Límite homenaje a Vladimir Arnold

Esta semana J.H.S. me propone un problema que publicó en su blog El Reto hace unas fechas. La historia que nos cuenta J.H.S. en su artículo es más o menos así:

    El reto de esta ocasión pretende ser un modesto homenaje al profesor Vladimir Arnold, fallecido recientemente. El problema está basado en un curioso ejercicio que él solía mencionar en sus charlas a manera de expresión de respeto hacia los matemáticos de la vieja escuela.

    Específicamente, Arnold solicitaba calcular el siguiente límite:

    \lim_{x \to 0} \cfrac{sen(tg(x))-tg(sen(x))}{arcsen(arctg(x))-arctg(arcsen(x))}

    El Profesor agregaba que un problema así le tomaría no más de un minuto a hombres como Hooke, Newton o el famoso sensei de Newton. No tanto por sólo ser ellos, sino porque, a diferencia de los matemáticos de la actualidad, ellos sí sabían calcular. Cuenta la leyenda que, para ponerle sabor al asunto, Arnold ofrecía una recompensa monetaria para el individuo de la audiencia que lo resolviera primero. Se reporta además que no sería sino hasta en un seminario de Princeton (hacia fines de los 80) que Arnold conociera a alguien capaz de acabar con su propuesta en tiempo real.

    Al parecer, la leyenda anterior y el límite mismo son objeto de culto en los círculos matemáticos rusos.

Procedamos entonces con la propuesta del momento:

Sean f y g funciones analíticas (reales) alrededor del {0}, con

f(0) = g(0) = 0 y f^\prime (0) = g^\prime (0) = 1

¿Cuánto vale el siguiente límite?

\lim_{x \to 0} \cfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1} (x)}

Espero que el problema sea de su agrado y que ayude a perpetuar, de un modo u otro, la memoria del Profesor Arnold.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

69 Comentarios

  1. Vale la unidad.

    Bien, me niego a aprender Gomex o como se llame. Si hay algo tan eficiente, intuitivo y claro como el editor de ecuaciones de cualquier tratamiento de textos, pues lo ponéis, si no, a otra cosa.

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  2. Buenos Días

    Se me han adelantado por unos minutos, mientras estaba revisando mis razonamientos.

    Aplicando la regla de L’Hopital a este límite el resultado es, evidentemente, 1; me parece tan simple que creo que debe haber alguna sutileza que no he contemplado.

    Un Saludo

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  3. “Hastalosmismos”, tu negativa únicamente te perjudica a tí, asi que, hayá tu…

    No obstante, yo uso habitualmente Scientific Notebook (licencia de la UNED), actualmente llamado Scientific WorkPlace. Con él se editan de maravilla las ecuaciones (nada de códigos o combinaciones de teclas raras). Escribir una ecuación, es casi tan inmediato como escribir una frase. Para pegar aquí en los post basta con copiar al portapapeles con la opción “formato interno” y pegar dentro de $1atex <aquí>$ (el 1 de 1atex es una l).

    La pega es que es propietario con licencia de pago.

    Una alternativa libre, que “dicen” que es similar, es MiKTeX, pero yo no lo he conseguido usar con la misma agilidad que SNotebook.

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  4. @Hastalosmismos, es una pena que te cierres a aprender uno de los mejores editores de documentos que existen. Eficiente un editor de ecuaciones como el de word…, permite que lo dude, la capacidad de edición de ecuaciones que tiene \LaTeX ni la puede soñar un editor de ecuaciones como el que comentas; intuitivo…, yo diría gráfico, una vez que aprendes cuatro cosillas de latex le ves sentido y es mucho más rápido que estar a golpe de ratón, pero si te gustan los entornos gráficos para las ecuaciones tienes también la posibilidad de hacerlo: http://rinconmatematico.com/latexrender/ . Lo de claro no sé muy bien por donde tomarlo, supongo que no te refieres al color ¿no? jeje.

    En fin, que no quieras aprender una de las mejores herramientas para la edición de documentos de todo tipo me parece una pena pero allá tú, pero como ves tienes alternativas gráficas que supongo que es lo le encuentras más complicado. Y también para iniciarte puedes usar LyX (si me preguntan yo no te he sugerido esto jeje), que es más gráfico.

    Mi opinión personal es que desde que hice mi proyecto fin de carrera en latex no vuelvo a word (ni a un solo producto del tito bill) así me piquen jeje. Un saludo.

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  5. Por otra parte muy interesante el post, muchas veces sale (explícita o implícitamente) este tema.

    ¿Realmente se han perdido “negativamente” capacidades matemáticas ÚTILES que antes se cultivaban?, ¿o esa pérdida de capacidades son consecuencia natural de una “evolución” en la forma de hacer matemáticas y la pérdida/ganancia de destrezas tiene saldo “positivo”?.

    Buen tema para un post, ¿no?.

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  6. “Latexero”, no menosprecies Microsoft Word (MS Office en general), en mi opinión, únicamente mostraría tu desconocimiento del mismo.

    Por supuesto que tiene inconvenientes, pero es un producto con mucha experiencia y con el cual puedes realizar sin problemas el maquetado de cualquier libro (rarezas aparte) de una forma MUY cómoda.

    Como todo, para usar bien una herramienta hay que dedicarle algo de tiempo y MSWord no es una excepción (conozco muy poca gente que sepa usar MSWord decentemente). Sin embargo, estoy convencido de que la mayoría de las personas tendrán muchos menos problemas en usar MSWord que cualquier editor de LaTeX.

    En MSWord hace tiempo tienes un editor de ecuaciones con la que puedes incrustar cualquier ecuación (¿mejor?, ¿peor?, para mi casi todos los LaTeX son incomodísimos), por mi parte me quedo (de lejísimos) con Scientific Notebook (WYSIWYG como debe ser).

    Son opiniones y gustos, por supuesto, pero que nadie piense que MSWord es una carracla…

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  7. Puede que me equivoque pero… g(x)^-1 no es igual a 1/g(x)? Por tanto 1/1/g(x) es igual a g(x).
    Tenemos entonces que el limite es (f(x) – g(x))*(f(x)-(g(x)). Y operando, f(x)^2 – g(x)^2. Y, si sustiumos se queda 0…no?

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  8. A mí el límite me sale 1, aunque con una puntualización. Lo pongo ahora.

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  9. Esta ha sido el cálculo que yo he realizado

    \lim_{x \to 0} \cfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}= \lim_{x \to 0} \cfrac{f^\prime(x)-g^\prime(x)}{\frac {1}{g^\prime(g^{-1}(x))}-\frac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}}=

    = \lim_{x \to 0} \cfrac{f^\prime(x)-g^\prime(x)}{f^\prime(f^{-1}(x))-g^\prime(g^{-1}(x))}}f^\prime(f^{-1}(x))g^\prime(g^{-1}(x))= f^\prime(f^{-1}(0))g^\prime(g^{-1}(0)) =

    = 1

    Si me he pasado alguna sutileza por alto que alguién me lo diga.

    Un Saludo

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  10. Vamos a calcular las derivadas primera y segunda de h\equiv f^{-1} en x=0. Para ello derivamos en la igualdad h(f(x))=x, con lo cual h^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)=1, lo que da h^{\prime}(0)=1. Nuevamente, si derivamos dos veces, h^{\prime\prime}(f(x))(f^{\prime}(x))^2+h^{\prime}(f(x))f^{\prime\prime}(x)=0, lo que da h^{\prime\prime}(0)=-f^{\prime\prime}(0). Por lo tanto, hasta orden 2,

    h(x)=x-\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)x^2+\dots

    Ahora viene la matización. Supongamos que f^{\prime\prime}(0)\neq g^{\prime\prime}(0) (en otro caso, no nos valdría el desarrollo hasta segundo orden y tendríamos que ir a orden superior). Entonces,

    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{[f^{\prime\prime}(0)-g^{\prime\prime}(0)]x^2}{[-g^{\prime\prime}(0)+f^{\prime\prime}(0)]x^2}=1.

    Supongo que el límite sigue siendo igual a 1 aunque las derivadas k primeras derivadas de f y g coincidan, aunque me da flojera probarlo.

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  11. Uhm… pues estoy con “Antonio QD”, alguna sutileza habrá por ahí, porque para mí está claro que en el límite de x=0 tenemos dos funciones idénticas con valor 0 y pendiente 1, vaya, que tanto g como f son dos rectas y=x y entonces el límite es

    (j.d.r! no deja modificar el comentario y mantener la fórmula?!?!?!?!)

    (por supuesto por ser análiticas en 0)…

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  12. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-g(x)}{f^{-1}(x)-g^{-1}(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-x}{x-x}=1

    (¡ERROR! cuando modificas un comentario que lleva una fórmula [¿siempre?] da error al guardar el cambio)

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  13. @josejuan:

    ¿g y f son dos rectas y=x?

    Creo que la sutileza del problema radica precisamente en justificar de manera rigurosa las heurísticas de ese tipo.

    @Antonio:

    Me temo que tu aplicación de l’Hôpital no es del todo correcta.

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  14. Voy a intentar hacer más riguroso mi cálculo

    \lim_{x \to 0} \cfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}= \lim_{x \to 0} \cfrac{\frac{(f(x)-f(0))}{x-0}-\frac{(g(x)-g(0)}{x-0}}{\frac {g^{-1}(x)-g^{-1}(0)}{x-0}-\frac {f^{-1}(x)-f^{-1}(0)}{x-0}}=

    Si considero que y=f^{-1}(x) y z=g^{-1}(x), entonces

    = \lim_{x \to 0, y \to 0, z \to 0} \cfrac{\frac{(f(x)-f(0))}{x-0}-\frac{(g(x)-g(0)}{x-0}}{\frac {z-0}{g(z)-0}-\frac {y-0}{f(y)-0}}= \lim_{x \to 0, y \to 0, z \to 0} \cfrac{f^\prime(x)-g^\prime(x)}{\frac {1}{g^\prime(z)}-\frac {1}{f^\prime(y)}}=

    = \lim_{x \to 0, y \to 0, z \to 0} \cfrac{f^\prime(x)-g^\prime(x)}{f^\prime(y)-g^\prime(z)}f^\prime(y)g^\prime(z) = 1

    En este caso no he usado L’Hopital. Pero la validez del razonamiento tanto en el caso anterior como en el actual no descansa en el uso o no de la regla de L’Hopital, sino en si el límite del cociente que queda en la última expresión es o no igual a 1.

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  15. …¿g y f son dos rectas y=x?…

    De toda la vida ¿no?, cuando te dan una función analítica, un punto y la derivada en ese punto, ya tienes toda la información que te hace falta en el “entorno” de ese punto, ¿hace falta algo más?.

    Mi ignorancia sólo es superada por mis ganas de aprender (bueno, y quizás por mi cabezonería) pero creo que no hace falta ser más riguroso…

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  16. “…Me imagino entonces que eres de la opinión que…”

    Por supuesto que no, el límite es cláramente 2, ¿por?.

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  17. Efectivamente, el desarrollo es muy parecido al de la demostración de la regla de L´Hopital, pero fijate en que aparecen las variables y y z; con lo que esta segunda forma no es una aplicación directa de la regla como fue en el caso de la primera. A partir de un límite de una expresión de una única variable he pasado a un límite de una expresión en tres variables.

    Si tanto f como g son de clase C^1, se cumple que

    \lim_{x \to a, y \to a, z \to a} \frac {f^\prime (x) -g^\prime (x)}{f^\prime (y) -g^\prime (z)} = \lim_{x \to f^\prime (a) -g^\prime (a)} \frac {x}{x}

    y creo que es evidente que este límite es siempre 1 incluso en el caso de que f^\prime (a) -g^\prime (a) = 0, caso en el cual el anterior cociente no está definido, pero su límite si.

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  18. Pero la derivada de la función inversa es la inversa de la derivada, luego haciendo l’Hôpital nos sale directamente tu expresión pero en la misma variable.

    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(f(x)-g(x))^{\prime }}{(g^{-1}(x)-f^{-1}(x))^{\prime }}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{(g^{-1}(x))^{\prime }-(f^{-1}(x))^{\prime }}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{\frac{1}{g^{\prime }(x)}-\frac{1}{f^{\prime }(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)

    Y así no hace falta plantearse la equivalencia (x,x)->(y,z)…

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  19. Realmente,

    [f^{-1}]^\prime(a) = \frac {1} {f^\prime(f^{-1}(a))}

    si se cumple además la condición

    f^\prime(f^{-1}(a)) \ne 0

    por lo que la expresión es un poco más compleja que la que propones, josejuan.

    Pero resumiendo, en lo sustancial estamos de acuerdo. Espero que no estemos de acuerdo en un error. 😀

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  20. Ok, ya entiendo, yo he hecho trampa al hacer directamente y=x en el uso de l’Hôpital (que tú detallas diciendo f'(f^-1(x)).

    Que sí, que al final lo son, pero es necesario tu desarrollo.

    ¡Gracias!

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  21. Siguiendo con lo de latex vs el editor de ecuaciones de word, en definitiva creo que el editor es más sencillo de usar, y claro es mas sencillo de usar por que es gráfico (una imagen dice más que mil palabras), uno no tiene que andar aprendiendo códigos ni comandos, y por lo mismo es mas intuitivo no tengo que andar leyendo manuales ni nada por el estilo, simplemente insertas la ecuación y ya. Así que mi voto va para el editor de ecuaciones.
    Perdón por desvirtuar el post.
    Saludos y una felicitación por este excelente blog

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  22. @josejuan:

    En tu penúltimo post estás usando algo del tipo g^{-1}(x) = 1/g(x). Claramente, esa transformación es falsa en general.

    Y el ejemplo que mencionaba era porque arriba ví que afirmabas, sin reparo alguno, que

    \lim_{x \to 0} \frac{1-1}{1-1} = 1.

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  23. Respecto a la escritura latex vs editor gráfico. ¿Conoceis lyx, el editor gráfico para latex ?. ¿Alguien de aquí lo ha usado y puede evaluar si su uso en matemáticas es mejor que latex directo ó no ?.

    Saludos.

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  24. @josejuan: He sufrido desgraciadamente demasiados años con word como para no saber de lo que es capaz y de lo que no. No voy a intentar convencerte de nada, usa lo que te plazca, pero si tienes que trabajar con un documento de al menos 500 páginas, repleto de cuadros, ecuaciones y figuras, desde luego que yo no me la jugaba con word. Que cada cual use lo que quiera, pero te garantizo que la potencia de latex no la puede ni soñar word; no en vano es un lenguaje de programación en donde puedes definir los comandos que quieras, por poner ejemplos prácticos echa un vistazo a esto y me cuentas si puedes hacer con word una décima parte de lo que hay ahí (http://www.tug.org/texshowcase/). Ahora te pediría que me dieses un único ejemplo de algo que puedes hacer en word y que no se pueda hacer en latex, con uno me basta; y no me vengas con historias tristes de usarlo gráficamente puesto que hay editores como lyx que son tan gráficos como lo es word. No te ofendas, pero latex es muy muy superior a word; que haya gente que no quiera aprenderlo, lo puedo entender, pero que latex es infinitamente mejor que word no lo duda nadie.

    @juanjo: Yo empecé en latex con lyx, pero un día me dió un error de desbordamiento en un documento importante y tuve que acabar pasándome a latex puro, es el problema de que algo esté oculto tras una interfaz gráfica, no ves cómo funciona internamente y poco puedes hacer para remediarlo… Lyx está bien para empezar, pero no me gusta nada eso de que configure ciertas cosas sin que seas consciente de ello. No soy un anti-interfaz gráficas pero usando latex prefiero ver qué está haciendo y configurarlas a mi gusto.

    Siento el latazo de la discusión offtopic que poco tiene que ver con la entrada, ya no comentaré más sobre el tema, y que conste que no soy ningún gurú del latex, pero le debo bastante a este sistema y me cuesta no ir comentando sus bondades. Por cierto, ¿he dicho que es software totalmente libre y gratuito? Igual que word, ¿no? jeje. Saludos.

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  25. Ya que os habéis metido en el tema LaTeX vs Word yo también quiero dar mi opinión:

    Es evidente que Word es un editor de textos bastante potente en el sentido de que cualquiera puede utilizarlo, dada su interfaz, y que tiene muchas opciones para personalizar nuestros documentos. La simplicidad con la que uno puede crear un texto en Word es muy grande.

    Respecto al tema de las ecuaciones, el editor de ecuaciones que trae Word est´bien, bajo mi punto de vista. Pero sólo bien. Es sencillo introducir fórmulas pero es algo pesado. Además no quedan demasiado bien a la vista (al menos para mí).

    Sin embargo con \LaTeX la limpieza y la belleza de los símbolos matemáticos son asombrosas, años luz por delante del editor de ecuaciones. Además, los textos quedan mucho mejor en general que con Word. ¿El problema? Que es bastante más complicado de dominar. Mientras que Word puede utilizarlo con suficiente soltura cualquier persona después de poco tiempo de investigación, para usar \LaTeX de esa manera se necesita de mucho más tiempo y dedicación. Pero bueno, yo sólo digo que la gran mayoría de la gente que conozco que ha hecho muchas cosas con Word y con \LaTeX dice que se queda con este último. Por algo será.

    Por cierto, quiero ponerme en serio con \LaTeX este verano y quería saber si alguno de vosotros podría recomendarme un manual para comenzar a escribir textos con él. A ver qué me podéis recomendar de lo que hay por internet.

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  26. “Latexero”, ¿dónde he dicho yo que Word sea mejor que LaTeX? (en el sentido de tener/hacer cosas que no haga el otro).

    Bien, no he tenido que hacer ningún documento de 500 páginas repleto de gráficas e imágenes, pero sí, en tal caso Word se volvería lento (aunque puedes desactivar la correción automática, intellisense y otros). Pero que vaya lento es consecuencia directa del formateo en tiempo real que hace constantemente (cosa que LaTeX simplemente no hace).

    ¿Con qué herramienta (porque claro, LaTeX puro y duro no implica wysiwyg, por muy potente que sea y en tal caso hay que tener una “poca” experiencia) puedes realizar las tareas diarias (memorias, resúmenes, memorandos, cartas, etc…combinar desde orígenes de datos, enviar a fax, mail, impresora masivamente, etc… integrar objetos dinámicos de terceros [u office, claro], …) con la facilidad que da Word?, ojo, que no digo que no la haya, yo no la he visto (y aquí están preguntando por alguna).

    Mi comentario no ataca a LaTeX, sólo deja claro que Word es una buena herramienta y sin dudarlo MUCHO más sencillo de utilizar (para hacer documentos profesionales) que LaTeX (habrá que ver UIs de LaTeX concretos).

    En Wikipedia sobre LaTeX “…LaTeX presupone una filosofía de trabajo diferente a la de los procesadores de texto habituales (conocidos como WYSIWYG, es decir, «lo que ves es lo que obtienes») y se basa en comandos…”, ¿que usuario no informático (o similar) que no realice documentos con frecuencia puede asumir eso?.

    El comentario de “gaussianos” refleja básicamente lo que he comentado (si no lo parece, es culpa de mi incapacidad de expresión).

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  27. “J. H. S.”, tienes toda la razón, no está nada bien el límite que escribí.

    No obstante, y sin dejar de darte la razón en que no debí escribirlo, el comentario se refería cláramente a los valores que toma la función analítica (no se cuantas veces lo habré dicho ya) en el punto en estudio.

    Pero sí, aunque sea normal que en los comentarios escribamos con cierta libertad, yo suelo ser demasiado chapucero e inconcreto en ellos.

    Tienes razón, intentaré contenerme.

    En cuanto a la derivada de la inversa en la misma variable, no veo el problema, pues esa expresión no pretende ser un caso general, sino que refleja una identidad en el punto en estudio.

    El problema mío (me daré unos azotes por ello) es el que ya ha comentado y explicado adecuadamente Antonio en http://gaussianos.com/limite-homenaje-a-vladimir-arnold/#comment-35931

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  28. Me quedo con la opinión clara de que aquí no tenemos 500 páginas de nada y que en la mayoría de las entradas las fórmulas que se necesitan entran fácil y bonitas con cualquier editor wysiwyg.

    De manera más radical, tantos años suspirando por los asistentes gráficos para ahora alabar la entrada de texto mediante la línea de comandos. Si no hay un asistente decente para Gómex y sus primos será un problema de esa familia, no de los pobres usuarios NO PROFESIONALES que la padecen, digo yo.

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  29. Hola gente!

    Viendo el problema original de Arnold, y luego el planteado aca, entendi que g-1(x) no es 1/g(x), sino la inversa de g.

    Arnold da una pista: Newton y Hooke lo resolverian, porque saben como calcular. Ademas son analiticas, presupongo en 0.

    Entonces: hay que desarrollar en serie f(x), g(x), sus inversas, y divider cada termino por x=0.

    Es decir, en el entorno de f(0), McLaurin:

    f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x^2 + …
    g(x) = ….

    f-1(x) = f-1(0) + f-1′(0)x + f-1”(0)x^2 + …
    g-1(x) = ….

    f-1′(0) = 1/f'(0) = 1
    g-1′(0) = 1/g'(0) = 1

    (f(x)-g(x))/(f-1(x) – g-1(x)) =
    (f(x)-g(x))/x / (f-1(x) – g-1(x))/x =

    y hay que desarrollar la expresion…. A mi me da lim x de (1-1)/(1-1)

    Sera ese camino el camino a seguir?

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  30. Siguiendo con LaTeX, sí, en realidad es muy bonito el resultado que se obtiene escribiendo ahí, tanto que uno difícilmente quiere volver a Word. Supongo que también nos gusta sorprendernos, a mí que no soy programador, me sorprende ver ese tanto de letras que escribo y luego ver que aquellas se han convertido en un gráfico, o en un simple símbolo como \int , ver como geogebra también exporta código y reconocer que acá dice el tamaño de la letra, acá la escala, acá el color, acá está ese punto que dibujé, etcétera, y luego decir, me gustaría cambiar acá, por aquí y por acullá.

    Alguna vez editaba pruebas de concursos, y los códigos eran largos y cometía más de una vez errores, pero jamás pensaba en Word, además por estos lugares he visto muy pocos Word que hayan sido comprados de manera “legal”. Tal vez sí somos un poco dogmáticos en cuanto a LaTeX, sobre todo cuando las extraordinarias matemáticas solo necesitan de un lápiz y un papel.

    Y sobre lo práctico, hace poco viajé a visitar monos, ríos y selva, y me escribieron al mail por una ayuda, y en la computadora del cyber-café tuve que usar el editor de ecuaciones de Word, y el resultado fue que me demoré un \epsilon más de lo que me hubiera demorado en casa. Claro está, por no tener ninguna práctica en Word, la intención no es hacer carreras.

    Sin embargo, en lo que a mi respecta ha sido una suerte aprender lo básico de LaTeX porque me gusta simplemente, y me agrada mucho cuando alguien me comenta que ha aprendido a usar alguna cosa y es una de las cosas más raras y no prácticas del mundo. Tal vez así soy yo. Pero así también no hay ningún problema de encontrar bellas matemáticas escritas en Word, Notepad, Paint o en los diálogos del Messenger, en cuanto al contenido de las matemáticas, ni siquiera el idioma importa, así son ellas.

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  31. si hacemos f(x) = x y g(x) = sen(x) el limite aplicando L’Hopital
    no sería +infinito?

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  32. “roldan”, no, sigue siendo 1.
    Se ve bien si haces la segunda derivada y sabiendo que el límite de sin(x)/x=1

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  33. Hay algo que no entiendo, me pareciera que en el problema falta alguna condición. Si alguien me lo pudiera aclarar, lo agradecería.

    Si f(x)=x y g(x)=x, (ambas son analíticas en 0 y por lo tanto se cumplen las condiciones del problema). Como las funciones inversas también son la función identidad, el límite que piden sería:

    lim_{x 	o 0}frac{x-x}{x-x} cuando x tiende a 0. La función con regla de correspondencia frac{x-x}{x-x} no está definida para ningún valor de x y por lo tanto no se puede calcular ningún límite.

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  34. Gracias por responder tan rápido J.H.S. Al arreglar mi comentario para ponerle latex se malogró todo y ya no me deja editarlo, igual, ¡qué bueno que lo leíste a tiempo!

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  35. Entonces, más claro, ¿tienen que ser diferentes entre sí en cualquier vecindad de x=0?

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  36. Es suficiente con que sean diferentes entre sí en algún intervalo alrededor del cero donde ambos desarrollos en serie sean válidos.

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  37. mmm… alguno podría dar una respuesta formal al problema?

    con latex y todo.

    las respuestas mas o menos formales anteriores han sido criticadas y nadie ha corregido

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  38. Como nadie se anima…

    (“cocris” http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/limite_func_inversa.gif )

    [1] Si para cualquier D\succ 0 existe algún 0\prec \left\vert x\right\vert \prec D tal que f(x)=g(x), entonces el límite no existe.

    [2] En otro caso, existe un D\succ 0 para el que f(x)\prec \succ g(x) para todo x tal que 0\prec \left\vert x\right\vert \prec D.

    [3] Por otro lado, la función inversa (R->R) es simétrica respecto la recta y=x.

    [4] Por otro lado, podemos redefinir las funciones f y g respecto dicha recta de la siguiente forma:

    F(x)=x+\varepsilon _{f}(x)
    G(x)=x+\varepsilon _{g}(x)

    donde \varepsilon _{f}(x) y \varepsilon _{g}(x) son el error de sus respectivas funciones en cada entorno del orígen (ver imagen).

    [5] Por definición, las funciones f^{\prime }(x) y g^{\prime }(x) tienen por límite (bueno valor) en x=0 el valor 1, por tanto, podemos reescribir las funciones inversas mediante la siguiente acotación:

    x-\varepsilon _{f}(x)\preceq f^{-1}(x)\preceq x
    x-\varepsilon _{g}(x)\preceq g^{-1}(x)\preceq x

    (ver imagen)

    [6] es obvio que los límites siguientes son 0:

    \lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon _{f}(x)=0
    \lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon _{g}(x)=0

    [7] por tanto, podemos reescribir las funciones inversas (en el límite) como

    \lim_{x\rightarrow 0}f^{-1}(x)=\lim_{x\rightarrow 0}(x-\varepsilon _{f}(x))
    \lim_{x\rightarrow 0}g^{-1}(x)=\lim_{x\rightarrow 0}(x-\varepsilon _{g}(x))

    [8] finalmente, podemos reescribir el límite del enunciado como

    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+\varepsilon _{f}(x))-(x+\varepsilon _{g}(x))}{(x-\varepsilon _{g}(x))-(x-\varepsilon _{f}(x))}=
    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x)}{\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x)}=1

    Y, en fin, creo que así podría valer.

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  39. Ops, en [5], el sentido de las igualdades cambiaría en función de si la función va por encima o por debajo de la recta diagonal.

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  40. josejuan, me parece que tu paso de [7] a [8] está mal justificado.

    Las igualdades [7] son verdaderas, pero de que puedas igualar el límite de dos funciones no se desprende que puedas reemplazar una por otra en el cálculo de otro límite.

    Es decir: \lim_{x \to 0}f_1(x) = \lim_{x \to 0}f_2(x) no implica que \lim_{x \to 0} g(f_1(x))= \lim_{x \to 0}  g(f_2(x)) (es fácil dar contraemplos).

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  41. Bueno, creo que en este caso y por ser lineal la relación puede salvarse fácilmente y llegar al mismo paso [8].

    Por las propiedades de los límites tenemos que el límite de una fracción es la fracción de los límites y también que el límite de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de los límites.

    Así (lo desgloso mucho aunque es inmediato)

    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-g(x))}{\lim_{x\rightarrow 0}(g^{-1}(x)-f^{-1}(x))}
    =\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(f(x)-g(x))}{\lim_{x\rightarrow 0}g^{-1}(x)-\lim_{x\rightarrow 0}f^{-1}(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x))}{\lim_{x\rightarrow 0}(x-\varepsilon _{g}(x))-\lim_{x\rightarrow 0}(x-\varepsilon _{f}(x))}
    =\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x))}{\lim_{x\rightarrow 0}(x-\varepsilon _{g}(x)-x+\varepsilon _{f}(x))}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x))}{\lim_{x\rightarrow 0}(x-\varepsilon _{g}(x)-x+\varepsilon _{f}(x))}
    =\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x))}{\lim_{x\rightarrow 0}(\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x))}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x)}{\varepsilon _{f}(x)-\varepsilon _{g}(x)}=1

    Y bueno, creo que ésto salva este error.

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  42. No, está mal. El el límite de un cociente es el cociente de los límites si el denominador no tiende a cero.

    Si no, podríamos hacer cosas como esta (los limites son todos para x\to 0)

    0 = \lim \frac{x^2}{x} = \frac{\lim{x^2}}{\lim{x}} =  \frac{\lim{x^2}}{\lim{x^3}} =  \lim \frac{x^2}{x^3} = \infty

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  43. ¡Cachis!

    Es verdad… que burro soy.

    En fin.

    @JHS, he leído tus observaciones, pero no soy capaz de percibir en ellas las mismas explicaciones que da @hernan

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  44. @josejuan : creo que tu intuición en la primera demostración no rumbeaba mal, y que podría formalizarse así:

    Tenemos que, el entorno de x=0:

    f(x) = x + a x^2 + O(x^3)

    con a = \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2}. No es difícil demostrar, por derivada primera y segunda de función inversa, que entonces:

    f^{-1}(x) = x-a x^2 + O(x^3)

    Y análogamente para g(x) = x + b x^2 + O(x^3) etc Entonces el cociente buscado es

    \lim_{x \to 0} \frac{ (a-b)x^2 +O(x^3)}{(a-b)x^2 +O(x^3)}

    que ciertamente vale 1 … si a-b \ne 0 (es decir, si las funciones f y g tienen derivadas segundas distintas).
    Pero si no se cumple esto, no puedo afirmar nada, y debería seguir con los términos superiores de la serie de Taylor (y no veo una manera simple/elegante de hacerlo).

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  45. (estoy con la duda de si escribir o no de las veces que he metido la pata…)

    No veo si se puede igualar el O(x\sup{3}) de f y el de g aunque entiendo que se identificarán los del dividendo y divisor y nos da lo mismo.

    Por tanto, creo que sí puede demostrarse que a y b son diferentes, puesto que de otro modo, o se trata de la misma función (que ya está probado que no) o bien, dado un punto inicial en el que difieran, podríamos demostrar que bien f o bien g no tienden a 0 (en 0) llegando a un absurdo (el absurdo es que tienen la misma dertivada 2ª).

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  46. El término O(x^3) corresponde aquí a una serie de términos de orden x^3 y mayores, de coeficientes arbitrarios. No son iguales para f y g, tampoco para f(x) y f^{-1}(x). No los estoy identificando; es sólo que su resta da otro término O(x^3). Todos los O(x^3) que aparecen en mi desarrollo son, en principio, distintos.

    a y b no tiene por qué ser diferentes. Tomar como ejemplo cualquier par de funciones cuyos desarrollos de Taylor en x=0 difieran a partir del tercer término. Por ej: f(x)=tg(x) g(x)=sin(x).

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  47. Siempre que hay una pregunta de este estilo la respuesta es 0 ó 1. Hay un 50% de probabilidades de quedar como un genio.

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  48. Arriba un par de personas estaban interesadas en aprender latex, ¿siguen interesadas?

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  49. Bueno, es que hice un cursillo universitario de estos que canjean por créditos de libre configuracion, y versaba sobre el Latex, el “material de estudio” son unos 5 o 6 pdfs hechos con el propio latex en donde empiezan desde cero contandote donde te lo puedes descargar (nos enseñaban con miktex), como insertar paquetes nuevos, hacer documentos sencillos, como usar formulas matematicas, pies de foto, hacer referencias, crear secciones… toda la pesca. Para empezar a trastear con el a mi me parece muy valido.

    La parte final del curso se centra en un paquete para hacer presentaciones tipo powerpoint, así que te enseña a meter graficos, a hacer animaciones, videos y lo que te de la gana.

    Decia que si la gente estaba interesada no me cuesta nada mandar un par de mails con los pdfs para que quien quisiera les echara un ojo.

    p.d: sobre la discusion que os traiais arriba, yo he visto lo que se puede hacer con latex y le da “cienes” de patadas al word/powerpoint, claro que no es gratis y hay que aprender.

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  50. Enviados, y de nada hombre, ya es hora de empezar a pagar todo los buenos ratos que me hace pasar esta pagina.

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  51. No se que estará mal en el razonamiento que hago, pero seguro que hay algo que no esta bien, ultimamente estoy bastante “durazno” (duro de la cabeza) con la matemática.
    En primer lugar no estoy de acuerdo en aplicar alegremente la regla de L’Hospital, porque en el denominador hay una indeterminación de \infty-\infty, y si mal no recuerdo esta regla es solo aplicable para limites con indeterminación 0/0 o \infty/\infty.
    Si dentro del limite trabajo con la expresión sacando MCD en el denominador, quedaría algo asi:
    \frac{f(x)-g(x)}{f(x)^{-1}-g(x)^{-1}}=\frac{{g(x)f(x)}{(f(x)-g(x))}}{f(x)-g(x)}={g(x)f(x)}
    Puedo hacer esto pues las funciones nunca serán cero porque en el limite la variable X tiende a cero pero no es cero.
    Por lo tanto obtengo el siguiente resultado:
    lim_{x \to 0} {(g(x)f(x))}=0
    He leido vuestros comentarios y la mayoría obtiene como resultado “1”, además no he utilizado el hecho que la derivada de cada función en cero es igual a uno, esto me hace sospechar que mi lógica matemática esta mal. ¿ Donde falla mi razonamiento ?

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  52. Gracias…
    Que que simpleza la mia, sin dar tantas vueltas hubiese sido suficiente con recordar el teclado de la calculadora {\sin^{-1} x}=arcsen \, x
    (Lastima….ya estaba pensando que estaba a la algura de Hooke y Newton….Digo por lo rapido que lo habia resuelto)

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