Longitud en relación con el rectángulo
Vamos con el problema de esta semana, más geométrica que de costumbre:
Dado un rectángulo
, extendemos el lado
hasta un punto
para que se cumpla que
. Dibujamos ahora la circunferencia cuyo diámetro es el segmento
(cuyo centro es
, el punto medio de dicho segmento) y extendemos después el lado
del rectángulo inicial hasta que corte a la circunferencia como se muestra en la figura:
La cuestión a responder es la siguiente: ¿qué relación hay entre la longitud del segmento
así construido con el rectángulo inicial?
Que se os dé bien.
 |
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de diciembre de 2011
Categorías: Juegos | 
Imprime este post
julio | 13 de diciembre de 2011 | 09:34
Vótalo
0
AFE, forman un triángulo rectángulo (no me acuerdo que Teorema es)
por el teorema de la altura ab * be = BF * BF
como BE = BC
ab * bc = BF * BF
BF es la raíz cuadrada del área de ese rectángulo.
¿Está bien?
JC | 13 de diciembre de 2011 | 10:16
Vótalo
0
Sí, está bien, creo.
Otra visión: BF es media geométrica de los lados.
Representación gráfica de la media aritmética (A), geométrica (G) y armónica (H) de los dos lados (a=AB y b=BE=BC):
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:MathematicalMeans.svg
Joan | 13 de diciembre de 2011 | 10:42
Vótalo
0
Es el teorema del arco capaz.
Ñbrevu | 13 de diciembre de 2011 | 11:58
Vótalo
0
Pues el segmento es la raíz cuadrada del área del rectángulo, ya que tal y como hemos hecho la construcción resulta que BF es la media geométrica de AB y BE=BC.
Sebas | 13 de diciembre de 2011 | 13:30
Vótalo
0
Creía que en vez de un problema se estaba demostrando el teorema de la altura
Ignacio Larrosa Cañestro | 13 de diciembre de 2011 | 14:29
Vótalo
0
Este es el procedimiento clásico para hallar la media geométrica, o medio proporcional, de dos segmentos:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Medias0.html
Ahí se comparan además las medias armónica, geométrica, aritmética y cuadrática.
Sebas | 13 de diciembre de 2011 | 14:43
Vótalo
0
De paso aprovechamos para cuadrar el rectángulo
Superman | 13 de diciembre de 2011 | 18:07
Vótalo
0
La distancia
es igual al radio de la circunferencia, es decir
y ademas es la hipotenusa del triangulo
El lado
(que es un cateto del triangulo 
) es
Tomando como que el area del rectangulo es
y, con pitagoras:
Por lo tanto el lado BF es la raiz cuadrada del area del rectangulo.
Trackback | 13 dic, 2011
Bitacoras.com
Jimena | 13 de diciembre de 2011 | 22:57
Vótalo
0
El angulo AFE es recto por el lugar geometrico de Thales… Por geometria analitica da lo mismo.
Ignacius | 14 de diciembre de 2011 | 02:17
Vótalo
0
Según el teorema de Pitágoras que todos conocemos:
AE^2 = AF ^2 + EF ^2
Pero hay uno menos conocido, que es el Teorema inverso de Pitágoras, por lo que la altura al cuadrado, es igual a la suma inversa de los cuadrados de los catetos:
BF^2 = AF ^2 ║ EF ^2
La operacion ║ representa la suma inversa, que se define como:
x ║ y = 1/(1/x+1/y)
gaussianos | 14 de diciembre de 2011 | 03:41
Vótalo
0
Por cierto, saqué el problema de aquí.
Francisco | 14 de diciembre de 2011 | 05:31
Vótalo
0
El lado BF es el lado de un cuadrado de la misma área que el rectángulo.
Juan Pablo Simonetti | 14 de diciembre de 2011 | 13:43
Vótalo
0
La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $\frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
Juan Pablo Simonetti | 14 de diciembre de 2011 | 13:44
Vótalo
0
Va de nuevo:
La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $frac{FB}{AB}=frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
Juan Pablo Simonetti | 14 de diciembre de 2011 | 13:45
Vótalo
0
La realidad es que no puedo escribir esto de manera elegante, lástima
Ignacio Larrosa Cañestro | 14 de diciembre de 2011 | 14:02
Vótalo
0
Juan Pablo, es que tras el primer símbolo $ hay que poner ‘latex’. Y los códigos latex empiezan por ‘\’. Veamos ahora:
=========================
, de aquí que 
y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que 
= Área rectángulo ABCD.
Va de nuevo:
La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que
Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
=========================
Y hablando de cuadrar el rectángulo, asi calculamos el lado del cuadrado equivalente … ¿pero como lo cuadramos “físicamente”? Quiero decir, cortanto en trozos y volviendolos a unir de otra forma. ¿Cuántos trozos hacen falta y como son?
Depende de la proporción entre los lados, claro.