Las propiedades de la inversión (geométrica)

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

La inversión en el plano

Si tenemos una circunferencia k de radio r en un plano p, y e es la esfera que tiene a k por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de k asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección N, y viceversa.

La simetría de la esfera respecto al plano p, es decir la transformación que intercambia cada punto E de la esfera con su simétrico E^{\prime} respecto al plano p, induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano p, que intercambia el interior de la circunferencia k, excepto su centro O, con el exterior de esa circunferencia.

En la figura, \angle ONP^{\prime} subtiende en la esfera un arco SE^{\prime} = NE. y \angle ONP subtiende el arco ES. Entonces \angle ONP^{\prime} es complementario de \angle ONP y los triángulos rectángulos \triangle OP^{\prime}N y \triangle ONP son semejantes. Por tanto  \dfrac{ON}{OP^{\prime}} = \dfrac{OP}{ON}, es decir OP\cdot OP^{\prime} = r^2.

La inversión de centro O y potencia k es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto P distinto de O, el punto P^{\prime} situado en la recta OP y tal que OP \cdot OP^{\prime} = k.

Si k es negativo, O está entre P y P^{\prime}, y la transformación es equivalente a una inversión de centro O y potencia |k| seguida de un giro de 180º con centro O.

En lo que sigue asumiremos que la potencia k es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro O y radio \sqrt{k} son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro O y radio \sqrt{k}

Las propiedades de la inversión

De la definición de la inversión y de las propiedades de la proyección estereográfica se obtienen inmediatamente las propiedades de la inversión:

La inversión es una involución y preserva la incidencia, es decir si dos curvas son tangentes o se cortan en un punto P, sus inversas serán tangentes o se cortarán en el punto inverso de P.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

Los puntos fijos de la inversión son los puntos de la circunferencia de inversión.

Las rectas que pasan por el centro de inversión se transforman en sí mismas, y las circunferencias ortogonales a la circunferencia de inversión se transforman en sí mismas.

Una recta que no pasa por el centro de inversión se transforma en una circunferencia que pasa por el centro de inversión, y viceversa. Además esa recta es paralela a la tangente a esa circunferencia por el centro de inversión.

Una circunferencia que no pasa por el centro de inversión se transforma en una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

La inversión conserva el valor absoluto de los ángulos y los cambia de signo.

La inversión en el espacio

De la misma forma que para el plano, se define la inversión respecto a una esfera en el espacio, y de las propiedades de la inversión en el plano, se obtienen propiedades análogas de la inversión en el espacio, en particular una esfera que pasa por el origen se transforma en un plano paralelo al plano tangente a la esfera en el centro de inversión, y una esfera que no pasa por el centro de inversión se transforma en otra esfera.

De aquí se concluye , por ejemplo, el teorema del sexteto o “hexlet” de Soddy: Si tenemos 3 esferas tangentes entre sí en puntos diferentes, que llamaremos esferas fijas. y colocamos una primera esfera tangente a las 3 fijas, a continuación una segunda esfera tangente a la anterior y a las 3 fijas, una tercera tangente a la segunda y a las 3 fijas, y así sucesivamente, la séptima esfera coincide siempre con la primera colocada tangente a las 3 fijas, es decir el collar de esferas alrededor de las 3 fijas se cierra siempre con la sexta esfera. (Alguna esfera puede ser un plano).

El resultado se hace evidente considerando la inversión respecto a cualquier esfera cuyo centro sea un punto de tangencia de dos de las esferas fijas, puesto que esta inversión transforma a esas dos esferas en dos planos tangentes entre sí y a la otra esfera fija en una esfera tangente a esos dos planos.

El inversor de Peaucellier


El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.





En la figura, OP^{\prime} \cdot OP = (OX+XP)(OX-XP) = OX^2 - XP^2  =
= (a^2 - AX^2) - ( b^2 - AX^2) = a^2-b^2.

Por tanto el punto P^{\prime} es el inverso de P respecto a una circunferencia de centro O y radio \sqrt {a^2-b^2} , y si formamos con 6 varillas articuladas un mecanismo como el de la figura, llamado inversor de Peaucellier, y fijamos el extremo O, dejandolo rotar libremente en un punto O, al mover el extremo P, P^{\prime} describirá una curva que será la inversa de la curva que describe P.

Si mediante una séptima varilla unimos el punto P al centro de una circunferencia que pase por O, al moverse el punto P su inverso P^{\prime} describirá una recta.

Si a < b[/latex], el inversor de Peaucellier produce una inversión de potencia negativa [latex]a^2 - b^2[/latex].

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Leches, está hecho con GeoGebra. Estoy utilizando el programa para trigonometría. Facilita mucho la explicación de las propiedades de las razones trigonométricas.

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  2. Para Renato Jesús: Suponemos, por la redacción del enunciado que la suma es la misma independientemente del punto “m” elegido. Es muy fácil calcular las distancias si elegimos uno de los vértices del propio polígono. Comprobada dicha suma para un triángulo, un cuadrado, un pentágono y un hexágono regulares resultan ser: 6 x r^2, 8 x r^2, 10 x r^2 y 12 x r^2. Podemos inferir que para el caso general la solución es 2 x n x r^2, siendo n el numero de lados del polígono.

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  3. Muy interesante, la demostración de inversión del centro del circulo a una Recta. No lo había visto en visto en tres dimensiones. En el gráfico no de define al lugar de N´.

    Muchas gracias.

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  4. Estimado amigo, en el gráfico primero existe un pequeño detalle que he notado: por la propiedad de potencia de inversión,

    OP´* OP = r ^2

    Siendo r = ON

    Reemplazando en la primera relación, tenemos que:

    OP´* OP = ON * ON

    y que cumple que OP´/ON = ON/OP

    Por cuanto, la notación N´(prima) debería ser únicamente N (sin el prima).

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