Límite nulo

Esta semana ciertas cuestiones obligan a cambiar el orden de las secciones semanales. Por ello hoy lunes os planteo el problema semanal. Ahí va:

Demostrar que si a \in \mathbb{R} es mayor que el número e, entonces:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \cfrac{m.c.m.(1,2, \ldots ,n)}{a^n}=0

Ánimo.

Nota: evidentemente, m.c.m. representa mínimo común múltiplo.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

25 Comentarios

  1. Un número ‘n’ en general se representa a partir de sus números primos como

    n=p_{0}^{q_{0}}p_{1}^{q_{1}}p_{3}^{q_{3}}\cdot\cdot\cdot

    para obtener el MCM de los n primeros números, bastará con obtener la máxima potencia de cada primo de entre todos sus múltiplos, es decir, por la potencia

    q_{j}=\frac{\ln n}{\ln p_{j}}

    (ojo en realidad dicha potencia debe ser entera, luego debe aplicarse el truncamiento, pero si lo trunco, luego no se cómo operar…¿alguien lo aclara?)

    ahora bien, el MCM es precisamente todos los primos (menores que n) por esa potencia, luego el MCM es

    p_{0}^{\frac{\ln n}{\ln p_{o}}}p_{1}^{\frac{\ln n}{\ln p_{1}}}\cdot\cdot\cdot

    y sacando el logaritmo de n tenemos

    (p_{0}^{\frac{1}{\ln p_{0}}}p_{1}^{\frac{1}{\ln p_{1}}}\cdot \cdot \cdot )^{\ln n}

    pero precisamente cada multiplicando dentro del paréntesis vale ‘e’, y si aproximamos el número de números primos como n/ln n tenemos que el MCM buscado vale

    e^{n}

    por lo que el límite converge a 0 únicamente cuando

    a\geq e

    CQD

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  2. Efectivamente, el teorema del número primo implica que mcm(1,\ldots,n)=e^{n(1+o(1))}, donde o(1)\to 0, si n\to \infty. Eso implica que \frac{mcm(1,\ldots,n)}{a^n}=e^{n(1-ln\;a+o(1))}, y el límite es 0 si a>e, o +\infty si 0<a<e.

    Sin embargo no me queda claro que el límite sea 1 cuando a=e. Es más, me inclino a pensar que no existe el límite (es oscilante). De hecho, eso es lo que se aprecia con el Mathematica

    n=10^6
    a=Exp[1]
    Do[Print[SetPrecision[Apply[LCM, Range[k*n]]/a^(k*n), 10]], {k, 10}]

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  3. Estoy con “M”, y yo creo que es porque no existe convergencia en cuanto a la potencia máxima para cualquier primo.

    Es decir, el producto no es

    p_{0}^{\frac{\ln n}{\ln p_{0}}}p_{1}^{\frac{\ln n}{\ln p_{1}}}\cdot \cdot \cdot

    sino

    p_{0}^{\left\lfloor \frac{\ln n}{\ln p_{0}}\right\rfloor }p_{1}^{\left\lfloor \frac{\ln n}{\ln p_{1}}\right\rfloor }\cdot \cdot \cdot

    la diferencia entonces para cada multiplicando es

    p_{j}^{\frac{\ln n}{\ln p_{j}}-\left\lfloor \frac{\ln n}{\ln p_{j}}\right\rfloor }

    por ejemplo, para el primer primo (2)

    \forall q\in N ~\exists n~\sqcap 2^{^{\frac{\ln n}{\ln 2}-\left\lfloor \frac{\ln n}{\ln 2}\right\rfloor }}\succeq q

    es decir, da igual que n tienda a infinito, que la diferencia por truncamiento podrá ser tan grande como queramos.

    Como no tengo ni idea de cómo enfocarlo (de ahí que antes pidiera a ver si alguien puede aclararlo) la “mejor” explicación que se me ocurre es que, puesto que estamos multiplicando por un valor mayor que el que debiéramos (deberíamos redondear y como no lo hacemos, el producto es más grande de lo que realmente es) la constante ‘a’ se acercará a ‘e’ por debajo, pero sin alcanzarlo.

    O eso creo (porque muy seguro no estoy, la verdad).

    No pasa lo mismo con la aproximación del número de primos, puesto que el error de tomar \frac{n}{\ln n} es cero cuando n\rightarrow \infty y por tanto, tomar aquí el límite es directo.

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  4. “…es decir, da igual que n tienda a infinito, que la diferencia por truncamiento podrá ser tan grande como queramos…”

    Y tan pequeña… (va oscilando con un diente de sierra).

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  5. sí, el caso a=e no está claro. la verdad es que yo tampoco sé justificarlo rigurosamente, pero creo que entiendo lo que dices, josejuan. con esa idea en la cabeza creo que se podrían encontrar sucesiones \{x_n\} y \{y_n\} de números naturales tales que
    \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{m.c.n(1,2,\ldots x_n )}{e^{x_n} } = \infty y
    \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{m.c.n(1,2,\ldots y_n) }{e^{y_n} } = 0,
    pero no se me ocurre así de primeras como hacerlo :S

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  6. (evidentemente las sucesiones son crecientes y m.c.n no es ningún bicho raro, si no el mínimo común múltiplo después de un desliz de dedo :D)

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  7. Reescrevendo:

    Para n suficientemente grande em relação a \varepsilon >0, d_{n}:=m.c.m.\left( 1,2,\ldots n\right) \leq e^{n(1+\varepsilon )}
    0\leq \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\frac{d_{n}}{a^{n}}\leq \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\frac{e^{n(1+\varepsilon )}}{a^{n}}
    Deste enquadramento tira-se que o limite é zero, se a>e.

    Aqui acaba a resposta ao enunciado. Agora, se a=e, tenho dúvidas: de
    0\leq \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\frac{d_{n}}{e^{n}}\leq \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\frac{e^{n(1+\varepsilon )}}{e^{n}}=\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }e^{1+\varepsilon }=e\underset{n\rightarrow\infty }{\lim }e^{\varepsilon }=e

    nada se conclui quanto a
    \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\frac{d_{n}}{e^{n}}

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  8. Generalizando un poco la interesante cuestión que nos propone Dani, si a es real entonces la ecuación tg\;z=\frac{z}{1+a^2z^2} sólo puede tener raíces reales.

    A ver si podemos atacar rigurosamente el caso a=e en el problema del post. Parece que la idea de Dani es el camino a seguir, pero tiene mala pinta 🙂

    No sé si para la o(1) que aparece en el teorema del número primo se conoce que tiende a cero oscilando siempre entre valores negativos y positivos. Además habría que ver si tiende a cero como una potencia n^{-\alpha}, con \alpha>1.

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  9. qué bueno ese post! me he perdido un buen rato en este blog jejejej… bueno, se intentará compensar 🙂 he de decir que efectivamente lo de demostrar la oscilación a lo bruto ha ido bastante mal :(. estoy un poco falto de ideas para afrontarlo.

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  10. Anoche quise decir o(1) como una potencia n^{-\alpha}, con 0<\alpha<1, y alternando signos (para que e^{n\cdot o(1)} tome valores próximos a cero y también valores grandes).

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