Las tres circunferencias

Como la semana en curso ha comenzado en plan geométrico os dejo un problema también geométrico:

Partimos de tres circunferencias iguales. Las colocamos de forma que las tres sean tangentes entre si, es decir, cada una es tangente a las otras dos. Entre ellas queda una porción del espacio, que en la imagen está coloreada de rojo. El problema consiste en calcular el área de dicha porción del espacio sabiendo que el diámetro de cada una de las circunferencias es 10.

Ánimo, que no es difícil.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de Junio de 2009
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Categorías: Geometría, Juegos | Imprime este post

28 comentarios

bibliotranstornado | 30 de Junio de 2009 | 9:06

Construimos un triángulo cuyos vértices sean los centros de las circunferencias, este triángulo contiene el área buscada más la sexta parte del área de cada círculo. El resultado buscado es el área del triángulo menos tres sextas partes del área de una circunferencia.
P. | 30 de Junio de 2009 | 9:18

Podemos restarle al triángulo equilátero formado por los centros de las circunferencias los tres sectores de circunferencia iguales y el resultado será el área pedida.

Cada sector tiene área: 25Pi /6 (1/6 del áea total)
Así, los tres sectores tendrán: 25Pi /2

Ahora, el área del triángulo equilátero de lado 10 es: 25sqrt(3)
Entonces el áea pedida es:

25sqrt(3) – (25Pi/2) = 25(sqrt(3)- Pi/2)
Joseba | 30 de Junio de 2009 | 9:34

El área de la región sombreada en rojo será la diferencia entre el área del triángulo delimitado por las rectas que unen los centros de las tres circunferencias y el área de los sectores de las circunferencias que quedan dentro de dicho triángulo.

Así, el área del triángulo sería $T = {(2R)^2 \over 2} = 2R^2$

El área de una circunferencia completa sería $\Pi R^2$

El área de un sector de circunferencia, considerando que las tres circunferencias son iguales y que por tanto el triángulo es equilátero, y por ello los ángulos del triángulo son de 60º, es decir, $1/6$ de circunferencia, sería $S = {\Pi R^2 \over 6}$

El área buscada sería $T - 3S = 2R^2 - 3{\Pi R^2 \over 6} = 2R^2 - {\Pi R^2 \over 2} = {4R^2 - \Pi R^2 \over 2} = {R^2 (4 - \Pi)\over 2}$

Para el caso de R = 10 el resultado es de 42,92 (y un montón de decimales más).
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Bitacoras.com
Joseba | 30 de Junio de 2009 | 10:25

Disculpad el error, el área del triángulo sería $T = (2R)^2 {\sqrt 3 \over 4} = R^2 \sqrt 3$

Y por tanto el área buscada sería $T - 3S = R^2 \sqrt 3 - 3 {\Pi R^2 \over 6} = {2 R^2 \sqrt 3 - \Pi R^2 \over 2} = {R^2 (2 \sqrt 3 - \Pi) \over 2} = R^2 (\sqrt 3 - {\Pi \over 2})$

Para R = 5 (de nuevo, perdón por el error, esta vez considerar R = 10) el resultado es de 17,12 (con más decimales, claro).
Omar-P | 30 de Junio de 2009 | 12:35

En general, el área entre los tres círculos es igual a la mitad de la absoluta diferencia entre el área de uno de los círculos y el hexágono circunscrito.
Javier | 30 de Junio de 2009 | 13:21

Tenemos un triángulo equilatero de lado 20, cuya Area = 2R^2*cos(pi/6)=200*cos(pi/6)

Le quitamos 3 veces el área del ángulo de pi/3 (60grados) de una circunferencia de radio 10 = 3* (pi/6)*10^2

y queda

200cos(pi/6)- ((pi/6)10^2) = 100* 3^(1/2)- (50pi/3) = 120.8452
Javier | 30 de Junio de 2009 | 13:24

http://www79.wolframalpha.com/input/?i=(200*cos(pi%2F6))-(pi%2F6)*100
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Las tres circunferencias | Gaussianos « El camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo.
Roberto | 30 de Junio de 2009 | 15:09

Omar-P, podrías explicar un poco a qué te refieres con tu respuesta?

Gracias
Samuel | 30 de Junio de 2009 | 15:31

Excusad mi desconocimiento de LaTex, agradecería que alguien se tomara la molestia de pasar mi respuesta a LaTex, de ser correcta, ahí va:
Los centros de las cirunferencias forman un triángulo equilátero de vértices A, B y C, con lados de longitud 10 (radio + radio).
La superficie del área entre las circunferencias, S, se calcula restando al área del triángulo equilátero la de los sectores circulares, llamémolos R1, R2 y R3, todos ellos iguales, siendo R el área de los 3 juntos, sabiendo que cada sector tiene un arco de 60º: luego R=3·R1=3·(60/360)·pi·10=5·pi. Ahora nos falta hallar el área del triángulo equilátero, de lado 10, y altura 10·sen60º, luego el área del triángulo, T=(10·10·sen60)/2=50·sen60º=50·sqrt(3)/2=25·sqrt(3). Tenemos el área del triángulo, T, y la de los sectores, R, y sabemos que T=R+S, luego S=T-R=25·sqrt(3)-5·pi.
Espero estar en lo cierto, o una corrección.
lucagali | 30 de Junio de 2009 | 15:45

Samuel, al calcular el área del sector circular has puesto R=3·R1=3·(60/360)·pi·10=5·pi cuando sería R=3·R1=3·(60/360)·pi·5^2=25·pi/2
Con ese cambio, tu resultado es el mismo que el de Joseba.
Saludos
Javier | 30 de Junio de 2009 | 15:50

Uff, las prisas. Me he equivocado, el triangulo seria de lado 10 ya que el radio es 5 (gracias por el comentario),

Luego:

AreaTriangulo= (10*10cos(pi/6))/2=50cos(pi/6)

50cos(pi/6)-3((pi/12)5^2)= http://www89.wolframalpha.com/input/?i=+50cos(pi%2F6)-3((pi%2F12)5^2)

= 23.666….

Creo …
Samuel | 30 de Junio de 2009 | 16:48

gracias, lucagali… me equivoque con la longitud
Omar-P | 30 de Junio de 2009 | 16:56

Con todo gusto Roberto,
Siendo los tres círculos iguales, de cualquier diámetro, el área entre los tres círculos es igual a la mitad de la absoluta diferencia entre el área de uno de los círculos y el área del hexágono circunscrito.
mper23 | 30 de Junio de 2009 | 19:42

Parecido a este (creo): si tenemos cuatro bolas esféricas del mismo radio r en el espacio, tangentes tres a tres (como naranjas apiladas), ¿cuál es el radio de la esferita mayor que se puede meter entre las cuatro? Lo vi hace algún tiempo en una lista y…¿sale la cuarta parte de r?
ramnic | 30 de Junio de 2009 | 21:48

A mi me da 4,031

Al area del triangulo formado por los centros de los circulos ((b*h)/2-> (10*sqrt(75))/2) le restamos el área de 3 sectores circulares ->(3*((pi*r^2)/6))

Saludos a todxs.
Ni lo van a publicar... | 30 de Junio de 2009 | 23:36

A mi me da
10.730091830127584519216957709006213947535382507811177237813…
Lo hize con trapecios, no con triangulos..
Emmanuel | 30 de Junio de 2009 | 23:52

$25 (\sqrt 3 -{\Pi\over 2}) \approx 4.031362019$
Ni lo van a publicar... | 1 de Julio de 2009 | 1:30

Corrijo:
Se tiene que los tres circulos son tangentes, si se crea un triangulo que una los tres centros de los tres circulos, se creara un triangulo equilatero con lado 10.
La altura $h$ de este triangulo será con a=5 y c=10
$c^2=a^2+b^2 \Rightarrow b^2=c^2-a^2 \Rightarrow b^2=100-25=75 \Rightarrow b=\sqrt{75}$
Cada circulo tendra un area de $1/6$ del total dentro del triangulo, al ser tres triangulos, esto se multiplica $\frac{1}{6}*3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
restando esto queda
$T=\frac{10\sqrt(75)}{2}-\frac{25\pi}{2}\approx 4.0313620193495168574031162466530231211055138530706929392083$
mmmm | 1 de Julio de 2009 | 2:22

@Ni lo van a publicar… : Si llegamos a los mismos resultados
pero bueno.
^DiAmOnD^ :Increíble blog
gaussianos | 1 de Julio de 2009 | 4:49

Muy bien chicos. Aunque no era difícil habéis respondido muy bien, como siempre.

Por cierto, el problema lo saqué de Problemas Matemáticos. No quise poner antes el enlace porque en él puede consultarse la solución.
ylasoluciones | 1 de Julio de 2009 | 21:30

@^DiAmOnD^,

Como veo que hay varias personas que dan soluciones dispares, y tampoco me convence el valor numérico de la página de donde lo sacaste, me gustaría que dieses el valor que te sale a ti (no hace falta que pongas todos los decimales jeje).

PD: A mí me sale aproximadamente 16,125, resuelto de forma similar a Joseba (en su rectificación claro )
^DiAmOnD^ | 2 de Julio de 2009 | 16:39

El resultado es:

$25 \cdot \left (\sqrt{3}-\cfrac{\pi}{2} \right )$

Joseba también obtiene ese resultado, pero al operar debe hacerlo mal, porque es aproximadamente $4,03\ldots$ .
santi_monse | 3 de Julio de 2009 | 20:27

Área del triángulo formado por la unión de los centros de los círculos:

A1 = [B * H] / 2
A1 = [Sin[π/3] * 10 * 10] / 2
A1 = 50 * Sin[π/3]
A1 = 25 * √3

Área de los 3 sectores de círculo encerrados por la unión de los centros de los círculos:

A2 = 3 * [(π * R²) / 6]
A2 = 75 / 6 * π

El área marcada es la diferencia entre A1 y A2, como se puede verificar gráficamente:

A = A1 – A2
A = 25 * √3 – 75 / 6 * π
A = 25 * [√3 - π / 2]
A ≈ 4,031362019

¡Saludos!
Lautaro | 7 de Julio de 2009 | 9:02

Podemos encerrar a dos de los círculos en un rectángulo.

Este rectángulo tendrá unas dimesiones de 20 x 10, es decir, un área de 200.

Cuánto ocupan los círculos dentro de este rectángulo?

3.14 . 5^2 = 76

Son dos los cículos, entonces ocupan 152 de superficie.

Luego, dentro, del rectángulo, queda el equivalente a 4 áreas rojas.

Entonces, simplemente, se calcula (200 – 152) / 4

Finalmente, el área de la zona seleccionada es 12.

Saludos…
Lautaro | 7 de Julio de 2009 | 9:04

Ups, olvidé que queda una parte del tercer círculo dentro del rectángulo imaginario xD
Trackback | 4 Ago, 2009

La reconciliación de las circunferencias trae sorpresa | Gaussianos