Los complejos nos dicen que 1=-1

Hoy os traigo el juego 1 = -1. Ya vimos en este post hace un par de días algunas cosas sobre números complejos. En particular vimos que i, la unidad imaginaria, cumple que i2 = -1, es decir, que i es la raíz cuadrada de -1. Usando esa propiedad podemos plantear lo siguiente:

1=-1

Evidentemente hay algo mal en este planteamiento, ya que 1 no es igual que -1. Pero, ¿en qué paso del razonamiento se encuentra el error? ¿Por qué?

Solución:

Efecto Mariposa ya puso un enlace a la explicación en uno de los comentarios. Y esa misma es la explicación que yo iba a dar. Vamos con ella:

Para cualquier número complejo se define su argumento como el ángulo que forma el vector asociado a ese número complejo con el eje X. Si ese argumento está entre -π y π a ese argumento se le llama argumento principal del número complejo.

Por otra parte cada número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces, cúbicas, 4 raíces cuartas, etc. Una de ellas se denomina rama principal de la raíz. Pues esa misma es la que hay que tomar en este caso.

La raíz de ese producto se puede separar en ese producto de raíces siempre que la suma de los argumentos de los dos números complejos esté entre -π y π. En este caso tendríamos π + π = 2π, que se sale de ese rango. Por tanto deberíamos haber cogido para uno de los -1 la raíz cuadrada -i, que tiene como argumento -π. En este caso la suma de los argumentos sería π + (-π) = 0, que sí está en ese rango.

En este enlace podéis ver la explicación completa.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

35 Comentarios

  1. ¿Puede ser que el problema este relacionado con los valores absolutos? Lo tengo en la punta de la lengua (de los dedos , en este caso)pero no lo acabo de ver claro. Supongo que mis tres meses de vacaciones postuniversidad tienen algo que ver … ;)

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  2. El tema está en que 1^(1/2) no sólo es 1, sino que también es -1

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  3. Eso es, lo que dijo setantaset. El segundo miembro debería estar entre ||, ser en valor absoluto.

    Igual es divertida la ecuación.

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  4. Efectivamente setantaset dio la solucion valida pues la raiz de 1 es tanto 1 como -1 ,
    Raiz cuadrada -> Dos soluciones (que a veces pueden coincidir en la misma)

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  5. No es esa la solución. En todos los miembros donde hay una raíz cuadrada yo he tomado la raíz cuadrada positiva. No va el tema por los valores absolutos. La cosa va por las raíces de un número complejo.

    A ver quien lo saca.

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  6. raiz(1) = +1 y -1
    no es valido empezar con una opción
    y luego escoger de vuelta la otra
    1 = raiz(1) = -1

    es decir no se puede igualar una solución a la propia raiz que son dos soluciones. Es como 3 = 0/0 = 8 => 3=8

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    • 4=raiz(4)raiz(4)=2*(-2)=-4. Que mal, esta propiedad es falsa, pues en Z la raiz cuadrada no es unica y si tomo la que quiera y sin regla, lo mas probable es que llegue a contradicciones.

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  7. ricardo en el problema no aparece lo que tú comentas. Lo explico:

    Claramente 1 es igual a la raíz positiva de 1. Por otro lado 1 = (-1)·(-1), y por tanto sus raíces cuadradas positivas también son iguales. Después separo la raíz de ese producto como el producto de cada una de las raíces (como dije en mi anterior comentario tomo en todos los casos las raíces positivas). Y después usando que raíz de -1 es i expreso ese producto como i·i, que como ya sabemos vale -1. Espero haberme explicado.

    Repito, el error del razonamiento no está en lo que habéis comentado. Es otra cosa.

    Saludos

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  8. Bueno, pues raiz(-1) = i y -i (no?)
    habría que contemplar las dos opciones y la buena
    es cuando raiz(-1)*raiz(-1)=i*(-i)=-(i^2)=1

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  9. Según puedo ver, creo que el problema está en el traspaso de una sola raíz, a dos raíces, debido a que en este caso SI importa el orden con que se opera.

    En sqrt(-1*-1) si resolvemos primero lo de adentro nos queda sqrt(1) que es igual 1.

    En cambio, con sqrt(-1)*sqrt(-1), ¡cuidado! son raíces imaginarias y y aquí entonces ya empezáramos a tener problemas al hacer operaciones. Al resolver las raíces nos quedaríamos con -1 que no es con lo que empezamos, ergo, no podemos hacer eso.

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  10. La raiz de un número complejo z viene a se:

    e^[log(z)/2]

    Va por aquí la cosa?

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  11. también se puede ver como (k entero):
    sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(e^(K2pi))*sqrt(e^(K2pi))=
    e^(Kpi)*e^(Kpi) pero esto no es e^2Kpi ya que como dije antes e^(Kpi) son dos opciones +1 y -1 y
    e^(2Kpi) sólo es una (-1) luego
    e^(Kpi)*e^(Kpi) = e^(Kpi)
    (+-)1*(+-)1=(+-)1

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  12. sqrt[(-1).(-1)]=sqrt[(-1)^2]¿=?[sqrt(-1)]^2,yo digo que el paso de separar el producto esta mal ya que el indice de la raiz es par.

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  13. i^0 = 1 ; i^1=i ; i^2=-1 y i^3=-i

    y i^4 ??? i^3.i= -i.i= 1 o sea, i^4 = i^0

    raiz(1)=raiz(i^0)=1 pero raiz(i^4)= i^2= -1. En realidad esto no se puede hacer, ya q la unidad imaginaria trabaja las potencias con congruencias de 4 (por la estructura de los complejos si no me equivo, este tema esta lejos de ser de mis favoritos).

    Lo q sucede en el juego es reescribiendolo:

    raiz(1)=raiz(i^0)=
    =raiz(i^4)= (danger !!)
    =raiz(i^2.i^2)=raiz(-1.-1)=… y ese creo q seria el problema.

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  14. que sucede cuando en un sistema de ecuaciones una de las filas se hace 0, es decir, que tanto la x como la y y la z se hacen 0

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  15. Buenas. El fallo está en el paso 2-3. sqrt(x*y) = sqrt(x) * sqrt(y) está definida para números positivos, por lo tanto, x e y tiene que pertenecer al conjunto R+ (reales positivos).

    Un saludo crack!

    PD: ^DiAmOnD^, también sería útil el editor de ecuaciones para los comments ;)

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  16. Vale, nos vamos acercando. El error está en la tercera igualdad, cuando pasamos de una raíz a dos raíces. El que más se ha acercado a la clave del problema es Alfonso Jiménez, pero el razonamiento no es exacto. Está claro que esa separación se puede hacer cuando los dos números son reales positivos, pero se puede hacer en más casos. Y si no lo creéis pensad lo siguiente:

    Cuando resolvemos una ecuación polinómica de segundo grado pueden aparecernos raíces cuadradas de números negativos. Si nos interesa saber explícitamente qué números complejos obtenemos separamos el -1 del número real positivo y luego separamos las raíces. Por ejemplo, si nos encontramos raíz de -4 ponemos eso como raíz de -1 multiplicado por raíz de 4, que es dos, y escribimos como resultado 2i. Esa operación esa bien hecha y -1 es negativo

    Algo falta. Si mañana por la noche no se ha dado la respuesta completa la pongo.

    Por cierto, Alfonso, ya me explicarás eso del editor de ecuaciones.

    Y por cierto: Apurado si al reducir en un sistema todos los coeficientes de una ecuación se hacen cero debes prescindir de ella y resolver el sistema con el resto de ecuaciones.

    Saludos :)

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  17. Mmmm bueno… dije reales positivos, nada de complejos.

    En la Wikipedia podemos encontrar las propiedades de las raíces cuadradas y en efecto viene estipulada la que comenté en mi comentario anterior.

    También viene lo que has comentado de las raíces cuadradas en los números imaginarios.

    Yo sigo diciendo que el error está en el paso 2-3 (la separación de las raíces) porque no está permitida esa operación (excepto números complejos?).

    Un saludo!

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  18. Pienso que el fallo está en el argumento del numero complejo. En principio, la determinacion principal es de [0,2pi), con especial hincapié en el “)”, de tal modo que al descomponer el numero 1 en (-1)(-1) estamos haciendo exp(ip)exp(ip)=exp(i(2p)), pero este valor (2p) no pertenece a la determinación principal, de tal modo que en realidad, esa sqrt(e(i2p))=sqrt(e(i*0))=1.
    Creo que es así…pero tampoco estoy en exceso seguro.

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  19. Tengo una duda de que no se puede separar
    sqrt(-2 · -3)

    segun las propiedades esto se puede escribir como

    sqrt (-(2x(-3)) = i sqrt (2x(-3)) = i x sqrt (-(3×2))
    ixi sqrt (2×3) = ixi sqrt(2×3) =
    ixi (sqrt(2)x sqrt(3)) = i x sqrt(2) x i sqrt(3) =
    sqrt(-2) x sqrt (-3).
    Creo que con estas lineas se puede ver que se puede dividir una raiz de numeros negativos.

    el problema creo que esta en la 3º igualdad y es que cuando separas asi (en dos numeros negativos) un numero positivo y divides en dos las raices la soluciones se cambien, lo que antes eras +/- sqrt ahora es -/+ sqrt ocurriria realmente con cualquiera de las raices sqrt (-2 x -2) que daria -2 por ese metodo

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  20. Alfonso sí, el error está en ese paso, y la razón va en la línea de lo que ha comentado xhaju justo después de tu último comentario. La clave está en el argumento. Mañana con más tiempo actualizo el post y lo explico.

    Paco cuando explique mañana el tema verás como la operación que has hecho tampoco podría hacerse.

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  21. Si, el asunto esta en que con complejos hay que tener cuidado con los exponentes asi en general la propiedad (x^a)^b=(x^b)^a=x^(a*b) no se cumple siempre en los complejos y en particular eso impide separar las racies tan alegremente. Si pasan todas las operaciones que aparecen en el post a la forma polar Y UTILIZANDO EL ARGUMENTO PRINCIPAL se ve claramente que la igualdad 3 no funciona

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  22. Desde el principio….”uno” no es igual a “la raiz de uno” ¬¬

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  23. la propiedad distributiva respecto al producto de la raiz cuadrada;

    sqrt(A) * sqrt(B) = sqrt(A*B) A,BeR

    vale, si A ó B almenos alguno es >0
    si ambos fueran

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  24. la propiedad distributiva respecto al producto de la raiz cuadrada; sqrt(A) * sqrt(B) = sqrt(A*B) A,BeR vale, si A ó B almenos alguno es >0 si ambos fueran

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  25. i^2 = -1
    (-i)^2 = -1
    entonces sqrt(-1) es i ó (-i)
    tenemos cuatro combinaciones posibles para sqrt(-1) * sqrt(-1)
    = i * i = i^2 = -1
    = i * (-i) = -(i^2) = +1
    = (-i) * (-1) = i^2 = -1
    = (-i) * i = -(i^2) = +1

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  26. sqrt(A) * sqrt(B) = sqrt(A*B) A,BeR
    vale, si A ó B almenos alguno es >0
    si ambos fueran

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  27. Efecto mariposa me has chafado la demostración grrrr :P. Esa es justamente la explicación. Como podréis ver el argumento del número complejo es esencial. En unos días la escribo bien en el post.

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  28. Es muy cierto lo que dice setantaset acerca del tema
    es que por si no lo sabian y como comento el compañero diamond las raices con n=1,2,… va a tener tantos resultados como la raiz q se este calculando ya q es segun una formula y en el caso particular de la raiz cuadrada da dos valores uno positivo y uno negativo x ello la raiz 1 partiendo de 1 va a dar -1 y 1

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  29. Yo había hecho la misma suposición sobre la igualdad 1 con -1 con respecto a los números complejos ,esto causó que mi profesor me dijera que yo “había cometido una aberración contra las matemáticas ” . Aún así yo ya sabía (más o menos) de antemano que en la parte final de la operación cancela la raiz con el cuadrado de -1 .

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  30. Veamos

    Z1 = a + bi
    Z2 = c + di

    Z = Z1.Z2 = (a.c – b.d) + (a.d + c.b)i +b.d(i^2)

    Cuando se dice: 1 = -1

    También se puede expresar 1 = (i^2)

    Osea:

    1 – (i^2) = 0

    Los que nos conduce a pensar que viene de un producto Z1.Z2 = 0

    Entonces:

    (a.c – b.d) + (a.d + c.b)(i) + b.d(i^2) = 1 – (i^2)

    Ahora igualando términos

    a.c – b.d = 1….(I)
    a.d + c.d = 0…(II)
    b.d = -1….(III)

    Resolviendo. (III) en (I)
    a.c + 1 = 1
    a.c = 0

    De la ecuación (II) multiplicando por a

    (a^2).d + a.c.d = 0
    (a^2).d + 0 = 0
    (a^2).d = 0

    Recordemos:
    b.d = -1
    a.c = 0
    (a^2).d = 0

    Donde por lógica a^2 = 0
    => (a = 0)

    Luego a.c = 0
    c = 0/a = 0 / 0 indeterminación

    Los que nos conduce a pensar que 1 = (i^2) o 1 = -1 no sea posible.

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