Las ocho bolas

Imaginemos que disponemos de 8 bolas iguales a la vista y que tenemos una balanza con dos bandejas para poder pesarlas.

1.- Supongamos que sabemos que una de las bolas pesa más que el resto pero no sabemos cuál es. ¿Cuál es el mínimo número de pesadas que necesitamos para poder saber con total seguridad cuál es esa bola? ¿Cuál sería el procedimiento a seguir?

2.- Supongamos ahora que sabemos que una de las bolas es distinta a las demás, pero no sabemos si es más pesada o más ligera que el resto. ¿Cuál es el mínimo número de pesadas necesarias para localizarla? ¿Cuál sería el procedimiento?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. En el caso de que todas las bolas sean de igual peso(menos la más pesada claro está),para el primero necesitariamos medir 3 veces, el procedimiento seria el siguiente, medir primero 4 y 4, de ahi tomamos las 4 que pesaron mas en conjunto y ahora medimos dos y dos, y por ultimo 1 y 1 y ya tenemos la mas pesada. En el segundo caso lo que yo creo que tendriamos que hacer seria medir 2 y 2 primero (por balanza)..asi en dos oportunidades eliminamos 4 bolas(las que queden igual), ahora que tenemos 4 bolas otra vez las separamos y medimos 1 y 1…aqui ya tendremos en 4 pesadas solo 2 bolas, que tambien se podria lograr pesando de 2 en 2 y por ultimo hay que fijarse en la bola que peso man (o en la contraria, no importa) y ver que pasa si la pesamos con otra de las que ya habiamos descartado, si las bolas se mantienen iguales concluimos que la bola diferente es menos pesada, y si pasa lo contrario sera la mas pesada…dando un total de 5 pesadas,no se si me di a entender, pero eso fue lo que me imagine yo

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    • Se pesan tres bolas en cada plato de la balanza. Si la diferencia aparece en este paso repetimos el procedimiento dejando una bola fuera. En ambos casos son solo dos los pasos necesarios.

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  2. Caso 1: 3 pesadas como máximo.

    Pones 4 bolas en una platillo y 4 bolas en el otro. El que pese más contiene la bola diferente. Coges esas 4 bolas, pones 2 en un platillo y 2 en el otro. El que pese más contiene la bola diferente. Por último coges esas dos bolas y colocas una en cada platillo, la que pese más es la diferente.

    Caso 2: 4 pesadas como máximo.

    Pones 4 bolas en un platillo y 4 bolas en el otro. Eliges el grupo que pesa más y pones 2 bolas en un platillo y 2 en el otro.
    Si uno de ellos pesa más que el otro, entonces hay una bola “pesada” y no tienes más que elegir las dos bolas del platillo “pesado” y compararlas para saber cual es.
    Si los platillos se equilibran entonces en el otro grupo de 4 bolas (que pesaba menos y hemos descartado) hay una bola “ligera” y por lo tanto hay que poner dos bolas en cada platillo, descartar las bolas del platillo que pesa más y comparar las dos bolas que nos quedan para saber cual es la más “ligera”.

    Si no me equivoco, ese debe ser el procedimiento más eficiente. Claro, que siempre puedes escoger dos bolas al azar y pesarlas, con algo de suerte una de ellas sera la diferente y te ahorrarás algunos pasos 😉

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  3. Para el caso 1 me salen 2 pesadas, a saber:

    Hacemos tres grupos de bolas: 3 3 2

    1 Comparamos los dos grupos de 3, si son iguales pasamos al paso 2a y si son distintos al paso 2b

    2a Una de las dos bolas que queda es la más pesada, hacemos la segunda pesada y lo comprobamos.

    2b Tomamos del grupo de tres que más pese, dos bolas al azar. Si pesan lo mismo, entonces la que no cogimos es la buscada. Si una de las dos pesa más que la otra, ésa es la que buscamos.

    Para el caso de que la bola sea “simplemente” distinta, creo que me lo voy a pensar más…

    Saludos a todos

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  4. Aplicando los conceptos de la teoría de la información (es que soy informático, no matemático), tenemos:

    La cada resultado de la balanza tiene tres posibles estados, izquierda, derecha y balanceado, por lo que cada pesada nos proporciona log(3)/log(2) bits, aprox. 1,585.

    Y el sistema puede estar en 16 estados posibles, (bola 1 pesada, bola 1 ligera, bola 2 pesada, bola 2 ligera, …). 16 es 2^4, 4 bits.

    Tenemos 4 bits de incertidumbre y cada medida no s proporciona 1,585 bits, dividiendo, 4/1,585 nos da 2,52. Como el número de pesadas tiene que ser entero lo llevamos a 3.

    No pongo cómo hacer las pesadas (porque no tengo tiempo, en serio, que no hago como Fermat), pero la pista es que cada resultado de cada pesada tiene que ser lo más próximo a ser equiprobable, la pesada inicial no puedes ser 4 bolas a la izquierda y 4 a la derecha, porque que la balanza se quede nivelada es imposible.

    Si no lo soluciona nadie pongo las pesadas esta noche.

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    • Tu teoría falla, se puede hacer en 2, basta que peses 3 y 3 y dejes 2. si no hay diferencia de peso la bola esta en las 2 que has dejado por lo tanto solo te hace falta una pesada más y si no lo está descartas 3, dejas 1 y pesas 1 y 1, si no hay diferencia la bola es la que dejaste, si la hay ya sabes cual es.

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  5. oscarchan ha dado la solución correcta para el primer caso.

    felix si te digo la verdad no estoy muy seguro de la fiabilidad de tu razonamiento, pero el número de pesadas que has dado es el correcto: 3 pesadas. Ahora toca describir los pasos a seguir.

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  6. Para saber cual de las 8 es “diferente” necesitamos 3 pesadas. Hacemos 2 grupos de 2 y los pesamos, si pesan lo mismo la bola traviesa está en las otras cuatro que no hemos pesado y si no, está escondida entre las que hemos pesado. Sea como sea nos quedan cuatro candidatas.
    En la siguiente pesada cogemos un par de bolas y las pesamos (de las 4 candidatas, claro), si pesan lo mismo la traviesa está en las otras dos, si no pesan lo mismo, es una de las dos!
    Finalmente cogemos una de las dos candidatas y la pesamos… con otra de las 6 que sabemos que son las igualitas… tengo que acabar el razonamiento?

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  7. Hola. A ver si acierto.

    1.- Pesamos dos y dos. Si son idénticas, ya sabemos que es una de las otras cuatro y si son diferentes es una de esas 4

    De 8 bolas hemos pasado a 4.

    2.- Tomamos dos de las bolas iguales y las pesamos con un grupito de las dos que quedan. Si pesan igual sabemos que es una de las otras dos, si diferente una de ellas.

    Sólo quedan dos de las que una es la diferente.

    3.- Basta pesar una de las conocidas con una de las pendientes. Si son diferentes, ya la hemos detectado, si iguales la que queda.

    Este método asegura averiguar en tres pesadas la diferente, pero no asegura decir si pesa más o menos.

    Salud!

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  8. Este problema lo conozco desde hace algun tiempo pero con una ligera variacion: 12 bolas iguales en apariencia,volumen, etc y una de ellas diferente (no sabemos si mas o menos) de peso. En 3 pesadas se puede saber cual es la bola diferente.

    La balanza de platillos me ayudó: teniendo en cuenta el sentido del desplazamiento de la aguja.

    Poner la solucion es un poco largo y si pudiera adjuntar un archivo (que no se si se puede; si se puede decírmelo; y si se lo puedo enviar a alguien para que la publique tambien) lo adjuntaria, ya que gráficamente se ve mejor la solución que escribiéndola toda entera.

    Para 6 bolas seria (es mas corto que para 8 y creo que la explicacion sirve igual):
    Si hubiera 6 bolas (numeradas de la 1 a la 6) en un plato se ponen al 1 y 2, en el otro 3 y 4. Son iguales? pues en otra pesada sabremos si es la 5 o la 6. Son diferentes? pesamos 1 y 3 en un plato y 2 y 5 (5 no sera la diferente) y si sale igual es la 4. Si es diferente y el sentido de la balanza es el mismo que en la pesada primera entonces la bola 1 es la diferente (por que el sentido de la pesada no cambia). Si el sentido cambia será o la bola 3 o la 2 que con otra pesada sabremos cual es la diferente.

    Un saludo.

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  9. Para el segundo problema se me ocurre que:

    *Primero hacemos 4 grupos de 2 bolas cada uno.

    1.- En la primera pasada comparamos 2 de los grupos.
    2.- En la segunada pasada comparamos los otros 2 gupos faltantes.

    Hasta este punto sabremos en que grupo de 2 bolas esta la bola distinta, es necesario hacer estas dos comparaciones, ya que no sabemos si la bola distinta es mas pesada o liviana, o sea si en la primera comparacion sabemos que uno de los grupos es mas pesado que el otro, no tenemos la seguridad de que la bola este ahi, entonces procedemos a pesar los otros 2 grupos, que obviamente seran iguales pero la informacion que obtendremos es cual es el peso de dos bolas “normales”, asi aislaremos el grupo que contiene la bola distinta de la primera comparacion y ademas sabremos si la bola distinta es mas pesada o liviana (claramente los resultados de la primera pasada con la segunda son intercambiables, lo que no hace variar los resultados).

    3.- Finalmente (ya teniendo aislados el grupo con la bola distinta) comparamos las dos ultimas bolas (recuerden que ya sabemos si la bola es mas pesada o liviana gracias a las dos primeras comparaciones).

    Bueno a quedado algo enredada la explicacion pero espero que la entiendan.

    🙂

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  10. Por si a alguien le interesa, en su día había generalizado el segundo problema para cualquier número N de bolas (o monedas). Un programa basado en este algoritmo se puede ver en:

    http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/profes/departam/mates/juegos/monedas.htm

    La publicación (revista SUMA nº 33, febrero 2000) en la que se recoge el procedimiento general se puede descargar (archivo monedas.doc) en la dirección:

    http://www.anarkasis.com/rafa/01/monedas/

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  11. Lo prometido es deuda, aquí van las pesadas.

    A las bolas las voy a llamar ‘a’ a la primera, ‘b’ a la segunda, así hasta la ‘h’.

    El estado en el que la primera bola es más pesada que el resto lo llamaré ‘A’, y si es menos pesada lo llamaré ‘a’. Mayúsculas para más pesada y minúscula para el estado de la bola menos pesada.

    Inicialmente no sabemos qué bola es diferente y cómo es de diferente, los estados posibles son:
    ‘abcdefghABCDEFGH’, tenemos 16 estados, 4 bits de entropía.

    Tenemos que hacer las pesadas de forma que podamos obtener cualquiera de los tres resultados posibles: desvío hacia la izquierda, hacia la derecha o equilibrio.

    En la primera pesada ponemos las 3 primeras bolas a la izquierda y las 3 siguientes en el segundo plato, las otras 2 las reservarmos:

    (abc)—+—(def)

    Si se desvía hacia la izquierda significa que o una de las bolas de la izquierda es más pesada o una de las de la derecha es menos pesada, los estados posibles son:
    ABCdef, 6 estados posibles (2 y pico bits).

    En la siguiente pesada redistribuímos las bolas para que los 3 resultados tengan una probabilidad similar (así la información obtenida de la medida es máxima).

    Podemos hacer (Ad)—+—(Be), los estados que quedarán después de esta medición son:

    Izquierda: Ac
    Derecha: Bd
    Equilibrio:Cf

    Y si se ha desviado a la izquierda por ejemplo volvemos a poner una de las dos bolas sospechosa de ser diferente y una bola sobre la que no hay sospechas:
    (a)—+—(h)
    Si se desvía a la izquierda el estado es A, la primera bola es más pesada, si se equilibra el estado es c, la tercera bola es más liviana.

    Si en la primera pesada se desvía a la derecha el razonamiento es el mismo.

    Si la balanza queda equilibrada en la primera pesada los estados posibles son:
    ghGH, tan sólo 4 estados (2 bits).

    Podemos hacer una pesada (g)–+–(h) y tendremos:
    izquierda: estado Gh
    Derecha: estado gH

    Por ejemplo supongamos Pesamos una de estas sospechosas con una no sospechosa:
    (g)–+–(a), si la medición:

    izquierda: G

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  12. felix me da que se te ha cortado el comentario. Ten cuidado con los signos de mayor y menor que, ponles espacios porque si no los interpreta como etiquetas html y la cosa no sale bien.

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  13. para el segundo caso… creo que son maximo seis pesadas, si tomamos de dos en dos, una de cada lado de la balanza y una adicional para identificar a la bola diferente… talvez otra pesada para saber si es mas pesada o mas ligera
    De otro modo, haciendo lo mismo que en el caso 1, (grupos: 3,3,2) pueden hacerse desde dos hasta 6 pesadas para identificarla

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  14. para mi la mas pesada es la bola con un gramaje mayor definido por la octaba ley de machia en la que abla de que la materia en estado celulosico no tiende a ser mas o menos la que contiene un grado de masa fiel gracias espero que les ayude

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  15. parami se deben colocar una bola en cada platillo si la balanza segue equilibrada se colocan una mas en cada plato hasta que se desequilibre nos daremos cuenta cual es la diferente en solo una pesada espero que ayude

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  16. Hola ! En un examen que presenté para la empresa Dupont venía un problema muy similar, demasiado, les explico.

    Se tienen 8 esferas que a la vista son del mismo tamaño y peso, pero una de ellas es MAS LIGERA que las demas, se tiene una balanza de dos platos y SOLAMENTE se puede usar 2 VECES para determinar cual es la esfera mas ligera. ¿cómo lo harías?

    Realmente no pude determinar el resultado, lo mas que pude dar fue adivinarlo en 3 pesadas, pero eso sólo me dejaría en la incertidumbre de 2 esferas. por lo tanto no es la respuesta correcta.

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  17. tengo un problema casi similar a los que han expuestos :
    SE TIENE 9 CANICAS DE LA MISMA MEDIDA , COLOR Y TAMAÑO PERO UNA DE ELLAS PESA MENOS.¿COMO PUEDO AVERIGUAR , CUAL ES LA QUE PESA MENOS , SOLAMENTE HACIENDO USO DE LA BALANZA DOS VECES?.
    Si alguno sabe la rpta. lo escribe . agradecimientos de antemano

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  18. Primera pesada: tres canicas en cada plato. Si hay equilibrio la bola buscada está entre las tres que no has pesado. si no hay equilibrio está entre las tres que pesan menos. Luego ya tienes, en cualquier caso, un grupo de tres que contiene la bola diferente.
    Segunda pesada: una bola de ese grupo de tres en cada plato. Si hay equilibrio la buscada es la que no has pesado. Si no hay equilibrio será la menos pesada de las dos que están en los platos.

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