Comments on: Logaritmos, raíces y parte entera http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: M http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14493 M Fri, 11 Jun 2010 17:49:35 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14493 Hola AntonioQD, lamento la críptica respuesta de arriba. Vemos que 1) La recurrencia $latex b_{n+1}=4b_n-b_{n-1}$ ($latex n\geq 1$), con $latex b_0=2$ y $latex b_1=4$ tiene por solución a $latex b_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$, para $latex n\geq 0$. 2) Se tiene la igualdad $latex \lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor +1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ para cada $latex n\geq 0$ (pues $latex 2-\sqrt{3}<1$ y ambos miembros de la igualdad son naturales). 3) Por tanto, los números $latex a_n:=b_n-1\;(=\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor)$ cumplen la recurrencia $latex a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2$ con $latex a_0=1$ y $latex a_1=3$. Ver que para responder a la cuestión de Dani sólo hace falta leer el punto 2), y eso es lo que quise reflejar en el comentario de 10 de Junio de 2010 | 16:25. Hola AntonioQD, lamento la críptica respuesta de arriba. Vemos que

1) La recurrencia b_{n+1}=4b_n-b_{n-1} (n\geq 1), con b_0=2 y b_1=4 tiene por solución a b_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n, para n\geq 0.

2) Se tiene la igualdad \lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor +1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n para cada n\geq 0 (pues 2-\sqrt{3}<1 y ambos miembros de la igualdad son naturales).

3) Por tanto, los números a_n:=b_n-1\;(=\lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor) cumplen la recurrencia a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2 con a_0=1 y a_1=3.

Ver que para responder a la cuestión de Dani sólo hace falta leer el punto 2), y eso es lo que quise reflejar en el comentario de 10 de Junio de 2010 | 16:25.

]]> By: Antonio QD http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14492 Antonio QD Fri, 11 Jun 2010 13:08:54 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14492 Creo que no se me ha entendido. No cuestiono la solución de la ecuación en diferencias, que efectivamente es la que indica M en su segundo post. Estoy familiarizado con la forma de resolver estas ecuaciones en diferencias y he comprobado que la solución que aporta M es la adecuada para la solución en diferencias propuesta con los valores iniciales $latex a_0=1$, $latex a_1=3$ y $latex a_2=13$ Cuestiono la afirmación de que esta ecuación en diferencias nos permita calcular la sucesión de números que genera el problema de Dani para cada n. Si sólo considero los primeros valores del problema de Dani y parto del supuesto a priori de que la ecuación en diferencias es de orden 2, obtengo la ecuación propuesta por M. He comprobado que la ecuación se cumple hasta n=15. Es muy probable que si intento hallar una ecuación en diferencias de orden 3, los datos de los que dispongo me lleven de nuevo a la ecuación en diferencias propuesta por M; pero, con los valores del problema de Dani hasta n=15, puedo como mucho intentar hallar las formas de la ecuaciones en diferencias hasta orden k=7. El que el orden es k=2 no deja de ser una presunción a priori, y nada me asegura que no exista un n a partir del cual para poder generar la sucesión de los número de Dani me haga falta una ecuacion en diferencias de orden mayor. Para que la demostración esté cerrada, se debe demostrar que la ecuación en diferencias corresponde a los valores del problema de Dani para todo n; y esto es lo que echo en falta. Un Saludo Creo que no se me ha entendido. No cuestiono la solución de la ecuación en diferencias, que efectivamente es la que indica M en su segundo post. Estoy familiarizado con la forma de resolver estas ecuaciones en diferencias y he comprobado que la solución que aporta M es la adecuada para la solución en diferencias propuesta con los valores iniciales a_0=1, a_1=3 y a_2=13

Cuestiono la afirmación de que esta ecuación en diferencias nos permita calcular la sucesión de números que genera el problema de Dani para cada n. Si sólo considero los primeros valores del problema de Dani y parto del supuesto a priori de que la ecuación en diferencias es de orden 2, obtengo la ecuación propuesta por M. He comprobado que la ecuación se cumple hasta n=15. Es muy probable que si intento hallar una ecuación en diferencias de orden 3, los datos de los que dispongo me lleven de nuevo a la ecuación en diferencias propuesta por M; pero, con los valores del problema de Dani hasta n=15, puedo como mucho intentar hallar las formas de la ecuaciones en diferencias hasta orden k=7. El que el orden es k=2 no deja de ser una presunción a priori, y nada me asegura que no exista un n a partir del cual para poder generar la sucesión de los número de Dani me haga falta una ecuacion en diferencias de orden mayor.

Para que la demostración esté cerrada, se debe demostrar que la ecuación en diferencias corresponde a los valores del problema de Dani para todo n; y esto es lo que echo en falta.

Un Saludo

]]> By: hernan http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14491 hernan Fri, 11 Jun 2010 12:03:28 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14491 Antonio: el problema de Dani, con la ecuación en diferencias de orden 2 que encuentra M, te resultará muy familiar si conoces la solución explícita de la recurrencia de Fibonacci y sus propiedades: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_recurrente#Ejemplo_:_N.C3.BAmeros_de_Fibonacci Que la ecuación sea de orden 2 se corresponde con que tenga un par de soluciones expresable con raíces cuadradas. Antonio: el problema de Dani, con la ecuación en diferencias de orden 2 que encuentra M, te resultará muy familiar si conoces la solución explícita de la recurrencia de Fibonacci y sus propiedades: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_recurrente#Ejemplo_:_N.C3.BAmeros_de_Fibonacci
Que la ecuación sea de orden 2 se corresponde con que tenga un par de soluciones expresable con raíces cuadradas.

]]> By: Antonio QD http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14490 Antonio QD Fri, 11 Jun 2010 11:52:45 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14490 Buenos Días, M Tengo una pregunta. Veo que la ecuación en diferencias que planteas es de orden 2. ¿Por qué no es de orden 3, 4 u otro posible? ¿Cuál es la deducción de esta ecuación? Ya he comprobado que si uso los primeros tres terminos de la sucesión, puedo hallar la ecuación propuesta. Pero, este método no demuestra la validez general de la recurrencia. Aún así, yo he comprobado que hasta n=15 la recurrencia es valida. Un saludo Buenos Días, M

Tengo una pregunta. Veo que la ecuación en diferencias que planteas es de orden 2. ¿Por qué no es de orden 3, 4 u otro posible? ¿Cuál es la deducción de esta ecuación?

Ya he comprobado que si uso los primeros tres terminos de la sucesión, puedo hallar la ecuación propuesta. Pero, este método no demuestra la validez general de la recurrencia. Aún así, yo he comprobado que hasta n=15 la recurrencia es valida.

Un saludo

]]> By: Dani http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14489 Dani Thu, 10 Jun 2010 16:50:18 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14489 argh... siempre igual. argh… siempre igual.

]]> By: M http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14488 M Thu, 10 Jun 2010 16:37:46 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14488 Dani, esa propiedad consta en http://gaussianos.com/dos-problemas-sobre-la-serie-armonica/ Dani, esa propiedad consta en http://gaussianos.com/dos-problemas-sobre-la-serie-armonica/

]]> By: Dani http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14487 Dani Thu, 10 Jun 2010 16:20:13 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14487 jejejej :) y probar que $latex 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} $ no es entero para ningún $latex n \in \mathbb{N}$? jejejej :) y probar que 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} no es entero para ningún n \in \mathbb{N}?

]]> By: M http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14486 M Thu, 10 Jun 2010 14:25:20 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14486 Dicho de otro modo, $latex \lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor +1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ es par para cada $latex n$. Dicho de otro modo, \lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor +1=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n es par para cada n.

]]> By: M http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14485 M Thu, 10 Jun 2010 12:34:14 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14485 los números de Dani cumplen la recurrencia $latex a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2$ con $latex a_0=1$ y $latex a_1=3$. los números de Dani cumplen la recurrencia a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2 con a_0=1 y a_1=3.

]]> By: Dani http://gaussianos.com/logaritmos-raices-y-parte-entera/#comment-14484 Dani Thu, 10 Jun 2010 11:11:35 +0000 http://gaussianos.com/?p=2579#comment-14484 A ver qué tal el siguiente problema: Demostrar que $latex \lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor $ es impar para cualquier natural $latex n \in \mathbb{N}$. A ver qué tal el siguiente problema:
Demostrar que \lfloor (2+\sqrt{3})^n \rfloor es impar para cualquier natural n \in \mathbb{N}.

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