Logaritmos, raíces y parte entera

Hoy os traigo el problema de esta semana. Es el siguiente:

Probar que para cada natural $n\geq 2$ se verifica que

$\lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor=\lfloor\log_2(n) \rfloor + \lfloor\log_3(n) \rfloor + \ldots + \lfloor\log_n(n) \rfloor$

siendo $\lfloor x \rfloor$ la parte entera de $x$ (es decir, el mayor número entero que es menor o igual que $x$ ).

Suerte.

15 comentarios

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Dani | 8 de June de 2010 | 02:47

Hay una errata obvia en la suma de las partes enteras de los logaritmos.
Dani | 8 de June de 2010 | 03:09

Sea $\lfloor \sqrt[k]{n} \rfloor = m_k , \quad \lfloor \log_k(n) \rfloor = \l_k$ para $k=2,3,\ldots, n$ .
Si $\sqrt[k]{n} = x$ entonces $x^k = n$ , y como $m_k$ es el mayor entero menor o igual que $x$ resulta que es el mayor entero $m$ que cumple $m^k \leq n$ .
Es decir: $m_k = max\{ m\in \mathbb{N} : \quad m^k \leq n \} = card(\{ m\in \mathbb{N} : \quad m^k \leq n \} )$ ya que este conjunto es siempre de la forma $\{1,2,\ldots,j\}$ y por lo tanto su máximo y su cardinal coinciden.

De igual manera si $\log_k(n)=y$ , entonces $k^y=n$ , de modo que $l_k$ es el mayor entero $l$ que cumple $k^l \leq n$ . Así pues:
$l_k = max \{ l \in \mathbb{N} : \quad k^l \leq n \} = card( \{ l \in \mathbb{N} : \quad k^l \leq n \} )$ por la misma razón de antes. Notemos que desde luego se tiene $m_k,l_k \leq n$ para todo $k$ .

Por lo tanto resulta que:
$\sum_{k=2}^n \lfloor \sqrt[k]{n} \rfloor = \sum_{k=2}^n m_k =\sum_{k=2}^n card(\{ m\in \mathbb{N} : \quad m^k \leq n \} )$
$= card ( \{(i,j): 1 \leq i,j, \leq n : \quad i^j \leq n \})-n$ (nos sobran los $n$ números de la forma $i^1$ )
$\sum_{k=2}^n \lfloor \log_k(n) \rfloor = \sum_{k=2}^nl_k = \sum_{k=2}^n card( \{ l \in \mathbb{N}: \quad k^l \leq n \} )$
$= card ( \{(i,j): 1 \leq i,j, \leq n : \quad i^j \leq n \})-n$ (nos sobran los $n$ números de la forma $1^j$ )
Por lo tanto ambas sumas son iguales y el resultado queda demostrado.
hernan | 9 de June de 2010 | 05:03

Excelente lo de Dani, me costó un poco verlo.

Por si a alguien lo ayuda, acá va un gráfico de ejemplo (se pueden incluir imágenes en los comentarios? parece que no)

http://hjg.com.ar/varios/mat/tablapot.png

Es como una tabla de multiplicar, pero para potencias; es decir, el valor de cada celda es $X^Y$ . Supongamos que $n=26$ . E imaginemos que la tabla se extiende hasta 26 en ambos ejes.

Ahora bien, por el razonamiento de Dani vemos que cada término de la sumatoria de la izquierda (raíz k) equivale a contar la cantidad de celdas que no excedan 26 sobre la FILA k (con k entre 2 y 26). Entonces la sumatoria total de la izquierda equivale a la cantidad de celdas amarillas-naranjas.

Por otro lado, cada término de la sumatoria de la derecha (logaritmo de base k) corresponde a contar la cantidad de celdas sobre la COLUMNA k (con k entre 2 y 26).
Entonces la sumatoria total de la derecha equivale a la cantidad de celdas rojas-naranjas.

Pero hay la misma cantidad de celdas rojas y amarillas, ergo, etc.
Dani | 10 de June de 2010 | 13:11

A ver qué tal el siguiente problema:
Demostrar que $\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor$ es impar para cualquier natural $n \in \mathbb{N}$ .
M | 10 de June de 2010 | 14:34

los números de Dani cumplen la recurrencia $a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2$ con $a_0=1$ y $a_1=3$ .
M | 10 de June de 2010 | 16:25

Dicho de otro modo, $\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor +1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ es par para cada $n$ .
Dani | 10 de June de 2010 | 18:20

jejejej y probar que $1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}$ no es entero para ningún $n \in \mathbb{N}$ ?
M | 10 de June de 2010 | 18:37

Dani, esa propiedad consta en http://gaussianos.com/dos-problemas-sobre-la-serie-armonica/
Dani | 10 de June de 2010 | 18:50

argh… siempre igual.
Antonio QD | 11 de June de 2010 | 13:52

Buenos Días, M

Tengo una pregunta. Veo que la ecuación en diferencias que planteas es de orden 2. ¿Por qué no es de orden 3, 4 u otro posible? ¿Cuál es la deducción de esta ecuación?

Ya he comprobado que si uso los primeros tres terminos de la sucesión, puedo hallar la ecuación propuesta. Pero, este método no demuestra la validez general de la recurrencia. Aún así, yo he comprobado que hasta n=15 la recurrencia es valida.

Un saludo
hernan | 11 de June de 2010 | 14:03

Antonio: el problema de Dani, con la ecuación en diferencias de orden 2 que encuentra M, te resultará muy familiar si conoces la solución explícita de la recurrencia de Fibonacci y sus propiedades: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_recurrente#Ejemplo_:_N.C3.BAmeros_de_Fibonacci
Que la ecuación sea de orden 2 se corresponde con que tenga un par de soluciones expresable con raíces cuadradas.
Antonio QD | 11 de June de 2010 | 15:08

Creo que no se me ha entendido. No cuestiono la solución de la ecuación en diferencias, que efectivamente es la que indica M en su segundo post. Estoy familiarizado con la forma de resolver estas ecuaciones en diferencias y he comprobado que la solución que aporta M es la adecuada para la solución en diferencias propuesta con los valores iniciales $a_0=1$ , $a_1=3$ y $a_2=13$

Cuestiono la afirmación de que esta ecuación en diferencias nos permita calcular la sucesión de números que genera el problema de Dani para cada n. Si sólo considero los primeros valores del problema de Dani y parto del supuesto a priori de que la ecuación en diferencias es de orden 2, obtengo la ecuación propuesta por M. He comprobado que la ecuación se cumple hasta n=15. Es muy probable que si intento hallar una ecuación en diferencias de orden 3, los datos de los que dispongo me lleven de nuevo a la ecuación en diferencias propuesta por M; pero, con los valores del problema de Dani hasta n=15, puedo como mucho intentar hallar las formas de la ecuaciones en diferencias hasta orden k=7. El que el orden es k=2 no deja de ser una presunción a priori, y nada me asegura que no exista un n a partir del cual para poder generar la sucesión de los número de Dani me haga falta una ecuacion en diferencias de orden mayor.

Para que la demostración esté cerrada, se debe demostrar que la ecuación en diferencias corresponde a los valores del problema de Dani para todo n; y esto es lo que echo en falta.

Un Saludo
M | 11 de June de 2010 | 19:49

Hola AntonioQD, lamento la críptica respuesta de arriba. Vemos que

1) La recurrencia $b_{n+1}=4b_n-b_{n-1}$ ( $n\geq 1$ ), con $b_0=2$ y $b_1=4$ tiene por solución a $b_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ , para $n\geq 0$ .

2) Se tiene la igualdad $\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor +1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ para cada $n\geq 0$ (pues $2-\sqrt{3}<1$ y ambos miembros de la igualdad son naturales).

3) Por tanto, los números $a_n:=b_n-1\;(=\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor)$ cumplen la recurrencia $a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2$ con $a_0=1$ y $a_1=3$ .

Ver que para responder a la cuestión de Dani sólo hace falta leer el punto 2), y eso es lo que quise reflejar en el comentario de 10 de Junio de 2010 | 16:25.