Longitud en relación con el rectángulo

Vamos con el problema de esta semana, más geométrica que de costumbre:

Dado un rectángulo ABCD, extendemos el lado AB hasta un punto E para que se cumpla que BE=BC. Dibujamos ahora la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AE (cuyo centro es O, el punto medio de dicho segmento) y extendemos después el lado BC del rectángulo inicial hasta que corte a la circunferencia como se muestra en la figura:

La cuestión a responder es la siguiente: ¿qué relación hay entre la longitud del segmento BF así construido con el rectángulo inicial?

Que se os dé bien.

Share

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. AFE, forman un triángulo rectángulo (no me acuerdo que Teorema es)

    por el teorema de la altura ab * be = BF * BF

    como BE = BC

    ab * bc = BF * BF

    BF es la raíz cuadrada del área de ese rectángulo.

    ¿Está bien?

    Publica una respuesta
  2. Pues el segmento es la raíz cuadrada del área del rectángulo, ya que tal y como hemos hecho la construcción resulta que BF es la media geométrica de AB y BE=BC.

    Publica una respuesta
  3. Creía que en vez de un problema se estaba demostrando el teorema de la altura

    Publica una respuesta
  4. La distancia  OF es igual al radio de la circunferencia, es decir

     OF = \frac {AF}{2} = \frac {AB + BE}{2} = \frac {AB + BC}{2}

    y ademas es la hipotenusa del triangulo  OBF

    El lado  OB (que es un cateto del triangulo  OBF ) es

     OB = AB - \frac {AF}{2} = AB - \frac {AB + BC}{2} = \frac {AB - BC}{2}

    Tomando como que el area del rectangulo es  S = AB \cdot BC

    y, con pitagoras:

     BF = \sqrt {OF^2 - OB^2} = \sqrt {(\frac {AB  + BC}{2})^2 - (\frac {AB  -  BC}{2})^2}= \frac {\sqrt{(AB + BC)^2 - (AB - BC)^2} }{2} = \frac {\sqrt{4 AB \cdot BC}}{2} =\sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt {S}

    Por lo tanto el lado BF es la raiz cuadrada del area del rectangulo.

    Publica una respuesta
  5. El angulo AFE es recto por el lugar geometrico de Thales… Por geometria analitica da lo mismo. 🙂

    Publica una respuesta
  6. Según el teorema de Pitágoras que todos conocemos:

    AE^2 = AF ^2 + EF ^2

    Pero hay uno menos conocido, que es el Teorema inverso de Pitágoras, por lo que la altura al cuadrado, es igual a la suma inversa de los cuadrados de los catetos:

    BF^2 = AF ^2 ║ EF ^2

    La operacion ║ representa la suma inversa, que se define como:

    x ║ y = 1/(1/x+1/y)

    Publica una respuesta
  7. El lado BF es el lado de un cuadrado de la misma área que el rectángulo.

    Publica una respuesta
  8. La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $\frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!

    Publica una respuesta
  9. Va de nuevo:
    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $frac{FB}{AB}=frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!

    Publica una respuesta
  10. La realidad es que no puedo escribir esto de manera elegante, lástima

    Publica una respuesta
  11. Juan Pablo, es que tras el primer símbolo $ hay que poner ‘latex’. Y los códigos latex empiezan por ‘\’. Veamos ahora:

    =========================
    Va de nuevo:
    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que  \frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}, de aquí que (FB)^2=AB\cdot{BE} y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que (FB)^2 = AB \cdot BC = Área rectángulo ABCD.

    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
    =========================

    Y hablando de cuadrar el rectángulo, asi calculamos el lado del cuadrado equivalente … ¿pero como lo cuadramos “físicamente”? Quiero decir, cortanto en trozos y volviendolos a unir de otra forma. ¿Cuántos trozos hacen falta y como son?

    Depende de la proporción entre los lados, claro.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana, más geométrica que de costumbre: Dado un…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *