Gaussianos » Las Matemáticas y las abejas

Las Matemáticas y las abejas

Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.

Pappus de Alejandría

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

Curioso el asunto. Aquí os dejo un comentario sobre el tema que apareció hace un tiempo en Wotevaruwont (ahora está en su nuevo blog, wotevar.es, pero están en mantenimiento por lo visto) y que me envió mi preciosidad Nadym por mail:

¿Saben matemáticas las abejas?

Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego “igual perímetro”). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?…

Y viendo ahora el texto se me ocurre una pregunta:

Al final del primer párrafo se dice que sólo se podría aprovechar el espacio al máximo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Alguien sería capaz de demostrar eso?

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Enero de 2008 en Citas matemáticas, Juegos

38 comentarios

Trackback para este post

snipfer - 16 de Enero de 2008 11:34

Sólo valen los triángulos, cuadrados y hexágonos porque los ángulos que forman sus lados son divisores enteros de 360º. 60º para el triángulo (60*6=360), 90º para el cuadrado (90*4=360) y 120º para el hexágono (120*3=360)
Pasotaman - 16 de Enero de 2008 11:56

Este es un problema clasiquísimo que resolví en el encerado en los viejos (y no tan buenos) tiempos en que estudiaba física del estado sólido. Hay una demostración geométrica bastante intuitiva (véase por ejemplo el libro de Kittel) pero no es fácil reproducirla en un blog y además me gusta más esta que desarrollé yo mismo, aunque sin duda lo han hecho gazillones de personas antes que yo.

Una red bidimensional se caracteriza por su simetría de traslación. Como tal, se puede parametrizar como una combinación lineal con cualesquiera coeficientes enteros de dos vectores base, no necesariamente unitarios ni ortogonales, aunque sí linealmente independientes:

$\vec{r}_{m,n}=m\vec{u}+n\vec{v}$

Una red formada por polígonos regulares de $l$ lados tiene además simetría de rotación $\theta_l=\frac{2\pi}{l}$ , con $l$ entero. Si $M$ es la matriz de rotación representada en la base $\left\{\vec{u},\vec{v}\right)$ , esto significa que $M$ lleva enteros a enteros. Es trivial ver, con esto y el hecho de que es antisimétrica, que su traza ha de ser entera. La traza se conserva en cambios de base, y sabemos que en la base canónica la matriz de rotación tiene la representación:

$\left(\begin{array}{c} \cos\theta_l \; -\sin\theta_l\\ \sin\theta_l \; \cos\theta_l \end{array}\right)$

De modo que su traza es un entero igual a $2\cos\frac{2\pi}{l}$ . Pero claro, el coseno está acotado y esto significa que $\left|2\cos\frac{2\pi}{l}\right|\in\left\{0,1,2\right\}$ . Aparte de los casos triviales $l\in\left\{0,1\right\}$ , esto nos da $l\in\left\{3,4,6\right\}$ .

Ojo, hemos deducido una condición necesaria, pero no suficiente, para que estos valores de $l$ sean válidos. Pero ahora que los tenemos, pueden simplemente dibujarse esas redes para probar que lo son.
rmcantin - 16 de Enero de 2008 12:36

No se ve el texto entero porque esta la pagina en mantenimiento, pero…

Una pompa de jabon sabe matematicas? Porque es una esfera perfecta.

No, simplemente, vivimos en un mundo donde los sistemas tieneden al equilibrio y la tendencia natural es de optimizar la energia. Tecnicas de optimizacion por coalescencia o similares, simplemente surgen intrinsecamente a los sistemas.
meneame.net - 16 de Enero de 2008 12:38

Las Matemáticas y las abejas…

"Pappus de Alejandría había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado …
Omar-P - 16 de Enero de 2008 12:44

Parece ser que las abejas son grandes geómetras. Observemos sino como construyen el fondo de las celdillas hexagonales utilizando tres rombos inclinados en la forma más conveniente.
http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm
Omar-P - 16 de Enero de 2008 13:04

Observemos el ángulo de 70º 31´ 43.606
Domingo H.A. - 16 de Enero de 2008 14:44

Como dice rmcantin, al hacer pompas de jabón con los aparatos circulares de los niños se forman esferas perfectas. Es curioso que con otras curvas cerradas simples o un triángulo, como un cuadrado, también se forman pompas esféricas. Vean este vídeo http://www.dailymotion.com/relevance/search/Matematicas/video/x2fyvh_pintando-con-numeros-fandoblaje-al_fun
vengoroso - 16 de Enero de 2008 14:58

Domingo, no veo yo especial que la pompa de jabón acabe teniendo la misma forma independientemente de la forma del aparato. Una vez que dejas la pompa libre en el aire, tenderá a adoptar la forma que minimice la tensión superficial, y esto se consigue cuando la superficie (que encierra un volumen fijo) tenga un perímetro mínimo, que es justamente la esfera.
Omar-P - 16 de Enero de 2008 15:05

El protagonista del video presentado por Domingo H.A. es Marcus du Sautoy, el autor del libro “La música de los números primos”.
Marcos - 16 de Enero de 2008 15:54

Una explicación evolutiva simplificada:
Imaginemos que hace mucho tiempo existían diversos tipos de abeja, que hacían diversos tipos de celdillas. Las que gastaban menos recursos tenían una clara ventaja sobre las demás.
Por eso ahora sólo hay de ese tipo.
Pasotaman - 16 de Enero de 2008 16:45

Volviendo al problema matemático: se puede cubrir el plano utilizando no uno, sino varios tipos de polígonos. Por ejemplo, pueden emplearse pentágonos y rombos. ¿Puede encontrarse alguna forma más eficaz que usando sólo hexágonos o, por el contrario, puede probarse que no existe tal forma?
Domingo H.A. - 16 de Enero de 2008 18:02

las teselaciones no periódicas del plano se conocen como teselas de (Roger) Penrose (el mismo que da nombre a la famosa inversa generalizada de matrices). Se le atribuye haber descubierto las teselaciones no periódicas del plano con más de un polígono.

http://blogs.elpais.com/formulas_mueven_el_mundo/2007/08/las-cinco-tesel.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose
Omar-P - 16 de Enero de 2008 18:50

Creo que lo más interesante en la construcción del panal es el fondo de las celdillas: Son tres rombos unidos, con el ángulo exacto para economizar el máximo de material.
Alvaro - 16 de Enero de 2008 19:02

La demostracion de Pasotaman tiene muy buena pinta pero a mi me resulta incomprensible.
xhaju - 16 de Enero de 2008 20:28

Desde mi punto de vista (el desconocimiento practicamente absoluto) creo que el problema de las celdas hexagonales tiene mas que ver con que ellas lo hacen de manera circular (un cilindro) pero luego, al estar empacadas de manera hexagonal (lo cual es logico: “hagamos un tubo donde haya mas hueco”) tienden a “aplastarse” de modo que al final se convierten en celdas hexagonales (como ocurre cuando hay un monton de pompas de jabon apretadas. De todos modos, dado que soy un iletrado en esto, la manera de saber esto seria observar las celdas de los bordes del panal: si son cilindricas, entonces seria correcta esta asuncion; si fuesen hexagonales, quedaria “probada” la vision “geometrica” de las abejas, siendo mas interesante el problema de “como lo sabian?”
taranco - 17 de Enero de 2008 13:39

A mi parecer, la pregunta a ¿Quien les enseño? es fácil. La evolución. No creo que tomen decisiones a ese respecto, es su ADN quien les dice como construir las celdillas.
Nadym - 17 de Enero de 2008 15:44

Yo no tengo ni idea de ésto, te lo envié porque lo encontré “divagando” por la red. Sólo pasaba por aquí para darte las gracias por ese piropo, con personas como tú ¿para qué leer poesía?

Y ya que estoy, y como no puedo aportar nada a este tema, pues decir que el libro “La Colmena” de Cela muestra una estructura casi perfecta de personajes con una distribución tipo panal de abejas. Por si alguien lo quiere leer y por si algún curioso está dispuesto a mostrar la relación entre el libro y lo que aquí se dice.

Un besote guapísimo.
Ender Muab\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\'Dib - 17 de Enero de 2008 17:55

Respecto al comentario de pasotaman ¿Puede encontrarse alguna forma más eficaz que usando sólo hexágonos o, por el contrario, puede probarse que no existe tal forma?

Si presumimos que las abejas sólo serían capaces de crear polígonos regulares (por su mayor facilidad, por ejemplo ;P) tenemos que las teselaciones con dos o más polígonos regulares se reducen a 8 combinaciones distintas de éstos. No es algo que yo haya demostrado (ni idea tendría), sino que lo he consultado a la wikipedia, supongo que podría ser interesante que alguien lo demostrase.

De esas ocho descartaremos todas las que no tienen polígonos superiores al hexágono, puesto que es trivial que cualquier combinación de hexágonos con polígonos menores que él darán como resultado un área menor con mismo perímetro (recordemos que a menor número de lados, menor área con el mismo perímetro). Este descarte nos deja con tres combinaciones: dos octógonos y un cuadrado; dos dodecágonos y un triángulo; y un dodecágono, un hexágono y un cuadrado.

Entonces, si calculamos el área que ocupa cada combinación y su perímetro y las comparamos con las medidas del hexágono podremos comprobar cómo teselar con éste último sale mucho más rentable. Si no he errado los cálculos, la combinación de dos dodecágonos con el triángulo es la que más se aproxima a la teselación regular por hexágonos. Y la peor son los dos octógonos con el cuadrado. Coincide que son las combinaciones que tienen más y menos lados respectivamente.

¡Saludos!
Asier - 19 de Enero de 2008 1:21

Supongo que esto que viene será requeteconocido para muchos, pero yo no lo había visto nunca así.

Jugando un poco con los polígonos regulares he llegado a la demostración de lo que todos sabemos: que el área del círculo es $\pi r^2$

Para eso he partido de un polígono regular cualquiera de $n$ lados y me he fijado en que respecto al punto central pueden dibujarse $n$ triángulos idénticos, delimitados por rectas que van de los vértices al centro. Claramente el ángulo de los lados que dan al centro de cada triángulo es $\displaystyle \frac{2 \pi}{n}$ . Cada uno de estos triángulos isósceles podemos partirlo por la mitad para obtener un triángulo rectángulo donde ahora el ángulo antes mencionado será de $\displaystyle \frac{\pi}{n}$ . Aquí claramente se cumple $\displaystyle \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right ) = \frac{base}{r}$ . El área del triángulo será $\displaystyle A = \frac{base \cdot r}{2} = \frac{1}{2} r^2 \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right )$ . Como en el polígono tenemos $2n$ de estos triángulos, tenemos que el área total es:

$\displaystyle A_t = 2n \cdot \frac{base \cdot r}{2} = 2n \cdot \frac{1}{2} r^2 \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right ) = r^2 n \tan \left ( \frac{\pi}{n}\right )$

El área del círculo será el de un polígono de infinitos lados:

$\displaystyle A_c = \lim_{n \to \infty} A_t = r^2 \cdot \lim_{n \to \infty} n \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}} = r^2 \cdot \lim_{n \to \infty} n\cdot \sin \frac{\pi}{n} = r^2 \cdot \lim_{n \to \infty} n\cdot \frac{\pi}{n} = \pi r^2$
Domingo H.A. - 19 de Enero de 2008 16:15

Conocía esa demostración y usa intrínsecamente que la longitud de la circunferencia es $2\pi r$ (al deducir el valor de los ángulos centrales). También es clásico obtener la fórmula del área por medio del cálculo integral. Me gusta mucho la prueba de Arquímedes basada en construir un triángulo rectángulo cuyos catetos miden el radio de la circunferencia y su longitud, respectivamente. Esta prueba también usa que el cociente longitud/diámetro en la circunferencia es siempre constante.

¿Alguien quiere indicar una prueba elemental de que dadas dos circunferencias, la razón entre la longitud y el diámetro es siempre la misma? Es decir, ¿Porqué pi es constante?
Pasotaman - 20 de Enero de 2008 13:22

No sé cuán elemental ha de ser la prueba, pero una bastante trivial es expresar la longitud de la semicircunferencia como una integral sobre el diámetro. Situando el origen de coordenadas en el centro, la semicircunferencia superior viene dada por $y=\sqrt{R^2-x^2}$ para $x\in\left[-R,R\right]$ , luego su longitud $\frac{L}{2}$ es:

$\frac{L}{2}=\int\limits_{-R}^R\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}} dx$

y con el cambio $t:=\frac{x}{R}$ podemos escribir:

$\frac{L}{2R}=\int\limits_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

La integral no depende en absoluto del radio, como se quería demostrar. Por supuesto, sabemos que vale $\pi$ .
Domingo H.A. - 20 de Enero de 2008 14:24

Sí pasotaman, con el cánculo integral sí. Pero a lo mejor no me super explicar bien. Me refiero a que desde los tiempos de la Grecia Clásica los sabios ya conocían que la razón entre longitud y diámetro era constante. Y usando este hecho lograron demostrar la relación entre el área y el diámetro, como hace Arquímedes en su libro sobre el círculo o como recoge Euclides en la proposición 2 del libro XII.

Mi cuestión es justificar en base a primeros principios de la geometría euclídea que la razón entre longitud y diámetro es constante en toda circunferencia.

Por ejemplo: si inscribimos un cuadrado en un círculo entonces la longitud del cuadrado es menor en virtud de que la recta minimiza la distancia. Pero, partiendo de los axiomas de la geometría euclídea, ¿Porqué el área del cuadrado circunscrito es mayor que la del círculo?

Esta pregunta es una obviedad conociendo que $L=2\pi R$ , pero resulta que esa fórmula es lo que se quiere demostrar (y por tanto no se podría usar).
Asier - 20 de Enero de 2008 15:39

Me pregunto si el mismo desarrollo que he hecho arriba no vale también para demostrar esto.

Supongamos que cada lado del polígono tiene una longitul $k$ . El perímetro será $\displaystyle L = nk \Rightarrow k = \frac{L}{n}$ . Del triángulo rectángulo al que había llegado tengo: $\displaystyle \tan \frac{180}{n} = \frac{k}{2r} = \frac{L}{2rn} \Rightarrow \frac{L}{2r} = n\cdot \tan \frac{180}{n}$ . Y vemos que el cociente no depende del radio sino del número de lados. Tomando el límite a infinito es como obtenemos $\pi$ .
Pasotaman - 20 de Enero de 2008 15:49

Asier: el argumento de la tangente depende de que la circunferencia abarque $2\pi$ radianes, con lo cual, como ya señaló Domingo, se está usando como hipótesis lo que se quería demostrar.

Supongo que la demostración griega será un tanto rollenta, como la de la proporcionalidad del área al cuadrado del radio, que leí hace tiempo del libro de Euclides que cita Domingo… a mí la integral me parece una formalización muy sencilla de la idea de que la relación entre diámetro y circunferencia ha de ser independiente de la unidad de medida empleada. Supongo, no obstante, que hay algo de deformación profesional en ello.
Domingo H.A. - 20 de Enero de 2008 16:10

Asier, en efecto la longitud de cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia es proporcional al radio, y en el límite se tiene entonces que tal propiedad debe satisfacerse para la longitud de la circunferencia. Pero yo me refiero a una demostración partiendo de los axiomas, del concepto de circunferencia y del concepto de longitud de una curva (entendida como supremo de longitudes de polígonos inscritos).

Les dejo por aquí un link donde se prueba la existencia de pi en esta línea, donde se sustituye el paso al límite actual por una combinación entre el método de exhausción y la reducción al absurdo: http://cf.geocities.com/ilanpi/pi-exists.html

¿Alguien da una referencia bibliográfica donde se indique una prueba “axiomática”?
Asier - 20 de Enero de 2008 17:34

Igual no lo he entendido bien, pero vamos a ver: creo que se trataba de demostrar que la razón entre la longitud y el diámetro es constante. Que la circunferencia abarca 360º es pura definición a mi entender, ese hecho se puede utilizar sin ningún problema. Fíjate en que yo no utilizo la definición $L = 2 \pi R$ sino que doy una expresión general para cualquier polígono regular y digo que ese cociente, para el círculo, vale su límite cuando n tiende a infinito y que es una constante, que es lo que se quería demostrar.

Corregidme si me he equivocado.
Asier - 20 de Enero de 2008 18:00

¿te refieres a que la tangente no se puede calcular sin conocer que $L = 2 \pi R$ ?

Si se trata de eso creo que partiendo del teorema de pitágoras es fácil ver que la tangente de un ángulo es independiente de la hipotenusa (radio de la circunferencia).
Omar-P - 20 de Enero de 2008 21:56

La hipotenusa es la secante. El radio del círculo es el cateto adyacente. La tangente es el cateto opuesto.
Asier - 20 de Enero de 2008 23:34

Omar-P, no me refería al radio de la figura que he utilizado para el desarrollo sino en general, cuando dibujamos un triángulo rectángulo en una circunferencia centrada en el origen de coordenadas, aplicando el teorema de Pitágoras podemos deducir fácilmente que la tangente de un ángulo determinado es independiente de lo grande que sea el triángulo dibujado, es decir independiente de la hipotenusa, que coincide con el radio de la circunferencia donde está inscrito el triángulo. A ese radio me refería.
Domingo H.A. - 21 de Enero de 2008 10:34

La longitud de cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia es proporcional al radio, y en el límite parece entonces que tal propiedad debe satisfacerse para la longitud de la circunferencia. Pero todo esto es a posteriori, ya que tendrías que justificar que $n\cdot \tan \cfrac{180}{n}$ tiene un límite. Dicho de otro modo tendrías que justificar que $\displaystyle{lim_{h\to 0} \cfrac{tg\;h}{h}}=\displaystyle{lim_{h\to 0} \cfrac{sen\;h}{h}}=1$ , para lo cual se necesita conocer que en una circunferencia el arco que abarca un ángulo dado es proporcional al radio. A lo que voy es que aunque trabajes en sexagesimal, en el fondo asocias un ángulo a una determinada longitud de arco (radián), y por tanto estás usando que la longitud de un arco es igual al ángulo girado (en radianes) multiplicado por el radio. Y entonces recurrimos a lo que se quiere demostrar.
Asier - 21 de Enero de 2008 11:01

Entiendo a lo que te refieres, pero no creo que sea necesario conocer el valor de ese límite para saber que lo tiene (que es lo que nos interesa saber). Estamos ante una indeterminación del tipo $\infty \cdot 0$ . Está claro que la longitud de la circunferencia no puede ser cero ni infinito. Como la circunferencia es construible y le hemos asignado un radio, tiene que tener una longitud determinada, por lo tanto sabemos que esa indeterminación es una constante entre 0 e infinito, y además independiente del radio, que es lo que queríamos demostrar.
Historias de la ciencia | El universo de las matemáticas - 23 de Enero de 2008 1:41

[...] Pues bien, resulta que le enseñó matemáticas a su hermano menor, Johann, quien se convirtió en un durísimo competidor. De hecho, hubo una fuerte rivalidad por la supremacía matemática. Mientras Johann no disimulaba su alegría cuando resolvió un problema con el que no había podido Jakob, éste último le llamaba “discípulo” intencionadamente. Una disputa famosa se produjo por una curva llamada catenaria, (aquella que se produce al colgar una cuerda sujeta por dos puntos). Mientras Jakob no pudo resolverlo, su hermano Johann sí y corrió a decírselo dejándolo perplejo. Jakob contraatacó con el problema isoperimétrico. Esto es: entre todas las curvas del mismo perímetro, dar la que encierra mayor área. Por ejemplo, en unidades arbitrarias, un rectángulo de lados 1 y 9 tiene un perímetro de 20 y el área sería de 9; pero un cuadrado con el mismo perímetro (de 5×5) tendrá un área de 25 (en gaussianos han tratado el tema hace poco). [...]
LeonardoSz - 27 de Enero de 2008 21:46

Creo que aquí está explicado todo esto de lo que se habla en este post y sus correspondientes comentarios:

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm

Saludos.
Omar-P - 28 de Enero de 2008 0:04

Hermoso sitio LeonardoSz. Imperdible la parte que habla del palimpesto. Gracias.
Omar-P - 28 de Enero de 2008 0:07

Digo palimpsesto…
Las matematicas y las abejas « Bienvenido al mundo real - 31 de Enero de 2008 14:33

[...] Las matematicas y las abejas ¿Saben las abejas de matematicas? parece ser que si. Aqui os dejo un post en gaussianos.com sobre este asunto. [...]
lidia - 8 de Febrero de 2008 20:02

me aburro
lidia - 8 de Febrero de 2008 20:03

bueno me gustaria saber el por que las abejas hacen hexagonos en sus colmenas.

Deja un comentario

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios.
Para ello sólo tienes que escribir $ latex código-latex$ (sin el espacio entre $ y la palabra latex).
Si tienes alguna duda sobre cómo insertar algún símbolo puede ayudarte la siguiente web:
Wikipedia: Usando TeX
Utiliza la Vista Previa antes de publicar tu comentario para asegurarte de que las fórmulas están correctamente escritas.