Los centros del triángulo: el punto de Gergonne

Después de unas semanas sin acordarnos de ellos volvemos a la carga con los centros del triángulo. Hoy vamos a ver cómo construir el denominado punto de Gergonne, que fue descubierto por el matemático frances Joseph Diaz Gergonne.

En esta ocasión también es muy fácil construir este punto. Construimos nuestro triángulo y después trazamos las bisectrices de cada uno de sus ángulos (en línea discontinua en el dibujo). El punto de intersección de las tres bisectrices, que recuerdo que se denomina incentro, es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Representamos ese punto (D en el dibujo) y trazamos la circunferencia inscrita. Para dibujarla en GeoGebra lo que he hecho es trazar una perpendicular a uno de los lados que pase por el punto D. Esa perpendicular corta a dicho lado en un punto, digamos E. El segmento DE es el radio de dicha circunferencia.

Cuando tenemos trazada la circunferencia inscrita marcamos los puntos en los que corta a cada uno de los lados (en el dibujo, D,E y F) y después trazamos las rectas que unen cada vértice con el punto de corte de esa circunferencia con el lado contrario a dicho vértice. Esa tres rectas se cortan en un punto, que es el denominado punto de Gergonne.

Y ahora, como en todos estos artículos, una construcción hecha con GeoGebra para ilustrar la explicación anterior:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.


Y para terminar os dejo este artículo pdf en el que podéis ver más de veinte teoremas sobre el punto de Gergonne encontrados por un programa de ordenador especializado en encontrar resultados relacionados con la geometría euclídea. Casi nada.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Como curiosidad:
    Cuando el punto de Gergonne coincide con el incentro el triangulo, curiosamente no es equilatero, sino isosceles. ¿Cual es la condición necesaria que debe tener el triangulo para que el incentro coincida con el punto de Gergonne?.

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  2. ¿Podría alguien definir «centro de un triángulo» de una vez? Gracias.

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  3. Uberto, yo entiendo que “centro” no es un término estrictamente matemático (como puedan ser “incentro” o “vértice”), sino que se utiliza de manera genérica para referirse a “puntos de concurrencia de tres o más rectas notables del triángulo”. Por eso todos los puntos aparecidos en estos posts son “centros”.

    Como curiosidad filosófica, cabría preguntarse si todos los puntos del interior del triángulo son “centros”. Yo imagino que sí, supongo que será cuestión de echarle imaginación a la hora de definir las rectas que queremos que se corten en el punto en cuestión.

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  4. Hay que tener en cuenta que algunos centros del triángulo pueden estar dentro o fuera del triángulo.

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