Los centros del triángulo: el punto de Lemoine

Nueva entrega de la serie sobre los centros del triángulo. En este artículo vamos a presentar el denominado punto de Lemoine (o punto de Grebe), descubierto por el matemático francés Émile Lemoine.

La construcción de este punto es tan sencilla como otras que ya hemos visto. Se comienza construyendo un triángulo en el que trazamos las tres bisectrices (las líneas de puntos del dibujo). Después marcamos los puntos medios de cada uno de los lados (en el dibujo, ) y trazamos las medianas, es decir, las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el dibujo, las líneas discontinuas). Y a continuación trazamos las rectas que se obtienen al reflejar cada mediana respecto de la bisectriz correspondiente al ángulo de su vértice, obteniendo así las tres rectas que en el dibujo aparecen en línea continua. Estas tres rectas, curiosamente, se cortan en un punto, que es el denominado punto de Lemoine.

Y, como pasa en muchas ocasiones, hay un extra. Si dibujamos la tres rectas paralelas a los lados del triángulo que pasan por el punto de Lemoine, los seis puntos de intersección de estas tres rectas con los lados del triángulo pertenecen a la misma circunferencia, llamada por ello circunferencia de Lemoine.

En la siguiente construcción hecha con GeoGebra se puede jugar con el tamaño del triángulo y la colocación de sus vértices para comprobar que efectivamente esas rectas se cortan en este punto de Lemoine y marcando la casilla que aparece arriba a la derecha puede verse la circunferencia de Lemoine, donde tanto las rectas como dicha circunferencia aparecen en color gris:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

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Autor: ^DiAmOnD^  |  Publicado el 2 de September de 2010
Categorías: Centros del triángulo  |   Imprime este post