Los círculos tritangentes

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en enviar alguna colaboración, consulta, etc., utiliza esa dirección de correo electrónico.

Los círculos tritangentes

Los bisectores de los ángulos de un triángulo \triangle ABC se cortan en cuatro puntos  I, I_1, I_2, I_3, que son los únicos puntos equidistantes de las tres rectas en que están los lados del triángulo.

Esos puntos son los centros de los círculos tritangentes, es decir del círculo inscrito en el triángulo y de los tres círculos exinscritos, que son los cuatro círculos tangentes a las tres rectas AB, AC, BC.

A estos círculos se los denomina también equicírculos (al menos en inglés se les llama equicircles).
equicirculos

Usamos las siguientes letras para designar distancias en la figura:

a = BC, b=AC, c=AB, sa=AB0=AC0,
sb = BA0 = BC0, sc = CA0 = CB0,
t=AB1 = AC1,

u = CA1= CB1, v = BA1 = BC1, y
r = I C0 , ra= I1 C1 , rb = I2 C2, rc = I3 A3
, que son los radios de los círculos tritangentes.

Además designamos con s el semiperímetro, s=\frac{a+b+c}{2}, y con K el área de \triangle ABC.

Entonces, como 2(s_a+s_b+s_c) = a+b+c = 2s y s_b + s_c = a, tenemos que s_a = s - a y también s_b = s-b y s_c = s-c.

Y como a=u+v y t=b+u=c+v,  2t = b+u+c+v = 2s, y por tanto  t=s, \ u=s-b= s_b, \ v= s-c=s_c.

El área K de \triangle ABC es la suma de las áreas de los triángulos \triangle ABI, \triangle BCI, y \triangle ACI, cuya base son los lados y cuya altura es el radio r del círculo inscrito. Por tanto K = sr.

Como \triangle AIC_0 y \triangle AI_1C_1 son semejantes, \frac{s_a}{r}=\frac{s}{r_a}, y por tanto  K = sr = s_ar_a = s_br_b = s_cr_c.

El ángulo \angle IBI_1 entre los bisectores BI y BI_1 es recto, y por tanto \angle IBC_0 y \angle I_1BC_1 son complementarios.

Entonces los triángulos rectángulos \triangle IBC_0 y \triangle I_1BC_1 son semejantes y \frac{s_c}{r_a} = \frac{r}{s_b}, es decir  rr_a = s_bs_c.

Entonces, como K = sr = s_ar_a, \ \ K^2 = srs_ar_a = ss_as_bs_c, que es la fórmula de Herón para el área del triángulo.

De ésta y de las fórmulas anteriores para el área, obtenemos inmediatamente K^2 = rr_ar_br_c, es decir el área del triángulo es la raíz cuadrada del producto de los radios de los círculos tritangentes.

Como ss_as_bs_c = rr_ar_br_c y  rr_a = s_bs_c, etc, también ss_a = r_br_c, etc.

Tenemos que  s_a + s_b + s_c = (s-a) + ( s-b) + (s-c) = s. Entonces \frac{s}{r} = \frac{s_a}{r} + \frac{s_b}{r} + \frac{s_c}{r}.

Y como \frac{s_a}{r}=\frac{s}{r_a}, etc, resulta que \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}.

De las identidades anteriores obtenemos \frac{1}{r_a} = \frac{r}{s_bs_c} , \ \ \frac{1}{r_b} = \frac{r}{s_as_c} = \frac{r_a}{ss_c} , \ \  \frac{1}{r_c} = \frac{r}{s_as_b}   = \frac{r_a}{ss_b} y \frac{1}{r} = \frac{r_a}{s_bs_c}.

Y por tanto tenemos las siguientes fórmulas que nos dan los radios de los equicírculos a partir de los lados:
\displaystyle{\frac{1}{r^2} = \frac{1}{s_as_b} + \frac{1}{s_as_c} + \frac{1}{s_bs_c}} , \quad \displaystyle{\frac{1}{r_a^2} = \frac{1}{s_bs_c} - \frac{1}{ss_b} - \frac{1}{ss_c}}, etc.

Si h_a, h_b, h_c son las alturas de \triangle ABC, de las fórmulas K = sr = \frac{ah_a}{2}, etc, se obtiene enseguida
\frac{1}{h_a} +\frac{1}{h_b} +\frac{1}{h_c} = \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} +\frac{1}{r_b} +\frac{1}{r_c}.

Tampoco es difícil demostrar, usando la fórmula del área en función de dos lados y del seno del ángulo que forman (y el teorema del seno), que si R es el radio de la circunferencia circunscrita a \triangle ABC, 4R = r_a + r_b + r_c - r.

Hay más resultados relacionados con los círculos tritangentes, y el más notable quizá sea el teorema descubierto por Feuerbach, que dice que esos cuatro círculos son tangentes al círculo de 9 puntos, que por eso es llamado circunferencia de Feuerbach.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. @ Miguel
    Hola, miguel, no creo que este sea el lugar más adecuado para hacer tu pregunta. Espero no parecer antipático con esto, te lo digo como consejo y de buena manera.

    En todo caso ¿Conoces la definición de derivada?. Es el “límite de una tangente”. Usa esa definición, o sea …

    \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x) } {h }. Obviamente tu f(x) es la potencia n-ésima de x. Trata de usar eso. Yo usaría el teorema del binomio de Newton.Otra opción tal vez sea hacer una pequeña inducción (prueba para n=0 y demuestra que si asumes la propiedad cierta para n, entonces lo será para n+1). También puedes usar la definición de derivada en un punto a y factorizar x^{n} - a^{n} dentro del límite, etc. Bueno, creo que hablé mucho y estoy contribuyendo a desviar el tema, espero los demás no me regañen por responderte, pero la verdad también soy estudiante y sé lo que es necesitar ayuda. Eso sí, por favor busca lugares adecuados. (Un poco de Google ayuda!)

    @ Todos los demás (en especial fede)
    Respecto al post, me parece interesantísimo, pues la verdad cuando hice mi curso de geometría no ví todo eso con un una demostración tan acabada. Eso sí, recuerdo que lo que sí utilizamos bastante fue lo que mencionas cuando dices…(usando tu misma notación)

    K = sr = s_ar_a = s_br_b = s_cr_c

    Mas, eso lo vimos como una propiedad de la circunferencia exinscrita. Recuerdo, por lo demás que me costó un poco entender qué diantres era una circunferencia exinscrita. Pues un error común que cometíamos mis compañeros y yo era confundirla con la circunferencia circunscrita. Bueno, con la imagen que se añade en el artículo claramente se puede observar que son cosas totalmente distintas (si es que se sabe lo que es la circunscrita, que no sale en la imagen), y la definición la puede deducir cada uno.

    Saludos!

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias....
  2. El teorema de las circunferencias tangentes de Descartes | Gaussianos - [...] Obtenemos entonces el radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos de tangencia de tres circunferencias…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *