Longitud en relación con el rectángulo

Vamos con el problema de esta semana, más geométrica que de costumbre:

Dado un rectángulo ABCD, extendemos el lado AB hasta un punto E para que se cumpla que BE=BC. Dibujamos ahora la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AE (cuyo centro es O, el punto medio de dicho segmento) y extendemos después el lado BC del rectángulo inicial hasta que corte a la circunferencia como se muestra en la figura:

La cuestión a responder es la siguiente: ¿qué relación hay entre la longitud del segmento BF así construido con el rectángulo inicial?

Que se os dé bien.

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17 comentarios

  1. julio | 13 de diciembre de 2011 | 09:34

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    AFE, forman un triángulo rectángulo (no me acuerdo que Teorema es)

    por el teorema de la altura ab * be = BF * BF

    como BE = BC

    ab * bc = BF * BF

    BF es la raíz cuadrada del área de ese rectángulo.

    ¿Está bien?

  2. JC | 13 de diciembre de 2011 | 10:16

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    Sí, está bien, creo.

    Otra visión: BF es media geométrica de los lados.

    Representación gráfica de la media aritmética (A), geométrica (G) y armónica (H) de los dos lados (a=AB y b=BE=BC):

    http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:MathematicalMeans.svg

  3. Joan | 13 de diciembre de 2011 | 10:42

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    Es el teorema del arco capaz.

  4. Ñbrevu | 13 de diciembre de 2011 | 11:58

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    Pues el segmento es la raíz cuadrada del área del rectángulo, ya que tal y como hemos hecho la construcción resulta que BF es la media geométrica de AB y BE=BC.

  5. Sebas | 13 de diciembre de 2011 | 13:30

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    Creía que en vez de un problema se estaba demostrando el teorema de la altura

  6. Ignacio Larrosa Cañestro | 13 de diciembre de 2011 | 14:29

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    Este es el procedimiento clásico para hallar la media geométrica, o medio proporcional, de dos segmentos:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Medias0.html

    Ahí se comparan además las medias armónica, geométrica, aritmética y cuadrática.

  7. Sebas | 13 de diciembre de 2011 | 14:43

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    De paso aprovechamos para cuadrar el rectángulo

  8. Superman | 13 de diciembre de 2011 | 18:07

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    La distancia  OF es igual al radio de la circunferencia, es decir

     OF = \frac {AF}{2} = \frac {AB + BE}{2} = \frac {AB + BC}{2}

    y ademas es la hipotenusa del triangulo  OBF

    El lado  OB (que es un cateto del triangulo  OBF ) es

     OB = AB - \frac {AF}{2} = AB - \frac {AB + BC}{2} = \frac {AB - BC}{2}

    Tomando como que el area del rectangulo es  S = AB \cdot BC

    y, con pitagoras:

     BF = \sqrt {OF^2 - OB^2} = \sqrt {(\frac {AB  + BC}{2})^2 - (\frac {AB  -  BC}{2})^2}= \frac {\sqrt{(AB + BC)^2 - (AB - BC)^2} }{2} = \frac {\sqrt{4 AB \cdot BC}}{2} =\sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt {S}

    Por lo tanto el lado BF es la raiz cuadrada del area del rectangulo.

  9. Trackback | 13 dic, 2011

    Bitacoras.com

  10. Jimena | 13 de diciembre de 2011 | 22:57

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    El angulo AFE es recto por el lugar geometrico de Thales… Por geometria analitica da lo mismo. :)

  11. Ignacius | 14 de diciembre de 2011 | 02:17

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    Según el teorema de Pitágoras que todos conocemos:

    AE^2 = AF ^2 + EF ^2

    Pero hay uno menos conocido, que es el Teorema inverso de Pitágoras, por lo que la altura al cuadrado, es igual a la suma inversa de los cuadrados de los catetos:

    BF^2 = AF ^2 ║ EF ^2

    La operacion ║ representa la suma inversa, que se define como:

    x ║ y = 1/(1/x+1/y)

  12. gaussianos | 14 de diciembre de 2011 | 03:41

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    Por cierto, saqué el problema de aquí.

  13. Francisco | 14 de diciembre de 2011 | 05:31

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    El lado BF es el lado de un cuadrado de la misma área que el rectángulo.

  14. Juan Pablo Simonetti | 14 de diciembre de 2011 | 13:43

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    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $\frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!

  15. Juan Pablo Simonetti | 14 de diciembre de 2011 | 13:44

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    Va de nuevo:
    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $frac{FB}{AB}=frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!

  16. Juan Pablo Simonetti | 14 de diciembre de 2011 | 13:45

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    La realidad es que no puedo escribir esto de manera elegante, lástima

  17. Ignacio Larrosa Cañestro | 14 de diciembre de 2011 | 14:02

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    Juan Pablo, es que tras el primer símbolo $ hay que poner ‘latex’. Y los códigos latex empiezan por ‘\’. Veamos ahora:

    =========================
    Va de nuevo:
    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que \frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}, de aquí que (FB)^2=AB\cdot{BE} y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que (FB)^2 = AB \cdot BC = Área rectángulo ABCD.

    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
    =========================

    Y hablando de cuadrar el rectángulo, asi calculamos el lado del cuadrado equivalente … ¿pero como lo cuadramos “físicamente”? Quiero decir, cortanto en trozos y volviendolos a unir de otra forma. ¿Cuántos trozos hacen falta y como son?

    Depende de la proporción entre los lados, claro.

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