Límite de sucesión por recurrencia

Esta semana comenzamos con el problema semanal, cuyo enunciado es el siguiente:

Se define por recurrencia la sucesión $x_0=a$ , $x_1=b$ y $x_{n+1}=\cfrac{(2n-1)x_n+x_{n-1}}{2n}$ , con $n\geq 1.$ Demostrar que la sucesión $\{x_n\}_{n\geq 0}$ es convergente y determinar su límite, para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ .

Que se os dé bien.

14 comentarios

Pcrdeg | 30 de May de 2011 | 12:17

El límite es a+(b-a)·e^(-1/2)
Tengo una demostración pero el tiempo que dispongo no me permite desarrollarla (perdonadme la excusa fermatiana)

[Intentaré desarrollar la solución esta tarde]
Trackback | 30 May, 2011

Bitacoras.com
pcrdeg | 30 de May de 2011 | 16:18

La solución del problema tal como la he desarrollado (ahorro las demostraciones por inducción que son simples):

Paso 1.- Definimos la sucesión y(n) tal que y(0)=0, y(1)=1, y(n+1)=((2n-1)•y(n)+y(n-1))/(2n)
Paso 2.- Definimos la sucesión d(n) tal que d(n)=y(n+1)-y(n).
Paso 3:- Se prueba por inducción que d(n)=[(-1/2)^n]/n!
Tenemos que
y(n)=y(n)-y(n-1)+y(n-1)-y(n-1)+…+y(1)-y(0)=d(n-1)+d(n-2)+…+d(1)+d(0).
Nótese que d(0)+d(1)+d(2)+….. es el desarrollo en series de potencias de e^(-1/2) y, por tanto, lim y(n)=e^(-1/2)
Paso 4.- Se prueba por inducción que x(n)=a+(b-a)•y(n). Por tanto, lim x(n)=a+(b-a)•e^(-1/2)
Alriga | 30 de May de 2011 | 16:24

He hecho un EXCEL y he comprobado muchas parejas distintas de “semillas” a y b.
Converge deprisa, con 10 términos ya tienes 8 decimales de precisión.
El límite me coincide siempre con el valor que dice Pcrdg:
a+(b-a)e^(-1/2)
vayapordios | 30 de May de 2011 | 21:18

“que d(n)=[(-1/2)^n]/n!”

Vale. Supongo que esto se le aparece a uno por una suerte de magia.

Me acuerdo demasiado a menudo en este blog de ese aforismo tan impresionante de “la formalización es a la matemática lo que el robo al trabajo honrado”.
pcrdeg | 30 de May de 2011 | 21:43

“que d(n)=[(-1/2)^n]/n!”
Vale. Supongo que esto se le aparece a uno por una suerte de magia”

No, no es por arte de magia. Si d(n)=y(n+1)-y(n) enseguida se comprueba que d(n)=-d(n-1)/(2n)
El resto es ajustar un poco para buscar qué sucesión se trata.

Y, por otra parte, no me gusta nada la frase que has empleado Más bien estoy completamente en desacuerdo….salvo que detrás de la formalización sólo haya ideas huecas; lo que, desde luego, no es mi caso
vayapordios | 30 de May de 2011 | 23:55

La frase no es mía, es de un matemático muy famoso, no recuerdo quién; no es la primera vez que se me viene a las mientes en este blog y tú respuesta corrobora su pertinencia. Y sí, es fácil verlo ya casi todo porque la idea parte del uso de una técnica habitual de manipulación de términos llevada a cabo con habilidad. Así que ya lo entiendo a satisfacción. Gracias.

No sé por qué razón, si no hay formalización, la pinta que parece dar un trabajo de matemáticas es el de un manual para niños. En filosofía de la ciencia se hace diferencia entre el “contexto de descubrimiento” y “contexto de justificación”, pero no necesitan los filósofos que les ahorremos trabajo y que nos tomemos tan en serio la separación.
Tanius | 31 de May de 2011 | 04:23

vayapordios, ¿qué?
pcrdeg | 31 de May de 2011 | 08:00

Googleando veo estas dos definiciones:

CONTEXTO DE JUSTIFICACIÓN
En filosofía de la ciencia, se llama contexto de justificación a las distintas pruebas, datos o demostraciones que el científico aporta para la justificación y defensa de la verdad de sus hipótesis ante la comunidad científica. En este contexto se incluyen los elementos y factores más propiamente científicos y racionales de la investigación científica.

CONTEXTO DEL DESCUBRIMIENTO
Esta expresión se refiere a los factores que influyen en la creación de una teoría científica. En el contexto del descubrimiento hay que incluir elementos no estrictamente racionales o no estrictamente científicos (como los psicológicos, filosóficos, culturales, políticos, etc.) que pueden influir en el éxito de una teoría ante la comunidad científica.

Ciñéndonos al problema propuesto, mi contexto de descubrimiento consistió observar la linealidad de la definición recurrente, lo que me permitió referirme al caso y(0)=0, y(1)=1. Colocar los términos de esta sucesión en una hoja de cálculo y ver que, efectivamente convergían. Tuve la intuición de tomar el logaritmo del límite y ver que era- 0’5, con lo que el límite sería e^(-1/2).
En vista de que el límite distaba de ser sencillo se me ocurrió que podía provenir de una serie de potencias así que transformé la sucesión en una suma mediante la sucesión d(n).
El contexto de justificación se limitó a demostrar formalmente todo lo anterior.

Dicho esto, sigo considerando que en matemáticas lo que no se demuestra no deja de ser más que una conjetura por mucha profundidad que tenga dicha conjetura.
josejuan | 31 de May de 2011 | 08:38

“No sé por qué razón, si no hay formalización… es… un manual para niños”

Si tú lo dices…

PD: Buen tema para flamear…
vayapordios | 31 de May de 2011 | 10:54

Yo no lo digo, sólo hay que pasarse por los comentarios de este blog para ver que tardan un montón (y aún sólo pidiéndolo mucho) explicaciones sobre el contexto de descubrimiento y luego acaba apareciendo mucho la palabra “trivial”. Todo apunta a lo que comentaba

Y si no, la probabilidad de que esa afirmación mía acabe siendo un flame, confirma de manera curiosa su acierto.

Por cierto, lo contrario de “formalizar” no es “no demostrar”. Y gracias por el detalle de ese maravilloso contexto del que disfrutas, puede que la próxima no se me escape.
hernan | 2 de June de 2011 | 15:49

Sin inducción: Reagrupando la recursión tenemos que

$\displaystyle x_{n+1} - x_n = - \frac{1}{2 n}(x_n - x_{n-1})$

O sea

$\displaystyle y_n = - \frac{1}{2 n} y_{n-1}$ con $y_n = x_{n+1} - x_n$

Y es fácil ver, por inspección, que la solución de esta recursión simplificada es

$\displaystyle y_n = \frac{(-1)^n}{2^n n!}$

De acá recuperamos $x_n = \sum y_n$ , queda la sumatoria de la exponencial, como encontró pcrdeg.
hernan | 2 de June de 2011 | 15:57

Corrijo (tarde) el factor olvidado : $\displaystyle y_n = \frac{(-1)^n}{2^n n!} y_0$
abdel | 14 de June de 2011 | 20:44

Correcto.