Los curiosos enteros gaussianos

Introducción

Un joven Gauss

Un joven Gauss

El conjunto \mathbb{Z}=\{ \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots \} de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto \mathbb{C}=\{ a+bi; \; a, b \in \mathbb{R} \} de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.

El conjunto de los enteros gaussianos

El conjunto al que nos referimos se denomina en la actualidad conjunto de los enteros gaussianos, se representa como \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack y su definición es la siguiente:

\mathbb{Z} \lbrack i \rbrack=\lbrace x+iy; \; x,y \in \mathbb{Z} \rbrace

Es decir, los enteros gaussianos son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.

Este conjunto de enteros gaussianos es un anillo con las operaciones suma y producto habituales en los números complejos. Por tanto es un subanillo de \mathbb{C}. De hecho es más: es un dominio de factorización única (DFU). Esto significa que la factorización de un entero gaussianos como producto de sus factores primos es única (salvo el orden de colocación de dichos factores). Eso no ocurre en todos los conjuntos de este tipo. Por ejemplo, el conjunto

\mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-5} \rbrack=\lbrace a+b \sqrt{-5}; \; a,b \in \mathbb{Z} \rbrace

es un anillo, pero no es un DFU, ya que hay elementos de dicho conjunto que tienen varias factorizaciones esencialmente distintas. Por ejemplo el 6:

6= 2 \cdot 3 y 6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

Y con esto entramos en uno de los temas que más interés puede suscitar en este conjunto de enteros gaussianos: todo lo referente a sus elementos primos, es decir, los primos gaussianos. Por ello les dedico un punto separado del resto.

Primos gaussianos

Comencemos con un ejemplo. En los números enteros el número 17 es primo, ya que sólo es divisible por 1 por él mismo. Pero en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack:

17=(1+4i)(1-4i)

Es decir, el número 17 tiene más divisores aparte del 1 y de él mismo, por lo que deja de ser primo si lo consideramos en el conjunto de los enteros gaussianos. Curioso, ¿verdad?

Pero eso no ocurre con todos los números primos de \mathbb{Z}. Por ejemplo, 7 es primo en \mathbb{Z} y también lo es en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack.

En este punto la pregunta está bastante clara:

¿Hay alguna forma de saber si un número primo en \mathbb{Z} sigue siéndolo también en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack?

Pues la respuesta es . Si p es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4n+1 entonces deja de ser primo en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack (este es el caso del 17), pero si es de la forma 4n+3 entonces sigue siendo primo en \mathbb{Z} \lbrack i \rbrack.

El 2 es un caso especial, ya que no cumple ninguna de esas dos descripciones. Entonces, ¿es un primo gaussiano? Pues no:

2=(1+i)(1-i)

En general, dejando aparte el caso del 2, un entero gaussiano x+iy es un primo gaussiano si y sólo si:

  1. O x o y es cero y el otro es un primo de \mathbb{Z} de la forma 4n+3 (o su negativo, -(4n+3)).
  2. Ambos son distintos de cero y x^2+y^2 es un primo de \mathbb{Z}.

Por tanto, 7 es un primo gaussiano (es 7+0 \cdot i y 7=4 \cdot 1+3) y 2+3i también lo es (ya que 2^2+3^2=13, que es primo en \mathbb{Z}), pero 17 no es un primo gaussiano.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más interesantes de estos enteros gaussianos la encontró el propio Gauss y se refiere a la ley de reciprocidad cuadrática, resultado que ya ha aparecido por este blog varias veces. Concretamente Gauss encontró que esta ley puede plantearse y demostrarse más fácilmente utilizando enteros gaussianos.


En Gaussian Integer de la Wikipedia inglesa podéis ver algún otro detalle interesante sobre los enteros gaussianos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. Dos cosillas:

    1) no veo los símbolos matemáticos. ¿Alguien sabe cómo hay que configurar el Firefox para que los muestre correctamente?

    2) creo que hay algo que no he entendido bien sobre el DFU: tal como yo lo veo, 17 se puede descomponer también como (4+i)(4-i), que no es lo mismo que dice el artículo. ¿Dónde está el error?

    Perdonad la brevedad pero estoy en el curro 😉

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  2. “Maq”

    1. el código latex es convertido por “http://www.codecogs.com”, de forma puntual puede no estar disponible, pero revisa que te carga bien las imágenes (el código latex es convertido a una imagen).

    2. yo no veo nada raro, precisamente el artículo dice que 17 tiene varios divisores, uno lo muestra el artículo, otro tú.

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  3. Maq, si un número p es primo, también son primos los números que resultan de múltiplicar p por un elemento invertible, que en en el caso de los enteros normales son {1, -1} y en el caso de los enteros gaussianos son {1, i, -1, -i}.

    Estos primos p, -p, ip. -ip se llaman asociados.

    Lo que el teorema de descomposición única dice es dadas dos descomposiciones de un número en primos, los primos de las 2 descomposiciones son iguales o asociados.

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  4. Debe ser problema de codecogs, el servicio que uso para mostrar las imágenes en LaTeX. Voy a cambiar momentáneamente de servicio a ver si funciona.

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  5. Arreglado…a medias. He vuelto a WordPress.com como servicio para generar las imágenes, pero al ser algo más restrictivo algunas de las que aparecen en otros artículos ahora son mostradas como errores. A ver si codecogs vuelve pronto, porque si no el trabajo para arreglarlas todas va a ser demasiado grande…

    ¿Alguien sabe si hay alguna forma de gestionarse uno mismo el tema de las imágenes LaTex?

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  6. “el número 17 tiene más divisores aparte del 1 y de él mismo, por lo que deja de ser primo (en el conjunto de los enteros gaussianos)”

    Esto pareciera dar a entender que “tener más divisores aparte del 1 y de él mismo” es la definición de número compuesto (no primo) en ese conjunto. Pero en realidad en ese caso (puesto que debemos considerar divisores complejos) también habría que incluir la unidad imaginaria (y las unidades negativas).

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  7. sí, quizás “el número 17 tiene más divisores aparte de las unidades de \mathbb{Z}\[i\] y de él mismo, por lo que deja de ser primo (en el conjunto de los enteros gaussianos)” sea más exacto, no?

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  8. Sí, cierto, pero quería que se viera bien el asunto sin entrar en demasiados formalismo en ese punto. No sé si he abusado demasiado de ello.

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  9. Para el tema de gestionarse uno mismo el asunto del \LaTeX, deberías poder instalarlo en tu servidor (bien por acceso SSH o pidiéndoselo amablemente a la empresa que te ofrezca el servicio).

    Lo demás, a un Google de distancia 🙂

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  10. Toro Sentado, puedes hacer el equivalente de la construcción de Cayley-Dickson sobre los reales

    reales – enteros
    complejos – gaussianos
    quaterniones – Lipschitz integers
    octoniones – ¿nombre?
    sedeniones – ¿nombre?

    Al igual que en la Cayley-Dickson real, pierdes primero la conmutatividad y luego la asociatividad (te quedas en potencia asociativo).

    En el caso entero, al perder conmutatividad pierdes la divisibilidad normal y pasas a tener ‘divisiones’ por la derecha y por la izaquierda, pero creo que no llegaba a ser división euclídea, no me acuerdo bien ahora.

    También tenemos los numeros hypercomplejos, que juntándolos con la construcción Cayley-Dickson salen cosas bastante raras.

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  11. Buenos días:

    Me gustaria saber como se pueden aplicar los números octoniones y cuaterniones en las ciencias contables

    Gracias por su colaboración.

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  12. me parece muy curioso. pero tengo una duda un poco elemental tal vez ustedes disculpen.

    De acuerdo al artículo los números primos de la forma 4k+3 siguen siendo primos tanto en los reales como en el cuerpo de los complejos. y si son los únicos que conservan esa propiedad no sería entonces trivial demostrar la conjetura de golbach ??? dado que la suma de un primo de la forma (4k+3)+(4j+3) resultaría un número par ? y esos serían los números primos de algún modo mas generales ?

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  13. Ramiro, pero eso no demuestra que todo número par puede expresarse de esa forma. Esa suma siempre da un número par, pero podría ser que algún número par no fuera el resultado de una suma de ese tipo.

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  14. Es verdad disculpen fue una pregunta sin sentido . gracias por tu amable respuesta

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  15. alguien sabe como demostrar que si p es un primo de la forma 4n+3 entonces no existe x tal que x^2=-1(mod p)

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    • susa, es un problema de paridad. Si fuese posible, el primo en cuestión sería la suma de un cuadrado par y otro cuadrado impar. El primero sería congruente con 0 mod 4 y el segundo sería congruente con 1 mod 4.

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  16. Para todo n > 1, existe un numero primo (p1) tal que:

    2n < p1 < 3n y otro primo (p2) tal que: 3n < p2 < 4n

    ejemplo:

    8 < 11 < 12

    12< 13 < 16

    Esto se conoce como la conjetura generalizada del postulado de Bertrand.

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