por el blog ^_^

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  3. Claramente, este el problema de Monty Hall al revés. La probabilidad no la define un estado, si no la información o falta de ella (incertidumbre) que tenemos sobre el estado. Lógicamente, si veo 3 bolas, se los colores con probabilidad 1, sean cuales sean.

    En el segundo caso, conoces exactamente 2 de las bolas, luego las probabilidades cambian, lógicamente. La “creencia”, que así se llama a la probabilidad de un estado, depende de lo que hayamos visto. No es mas que probabilidades condicionales y regla de Bayes.

    Me extraña que Carroll no viese este error siendo que vivió 100 años después que el reverendo Bayes. ¿Seguro que no es una leyenda urbana?

    Termino con un chiste que viene al caso:
    Un bayesiano es aquel que esperando ver un burro y echando un vistazo a un caballo, afirma haber visto un mulo.

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  4. El primer caso es el cálculo de probabilidades sabiendo que en la bolsa hay dos N y una B.
    Cuando dice que “cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad”, se refiere a cualquier otro estado de cosas en que se conozca el color de las tres fichas de dentro de la bolsa.
    El segundo caso es el cálculo de probabilidades sabiendo que una ficha es con seguridad N y sin saber nada de las otras dos. Por tanto es un cálculo que parte de una menor información disponible sobre el interior de la bolsa.
    Da la casualidad que los dos cálculos arrojan el mismo valor, pero como partimos de información diferente acerca del contenido de la bolsa, ello no implica que en el segundo caso deba haber necesariamente las mismas fichas que en el primero, cosa que también nos dice el sentido común.

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  5. Imagino que el quid de la cuestión es el siguiente:
    2/3 es la “probabilidad de sacar negra” (N) si “la bolsa contiene NNB” (NNB) ( P(N|NNB) = 2/3 ).
    mientras que el otro caso es:
    P(N|N??) = P(N|NNB) * P(NNB) + P(N|NNN) * P(NNN) + P(N|NBB) * P(NBB) = 2/3
    El hecho de que
    P(N|N??) = P(N|NNB)
    es meramente casual y la inferencia
    P(N|N??) = P(N|NNB) \Rightarrow N?? = NNB
    es la que no es correcta ya que el resultado no se deriva del estado en que se encuentra la bolsa (NNN, NBN o NBB) sino de las probabilidades de sus posibles estados.
    Sería una inferencia correcta si pudiera comprobar de alguna manera que P(N) es 2/3 para el estado en que realmente se encuentra la bolsa (por ejemplo sacando una bolitas y volviendo a meterla un cierto número de veces, haciendo caso omiso al enunciado del problema).
    Supongo que habrá alguna forma más técnica de explicarlo, pero ahí ya no llego.

    P.D.: de todos modos a mi no me parece imposible, dice que no se saquen las bolitas de la bolsa pero no prohíbe hechar un vistazo dentro de ésta 🙂

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  6. Hola, dos cosas:

    1) si inicialmente no se conoce nada sobre el contenido de la bolsa, no me queda claro que la configuración de probabilidades tenga que ser 1/4,1/2,1/4. Para mí BN y NB es el mismo caso, y por tanto la configuración de probabilidades sería uniforme (1/3 en cada caso: 2 negras, 1 negra, 0 negras). De todos modos esto no es relevante para resolver la paradoja.

    2) si se sabe que la bolsa con 3 bolas contiene al menos una bola negra entonces vale que la probabilidad de sacar bola negra es 2/3. Sin embargo el error está en deducir que esto implique obligatoriamente la configuración BNN, ya que este valor 2/3 se refiere a un promedio sobre las posibles configuraciones iniciales.

    Es decir, el error está en asumir que si el promedio de las cantidades 1/3, 2/3 y 1 (tanto con ponderaciones 1/3, 1/3, 1/3, como con 1/4, 1/2, 1/4) es 2/3, entonces se deduce que la cantidad desconocida debe ser 2/3, y claramente esto no es así. La confusión surge simplemente porque el promedio coincide con uno de los posibles valores.

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  7. La verdad ,temo quedar como un estupido con la respuesta pero quizas la conclusion se refiera al estado dual de las cosas,es decir al hecho de que tenemos dos colores.
    Nopse, la verdad es que la probabilidad y sus calculos me son esquivos.
    Por cierto,excelente pagina,es muy interesante.

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  8. En cuanto a lo planteado por ^DiAmOnD^, Toro Sentado lo ha explicado perfectamente, y también M en su punto 2). Añadir más a esto, creo que sería ruido.

    Y el punto 1) de M, pues depende, pero si no me dicen nada más al plantearme el problema yo tengo que suponer que la probabilidad es 1/4, 1/2, y 1/4 para NN, BN y BB.

    Es que si nos dicen que una persona elige entre tres opciones: tomar dos negras, tomar dos blancas, o tomar una blanca y otra negra y meterlas en una bolsa, pues entonces sí, es 1/3 para cada posibilidad.

    Pero si el color de cada bola es un estado independiente del color de la otra, entonces NB y BN son casos diferentes. Si no dicen más, yo creo que lo más sensato es suponer que es así. Sería así si, por ejemplo, el color de cada bola se decide tirando un dado, par=negra e impar=blanca.

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  9. Hola, el problema pide que adivinemos, perdón, pero en estadística y probabilidad como mucho se infiere, pero…¿adivinar? ¿Qué solución puede tener el problema? Pues tan sencillo como sus tres posibles casos: BB, NN, BN (el NB es el mismo que el BN); así que si alguien es un genio que “me adivine” el color de las fichas en la bolsa, ya pueden hacer todos los cálculos que quieran, porque si lo “adivinan” es de pura casualidad.
    Es como el típico experimento de lanzar una moneda bien construida e ir anotando los casos que se suceden durante los respectivos lanzamientos, por ejemplo que fuesen: CXCCXXCCXXXCCC…… y de estos inferimos que la probabilidad de sacar cara es 1/33 y les pregunto seguidamente: “Adivinar si saldrá C o X en el lanzamiento que vayas ha hacer en ese mismo instante con esa misma moneda”. Y ahora ese “adivinar” lo quieren convertir en un resultado probabilístico.

    Saludos

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  10. La trampa está claramente en la frase “cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad”.

    Es sólo cierta si planteamos los posibles grupos de bolas negras y blancas… pero no es algo cierto en general, es decir, si la probabilidad no es debida a los grupos de bolas (el que haya 2 negras y una blanca) el hecho de haber esa probabilidad no implica que haya 2 negras y una blanca.
    Por ejemplo: tiramos un dado y si sale mayor que 2 (probabilidad 2/3) metemos 3 bolas negras, en caso contrario metemos 3 bolas blancas. La probabilidad en este caso de sacar bola negra es 2/3 pero eso no implica necesariamente que al sacar las tres bolas habrá una blanca. ¿se entiende?

    También veo algo extraño o irregular el suponer, sin saber el contenido de la bolsa, que bola negra y bola blanca son equiprobables, ya que no nos han dicho que lo sean… Se que es habitual suponerlo cuando no se sabe qué puede ser y cuando además la característica que distingue ambas posibilidades es algo arbitrario (como el color), que es estadísticamente independiente de estar en la bolsa o ser sacado de la bolsa. Si la característica fuese otra (por ejempo, el tamaño: bolas grandes y pequeñas) no se podría suponer equiprobables.
    El suponer que la probabilidad de bola negra es 50% y bola blanca es 50% podría llevarnos directamente a inferir que la bolsa tiene una negra y una blanca, “porque es la única combinación de dos bolas que da esa probabilidad”. Creo que se ve claramente la falacia: un valor de probabilidad no puede servir para deducir toda una situación o un orden de cosas.

    También es un tema, creo que se ha dicho algo similar, de probabilidades a priori y a posteriori. O de cómo cambia las probabilidades el conocer cierta información. En este caso, la información del contenido de la bolsa. Sin saber el contenido de la bolsa, la probabilidad de NN es 1/4 y de BB es 1/4 y de {B, N} = NB U BN es 1/2 … así que sin saber el contenido, la probabilidad de sacar Negro es 1*1/4+1/2*1/2 = 1/2 (lo cual no implica que sea {B,N}… puede ser BB ó NN). Pero si sabemos el contenido de la bolsa, si tenemos NN, la probabilidad de N es 1 (100%).

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  11. Yo creoque lo que demuestra Lewis Carroll no es que siempre hay una blanca y una negra, sino que esta es la posibilidad más probable.

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  12. yo creo que la trampa esta cunado empieza a definir la probabilidad de que la bolsa contenga NN, NB o BB.
    Es decir, imaginen una bolsa vacia y empiezen a cargarla. Suena logico q NN sera 1/4 NB 1/2 y BB 1/4, pero no es cierto, quien dice que cuando la estabamos cargando teniamos fuera infinitas bolitas balncas y negras.

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  13. No veo la necesidad de un razonamiento tan “intrincado”. Yo lo veo simplemente como (perdonad si son obviedades):

    1. Existen unas fichas.
    2. Estas fichas tienen una cualidad llamada Color.
    3. Color puede tomar los valores blanco o negro.
    4. La probabilidad de que Color tome cualquiera de los dos valores es la misma, de 1/2 para cada posible valor que pueda tomar la variable.

    La probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color es:
    (1/2)*(1/2) = 1/4

    La probabilidad de que sean de diferente color:
    La primera que saquemos blanca y la segunda negra:
    (1/2)*(1/2)=1/4
    La primera que saquemos negra y la segunda blanca:
    (1/2)*(1/2)=1/4
    Estos dos casos cumplen la condición de que sean de diferente color, que es lo que estamos analizando, por tanto la probabilidad de que ocurra el suceso de tener dos bolas distintas es la suma de las probabiidades de que ocurra uno de los dos sucesos: 1/4+1/4=1/2

    Vemos que las posibles combinaciones de bolas definen un conjunto de 4 elementos {BB, NN, BN, NB} en el que:

    1. Es el doble de probable que sean de diferente color a que sean blancas o negras. (Obviamente)

    2. Es igual de probable que las bolas sean del mismo color o que sean de un color distinto. Aquí es donde yo ya patino un poco. Porque entonces, ¿cómo sabemos que es efectivamente más probable que una de las bolas sea blanca y la otra negra, en lugar de ser las dos negras o las dos blancas? Sabemos que es más probable que ambas sean de diferente color si solo tenemos en cuenta “que sean de diferente color”, pero desde el punto de vista de “de qué color son” las probabilidades pueden ser 1/4 para cada elemento de {BB, NN, BN, NB} o bien de 1/3 para cada elemento de {BB, NN, BN} si hacemos BN=NB.

    Es más probable que adivinemos si son o no del mismo color si optamos por decir que una es blanca y la otra negra, porque es el doble de probable que pase esto a que ocurra que ambas sean blancas o ambas sean negras. Es decir:

    1. Tenemos el doble posibilidades de acertar si son o no del mismo color si optamos por decir que son de diferente color: 1/2

    2. Tenemos 1/4 de posibilades de acertar el color de cada bola, en el orden de salida de la bolsa.

    3. Si tratamos a BN, NB como el mismo elemento del grupo, sin que nos importe el orden de aparición de las bolas, entonces tenemos 1/3 de posibilidades de acertar el color de las bolas, porque a diferencia del punto 1, aquí entra en juego el decir no ya si son del mismo color o no, sino decir de qué color, de ahí que la probabilidad de acertar disminuya.

    Se me está llendo un poco la olla con las bolas y me tengo que ir, no obstante espero que alguien responda algo interesante a ver si me aclaro luego. Bueno, me encanta el blog, está bien incluso para novatos en el mundo de las mates como yo. Saludos.

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  14. Hola, es la primera vez que leo tu blog y me encanta. Me gustaría “mojarme” y dar mi interpretación.

    Aunque ya no recuerdo las fórmulas de estadística, sí sé que hay una diferencia entre la probabilidad de un suceso dado y la probabilidad del mismo suceso cuando se conocen datos anteriores al mismo. Me da la impresión de que ese es el paso que Carroll está obviando.

    Desde la primera frase, en que Carroll dice que “la probabilidad de sacar una bola negra de una bolsa de 3 bolas es \frac{2}{3}”, ya lo dice conociendo a priori los colores de cada una de ellas. Porque si no es así la probabilidad de sacar una bola negra, al azar, es de \frac{1}{2} sea cual sea el número de bolas que haya en la bolsa, como muy bien explica Acid.

    Y el paso que realmente es engañoso creo que es cuando dice “Ahora las probabilidades de que la bolsa contenga NNN, NBN o BBN son, como antes…” ya que eso sólo es cierto suponiendo que se ha metido una bola negra previamente. Y sigue “Por tanto la probabilidad de sacar una negra ahora es…” , pero no es una probabilidad absoluta, sino condicionada a ese dato conocido por él.

    Supongo que un resumen sería que Carroll da la respuesta correcta al problema cuando dice “Las probabilidades de que la bolsa dada contenga NN, NB o BB son, respectivamente, \textstyle{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}} y \textstyle{\frac{1}{4}}.”, y después toma una probabilidad \mathit{condicionada} como si fuese absoluta y hace su deducción incorrecta.

    Y ahora me espero a conocer la explicación correcta y ver si no he dicho demasiadas tonterías. 🙂 Saludos y enhorabuena por el blog.

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  15. voy a pecar de simple, pero yo ahí simplemente veo que la probabilidad de sacar una bola negra de una bolsa al azar de 4 (cuatro) bolsas que contienene las combinaciones NNN, NNB, NNB, NBB, es 2/3 y coincide (aquí está la trampa) con la probabilidad de sacar una bola al azar y que esta sea negra de una bolta tipo NNB

    (si meto la pata, lo siento, pero hoy estoy muy espeso)

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  16. Hola a todos. Les tengo una consulta que no me deja tranquilo. Llamamos L{U,V} al conjunto de las aplicaciones lineales de U en V. Cuando son de dimensión finita se cumple que: dimL{U.V}=dimU*dimV. Esto es un hecho elemental. Sin embargo para probarlo he notado que hacen uso la la función delta, volviendo la prueba engorrosa. ¿Existe una prueba más sencilla?. Gracias de antemano…

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  17. Lo peor de todo es que las 2 bolas pueden ser blancas hasta que al introducir nuestra mano y tomar una notamos que es negra.

    Adentro hay un gato medio muerto medio vivo con un tatoo que dice “Schrödinger” en el pecho.

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  18. Creo que la experiencia demuestra lo contrario. Al tener 2 bolas que pueden ser de cualquier color, las probabilidades son NN: 0.25 BB: 0.25 y NB: 0.5. Es decir evaluando viendo las 2 bolas al mismo tiempo.

    Por lo tanto no hay un estado con probabilidad 1 tal que se pueda asegurar algun estado.

    Carroll hace una estrategia de agregar una bola negra, que me parece correcta, pero lo que el calcula es el valor esperado; es decir el valor mas probable para que una bola sea negra. Este valor esperado (que en una nube de puntos seria la media) no es el mismo que la probabilidad de un estado. Luego no es valido su razonamiento de hacer equivalente ambos estados por tener el mismo valor de probabilidad; sólo fue una coincidencia.

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