Las tres menores distancias

Os dejo hoy un problema que me envía Javier Serrano (sí, el creador de las camisetas matemáticas que “hacen cosas”).

Ahí va el enunciado:

Sea S un conjunto de n puntos P_i en el plano. Se escoge uno de estos puntos, digamos P_k. Encontrar la región del plano de todos los puntos X que cumplen que la distancia desde X hasta P_k es una de las tres menores de entre todas las posibles d(X,P_i).

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. No entiendo el enunciado. Tal y como está, o como lo entiendo, digo de tomar la región X encerrada por la envolvente de S y ya se tiene que d(X, Pi) = 0 y, en particular, d(X, Pk) = 0.

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    • Un punto X del plano es de la región buscada si el punto P_k está entre los tres más cercanos a X de entre todos los P_i. Se trata de encontrar todos los puntos X así.

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      • Pues entonces basta con tomar el diagrama de Voronoi de tal conjunto S de n puntos. Tomamos la región de ese diagrama que encierra a Pk y listo. Ya tenemos, al menos, una forma de hallar tal región.

        ¿No?

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        • No frandal, esa región encierra los puntos tales que Pk es el más cercano, pero se pide que Pk sea de los tres más cercanos

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  2. Así a bote pronto da la impresión de ser la superficie encerrada por el polígono que une a los puntos más cercanos al punto elegido. Pero luego si tengo en cuenta los puntos del polígono que están cercanos entre ellos ya no es tan fácil. Habrá que pensarlo…

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  3. QUIERO QUE ME PUBLIQUEN ESTE PROBLEMA:

    ” En un cuadrado ABCD de lado igual a 10 unidades. Del vértice A y con 33,69 grados de inclinación sale una línea que corta al lado CD en el punto F; de este mismo punto F sale otra línea que corta al lado BC en el punto E. Hallar el área del triángulo escaleno inscrito AEF “.

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  4. Basta mirar como se hace un diagrama de Voronoi, con mediatrices. Al pintar todas las mediatrices dicho punto unido con los demás, cada mediatrices divide el semiplano en dos partes. A la que apunta a nuestro le damos valor 1 y la que no -1. Se nos quedará dividido en muchas regiones, se sumarán todos los valores anteriores y cada región tendrá un valor. La solución para Voronoi es la region de valor n-1 para n puntos. Y la solución para este son la unión de las regiones con valor n-1, n-3 y n-5.

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  5. El enunciado es demasiado ambiguo. Región X de los puntos que…, o bien región de los puntos X (en realidad X’s) que…

    Tomando la interpretación de region de los puntos X, una posibilidad podría ser la de Voronoi ya apuntada. Pero es que entonces cada región que encierre a Pk ya es solución, pues la distancia 0 (que es la d(X, Pk)) es una de esas tres menores distancias de las posibles d(X, Pi). Si no, a lo sumo sería LA ARISTA poligonal de Voronoi que encierra Pk y contando los lados de ese polígono que separan los otros dos puntos que están a las dos menores distancias que faltan (que, contando que ya ese polígono encierra Pk, tenemos las tres distancias menores).

    Pero esto dicho como una posible interpretación, y posiblemente incorrecta por haberla soltado a botepronto. Porque es que el enunciado es lioso.

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