Las Matemáticas no derrumban, añaden

En la mayoría de las ciencias, una generación derrumba lo que otra ha construido y lo que una establece otra deshace. Únicamente en las matemáticas cada generación añade una nueva historia a la vieja estructura.

Herman Henkel

Fuente: A Mathematical Journey, de Stanley Gudder

Información sacada del libro Las matemáticas de Oz, de Clifford A. Pickover

Aunque yo no sería tan radical, en cierto modo coincido con lo que dice Herman Henkel en esta frase. Por norma general los avances en matemáticas complementan a los conocimientos anteriores: las ramas ya existentes se amplían o se desarrollan otras nuevas, se les encuentra nuevas utilidades a herramientas ya existentes, se resuelven problemas abiertos…

En otras ciencias, así a bote pronto, el ejemplo más claro de lo que comenta Henkel es la estructura del átomo: casi cada nuevo avance en este tema niega la estructura conocida hasta ese momento. ¿Conocéis más ejemplos? ¿Y alguno significativo en matemáticas? ¿Qué pensáis de la frase?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Que le digan eso a Hilbert cuando leyó la famosa carta de Gödel…

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  2. Tito: no soy experto, pero creo que las ideas de Gödel fueron una fabulosa colaboración a las matemáticas, no una reducción. Indicó cuáles eran las falsas esperanzas, e iluminó un nuevo camino.
    Claro que quizá Hilbert se habrá sentido un poquito… cómo decirlo… desilusionado 🙂

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  3. Supongo que lo más parecido es que, después de años y años creyendo que algo era cierto, alguien demuestre que no lo es. Como si alguien llegase ahora y demostrase que P=NP.
    De todas formas, sí que es verdad que las matemáticas son la excepción a la regla.

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  4. Herman Henkel tiene toda la razón. Pero cuidado, los matemáticos trabajamos con truco: los AXIOMAS.

    Toda teoría matemática está fundamentada en una base axiomática. Otros axiomas, otra teoría, con otras propiedades. Y los axiomas son cosas que se aceptan porque sí, porque no se pueden probar.

    La teoría matemática es cierta si no contradice la base axiomática tomada. Al igual que las demás ciencias, las matemáticas han ido creciendo en el paso de los años, y hay cada vez más bases axiomáticas diferentes.

    Y como somos tan precavidos, pocas veces la comunidad matemática tuvo que echar por tierra una teoría que se creía probada, o más bien casi probada.

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  5. En las matematicas se añade toda a una nueva estructura y retomando lo que dice Zampatortas; estas estructuras son axiomaticas. Un ejemplo claro de esto son El quinto postulado de Euclides y sus dostipos de negaciones; los cuales son bases axiomaticas para las Geometrias Euclidiana, Hiperbolica y Eliptica.

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  6. Pues que es una frase falsa. Lo mismo vale para las matemáticas que la física.

    Si se está pensando que la física de Heisenberg arrasó la de Newton, que se piense asimismo qué quedó de la matemática anterior cuando llegó y pasó Frege (por poner dos ejemplos, uno de cada). Si una derriba la otra igual, aunque mi idea es que un cambio de paradigma, por usar la terminología de Khun, no derriba gran cosa (algo derriba, pero lo interesante es el cambio de rumbo, por decirlo así).

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  7. sipo.. no hay que olvidar que la matemática no es una ciencia (sino la reina de estas como decía gauss, y el álgebra la reina de las matemáticas!!!!). porque aparte de tener una característica axiomática… la matemática es principalmente inductiva, no como las ciencias, que usan el método científico y las formulaciones deductivas

    saludos.. suerte con el blog

    e^{\pi \cdot i}+1=0

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  8. En 1931 Kurt Gödel publicó su famoso artículo ”Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados” y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre la lógica matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeado por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema.

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  9. Exacto, en un único artículo, GÖDEL descuartizó toda una vida de trabajo de HILBERT.

    De todas formas, nadie dice que este trabajo no haya tenido su importancia (que la ha tenido, la tiene y la tendrá), pero esa importancia no ha ido en la dirección que el autor (HILBERT) pretendía.

    Él buscaba una axiomatización completa de las Matemáticas y Gödel le dijo que toda su vida había estado buscando un imposible.

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  10. Hombre, tampoco hay que maltratar a hilbert. Posiblemente si hilbert no lo hubiese planteado, Godel no se hubiese dedicado a demostrar su imposibilidad.

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  11. Nadie está maltratando a Hilbert, sólo Gódel lo hizo.

    Además, si no hubiese sido por sus famosos 20 problemas, las matemáticas del siglo XX no hubiesen sido las mismas.

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  12. No se si han leído el libro “Hilbert. Matemático fundamental”, en Nivola. Me parece una fenomenal referencia para comprender la profundidad de las ideas de Hilbert en aspectos muy diversos de las matemáticas.

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  13. Aun no, Domingo, pero ya lo tengo en la lista de espera. Ahora estoy con el de Euler. Me apunté también el de “De los Bernoulli a los Bourbaki”. Poco a poco…

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  14. El experimento de Galileo de dejar caer al suelo dos cuerpos de distinta masa desde un lugar elevado, “demostró” que caían al mismo tiempo. Y sin embargo, con la ley de la gravitación de Newton en la mano, eso no es cierto, y desde luego si el experimento se repite para cuerpos de tamaño comparable a la Tierra, no “caerían” al mismo tiempo, ya que en ese caso no despreciaríamos el campo gravitatorio de ningún cuerpo.

    Según el contexto, usaríamos una ciencia u otra, pero ambas son “válidas”. Así que, en mi humilde opinión, también se añade en muchas otras ramas de la ciencia, tal y como mostró Khun.

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  15. Como se ha indicado en un comentario, las matemáticas y las ciencias experimentales son de diferente naturaleza y, por tanto, evolucionan de distinta forma.
    Las ciencias experimentales se basan en el método científico (observación de los fenómenos que ocurren en la naturaleza, hacer suposiciones que intenten explicar dichos fenómenos, realizar experimentos para comprobar la veracidad de la suposición y llegar a una conclusión) y nunca se puede estar seguro al 100% de que las leyes, teorías o fórmulas que se han obtenido sean correctas, porque siempre hemos podido dejar algún factor sin considerar o por otras muchas razones. Cuando llega un nuevo experimento que contradice las teorías actuales, hay que desechar éstas y volver a formular unas nuevas.
    Las matemáticas, sin embargo, se construyen a partir de sí mismas, sólo tienen que ser coherentes con unos axiomas que se dan como correctos, es decir, que no hay factores que no se hayan tenido en cuenta, como pasa con las ciencias experimentales.

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  16. suy: aquéllo que mostró Galileo no se ha probado falso hasta la fecha. Es más, las leyes de Newton lo único que te dicen es que la fuerza que lleva el objeto pesado es mayor que la del objeto ligero, y como consecuencia hará un agujero mayor en el suelo 🙂
    Pero ya te digo, lo de Galileo se sigue considerando verdadero. De hecho, eso, junto con la velocidad constante de la luz, fueron los dos axiomas que Einstein tomó por ciertos al formular la teoría de la relatividad. Escribí sobre esto hace unos meses: http://www.caerolus.com/ciencia/galileo-galilei-y-teoria-cuerdas.html

    Jnum: diría más que nada que las ciencias experimentales nunca son exactas por temas de probabilidad, ya que todas se basan en la estadística y al final todo se reduce a un análisis estadístico y un p-valor o algo similar. Pero las matemáticas son parecidas, y ahí estuvo Gödel. En matemáticas se dan por supuestos ciertos axiomas siempre, es imposible decir algo sin presuponer otra cosa antes. Por muy absurda que parezca, esa presunción hace que no podamos estar seguros al 100%.

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  17. “En matemáticas se dan por supuestos ciertos axiomas siempre, es imposible decir algo sin presuponer otra cosa antes. Por muy absurda que parezca, esa presunción hace que no podamos estar seguros al 100%.”

    Creo que tienes un error de percepción. Los teoremas matemáticos tienen forma de implicación: si se dan ciertas hipótesis, se da la conclusión. Y esas implicaciones lógicas son valederas siempre. Lo único que cambia cuando cambias los axiomas es el conjunto de implicaciones con las que trabajas.

    El problema es que a veces los axiomas y los marcos de trabajo pasan inadvertidos, de tanto que uno se acostumbra a ellos. Y eso produce esa sensación que tienen algunas personas de estar trabajando con verdades absolutas de entrada, cuando en realidad solamente existen relaciones absolutas.

    Y también produce la sensación de ciertas personas de que la matemática “depende demasiado de unos pocos axiomas” y por lo tanto no es confiable. Eso es una ilusión.

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  18. Con respecto a la pregunta inicial, sobre la validez de la frase de Henkel, observo que hay bastante acuerdo: es muy difícil destruir una teoría matemática porque nuestro nivel de exigencia en lo referente al rigor es tan elevado que resulta muy difícil consolidar una teoría con errores de fondo. Hay, incluso, casos en los que una teoría que en principio era poco rigurosa ha encontrado su sitio a pesar del intento de destruirla por numerosos matemáticos de primer orden. Me vienen a la cabeza dos ejemplos: El análisis de Fourier y el cálculo operacional de Heaviside. Sobre este último hay una afirmación de Heaviside que quizás valga la pena discutir. A ver qué os parece: En respuesta a las críticas de los matemáticos de Cambridge sobre sus métodos poco formales, dijo: “¿Debería renunciar a mi cena porque no comprendo completamente el proceso de digestión? No. No, ciertamente, si estoy satisfecho con el resultado”
    Luego N. Wiener y posteriormente L. Schwartz dieron las claves para formalizar y utilizar el cálculo operacional. Así nació la teoría de distribuciones…. ¿qué os parece la posición de Heaviside en un matemático?

    Bueno. Otra cosa: Domingo H.A. : ¡Muchas gracias por publicitar mi libro de Hilbert! (Ya te he visto un par de comentarios buenos del mismo y te lo agradezco infinito)

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  19. J. M. Almira, ¡Qué grata sorpresa tenerte por aquí! Mis felicitaciones por vuestro libro sobre Hilbert están bien fundadas (por cierto…lo tengo firmado por Pepe Sabina 🙂 ). La verdad es que está muy bien escrito y habéis sabido mantener muy bien el carácter divulgativo de la colección sin perder profundidad en el tratamiento de los diversos puntos de la obra de Hilbert (…y encima el libro tiene raíces “laguneras” 🙂 )

    Con respecto a la frase de Oliver Heaviside, conocía la anécdota pero no la frase exacta. En mi opinión, estas ideas matemáticas intuitivas y originales (algunas de ellas carentes de rigor en sentido actual) dan vida a las matemáticas e, incluso, dan trabajo a las generaciones posteriores en el sentido de que trabajan en la rigorización de esas ideas.

    Un caso algo similar a los razonamientos informales de Heaviside (que derivarían en el desarrollo del concepto abstracto de derivada algebraica) también lo tenemos en el “análisis no estándar” de A. Robinson, tratando de rigorizar las “cantidades evanescentes” de Leibniz.

    Con respecto a los desarrollos en serie trigonométrica, me parece extraño que gente de la talla de Lagrange, Laplace y Monge no supieran reconocer la originalidad y las perspectivas futuras de las ideas de Fourier (“porque no contenían nada nuevo ni interesante”!!). La verdad es que a veces los matemáticos de renombre cometen excesos de este tipo (tal vez por tratar de evitar que otros les pisen una parte del jardín que ellos han sembrado). La misma situación se dio con Kronecker y Cantor. ¿Conocéis más casos como éstos?

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