Los dos primos

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El problema semanal que no falte:

Encuentra todos los números naturales $n$ tales que tanto $n$ como $n^2+8$ son primos.

Ánimo, que no es difícil.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de April de 2009
Categorías: Juegos | Imprime este post

Sin comentarios

Trackback | 21 Apr, 2009

Bitacoras.com
Miguel | 21 de April de 2009 | 09:17

El primer número que cumplen esta regla es el n=3 lo que hace que el primer par de numeros sea 3 y 17. Lo he encontrado por enumeración pero creo no es el objetivo del problema resolverlo por enumeración. Seguiré buscando una demostración más elegantedel problema, aunque seguro que vosotros me podéis ayudar.
Ricardo | 21 de April de 2009 | 09:30

$n=3$ y $n^2+8=17$ es el único par de primos posibles de esta forma, ya que, si $n$ no es múltiplo de $3$ , entonces $3$ divide a $n^2 + 8 = n^2-1+9=(n-1)(n+1) + 9$ , ya que uno de $n-1$ ó $n+1$ debe ser múltiplo de 3.

Saludos.
otro | 21 de April de 2009 | 09:53

Para empezar, con $n=2$ , se obtiene 12, que es compuesto.
Además, para que $n^2+8$ , pueda ser primo, $n$ debe ser múltiplo de 3, de lo contrario es congruente con 1 o 2 módulo 3, $n^2$ es congruente con 1 y por tanto $n^2+8$ es múltiplo de 3.
La única solución es por tanto $n=3, n^2+8=17$ , ambos primos.
Àlex Llaó | 21 de April de 2009 | 10:14

static void Main(string[] args)
{
for (int i = 1; i 1)
{
for (int i = numero – 1; i > 1; i–)
{
if (numero % i == 0) return false;
}
return true;
}
else return false;
}
Àlex Llaó | 21 de April de 2009 | 10:15

static void Main(string[] args)
{
for (int i = 1; i 1)
{
for (int i = numero – 1; i > 1; i–)
{
if (numero % i == 0) return false;
}
return true;
}
else return false;
}
Àlex Llaó | 21 de April de 2009 | 10:16

No sé que pasa pero no va bién del todo el preview es2e de la web. Bueno, la solución:

static void Main(string[] args)
{
for (int i = 1; i < 10000000000; i++)
{
if (Prim(i) && Prim(i*i + 8))
{
Console.WriteLine(i+” compleix la condició.”);
}
}

Console.ReadLine();
}
Àlex Llaó | 21 de April de 2009 | 10:16

Segunda parte del código.

private static bool Prim(int numero)
{
if (numero > 1)
{
for (int i = numero – 1; i > 1; i–)
{
if (numero % i == 0) return false;
}
return true;
}
else return false;
}
Lek | 21 de April de 2009 | 12:00

Yo encontré el 3 rápidamente… pero no sabría decirte si había más… antes de ver los comentarios
icewar | 21 de April de 2009 | 16:34

Hasta el 150 hay estos:

n n^2 + 8

3 17
9 89
15 233
21 449
33 1097
51 2609
57 3257
81 6569
87 7577
111 12329
117 13697
123 15137
129 16649
135 18233
141 19889
147 21617
Jairo Gonzalez | 21 de April de 2009 | 17:24

Comprobe desde el 1 hasta el 100.000 y el único que cumple es el 3 que con la condición da 17, solo ese mada mas…

Adjunto el programa en C donde lo hice.

Saludos

#include
#include
#include

int primo(float n);

main()

{

int x,y;

long float cont=1.;

clrscr();

printf(“%s”,”COMPROBACION PROBLEMA DE GAUSSIANOS\n\n”);

while(cont=2;i–)
{
b=fmod(n,i);
if(b==0)
{
c=0;
return;
break;
}else
{
if(i==2)
{
c=1;
return (c);
}
}
}
}
otro | 21 de April de 2009 | 20:45

Los informáticos es que sois la leche… ¡pero si en este caso estaba cantado que había que razonar, no escribir un programa!

icewar: al principio pensé en eso, pero luego leí de nuevo el enunciado: n también tiene que ser primo. Si sólo se pide la primalidad de n²+8, hay muchísimos n que cumplen la condición, seguramente infinitos (¿no recuerda esto a la conjetura n²+1?).
David | 23 de April de 2009 | 09:51

Pues a mí los informáticos me dan una ternura insoportable, ahí con sus programitas, intentando arañar un trocito diferencial de infinito cuando la solución le ha llevado a Ricardo 3 líneas.
Omar-P | 23 de April de 2009 | 13:34

Es verdad que en este caso la solución informática no es la más elegante, sin embargo es conocido que para otros problemas resulta ser la mejor herramienta disponible. No hay que subestimar su valor ni los beneficios aportados al progreso de la ciencia y de la tecnología, entre otros campos, ni tampoco menospreciar el trabajo de quienes la utilizan.
otro | 23 de April de 2009 | 13:47

Tampoco hay que pasarse, porque a este paso planteas el problema de verificar si el número 11 es primo y en lugar de hacer una simple división entre 2 y otra entre 3 igual te montan un programa. Es cierto que la informática ha aportado muchos avances a la ciencia, pero, como en el caso del uso de calculadoras (he visto gente usarlas para multiplicar un número por 10), tampoco es necesario pasarse en su uso.
Jairo Gonzalez | 23 de April de 2009 | 15:34

Estoy totalmente de acuerdo con Omar, lo felicito por ese comentario, además para ser honestos la demostración de Ricardo no es demostración, son simples lineas escritas, el argumento de que (n+1) o (n-1) debe ser divisible por 3 no es valido ni claro tanto para los matématicos como para los informáticos.

La solución se consigue por cualquier via, ya sea una demostración netamente matématica o un programa de computador, aparte de eso hay soluciones, por ejemplo de series, de integrales, que solo se consigue llegar a una solución solo con un programa de computo.

Felicidades !!!!
Edu | 23 de April de 2009 | 21:28

Jairo estoy de acuerdo contigo respecto al comentario de Omar, pero no digas que el argumento de que (n-1) o (n+1) no es válido, ya que es una verdad como un templo: dados tres números naturales consecutivos, uno de ellos es divisible por tres, y como en este caso n es primo (y por tanto únicamente divisible por si mismo y la unidad), pues bien (n-1) o (n+1) debe ser divisible por 3.

Saludos.
Jairo Gonzalez | 23 de April de 2009 | 23:10

Gracias Edu por la aclaración, la verdad es que este intercamio de información lo que nos lleva es a aprender cada día un poco mas.

De nuevo Gracias
Edgar Marca | 28 de April de 2009 | 06:04

Para resolver ese problema usare el siguiente Lema.
$Lema$ : Todo numero primo $p \geq 6$ cumple la siguiente condición:
$p \equiv 1 (mod6)$ o $p \equiv -1 (mod6)$ .

En el problema como n es primo ( $n \geq 6$ ) entonces:
1 $caso$ : $n \equiv 1 (mod6)$
Entonces $n^{2} \equiv 1 (mod6)$ y $n^{2} + 8 \equiv 3 (mod 6)$ (Contradiccion con el Lema, porque $n^{2} + 8$ tiene que ser primo)

2 $caso$ : $n \equiv -1 (mod6)$
Entonces $n^{2} \equiv 1 (mod6)$ y $n^{2} + 8 \equiv 3 (mod 6)$ (Contradiccion con el Lema, porque $n^{2} + 8$ tiene que ser primo)

Con ello hemos demostrado que no existen primos de la forma $n$ y $n^{2}+8$ , cuando $n \geq 6$

Analicemos el caso $n=2,3,5$ primos menores 6.
Ahora no es difícil ver que el único valor que cumple la condición es 3.
Por lo tanto la única solución es $n = 3$
Luis Solórzano | 28 de April de 2009 | 18:32

Me parece muy buena la presentación de Ricardo, reforzada con la aclaración de Edu. Sin embargo, creo que para efectos didácticos (si se pretende compartir conocimiento), podría intentarse algo más elaborado. Yo tengo una demostración bastante más grande pero tengo limitaciones para el uso de latex, así que, si alguien tiene interés en conocerla podría escribirme a mi dirección de e-mail. Aprovecho para indicar que el uso del recurso informático es importante, ayuda a la intución. Yo llegué al resultado luego de hacer pruebas con una hoja electrónica e intuir que el único par que cumple las condiciones son 3 y 17.
Saludos a todos y todas
Britait | 3 de May de 2009 | 06:50

Me costo pillarlo, pero ya entendi la solucion de Ricardo (enhorabuena)

Pense que estaba usando ruffini o algo asi, pero ya vi que no es tan complejo, es solo un poco de razonamiento.
Agustín Morales | 4 de May de 2009 | 02:45

Como humilde informático bastante ajeno a la teoría de números voy a intentar sintetizar, a modo de ejercicio, lo que aquí se ha dicho ya, de la forma que yo veo más comprensible:

Proposición 1:

Dados tres números consecutivos (n-1), n, (n+1) uno de los tres ha de ser necesariamente 3 o múltiplo de 3.

En el problema que nos ocupa, podemos verificar que se cumple:

n^2 + 8 = n^2-1+9=(n-1)(n+1) + 9

Según la proposición 1, tenemos tres posibilidades:

Que (n-1) sea 3 o múltiplo de 3
Pero esto no puede ser puesto que en ese caso n^2 + 8 = n^2-1+9=(n-1)(n+1) + 9 sería multiplo de 3 y por tanto no sería primo como exige el problema

Que (n+1) sea 3 o multiplo de 3
No puede ser tampoco por las razones expuetas en el caso anterior.

Que n sea 3 o múltiplo de 3
n , no puede se mútiplo de 3 porque entonces no sería primo, pero si que puede ser 3.

Hasta aqui “solo” hemos demostrado que de haber alguna solución esta sería n=3;

Ahora debemos sustituir n en el polinomio n^2 + 8 ; Al sustituir vemos que el resultado es 17, primo.

Por tanto hay solución y es única; n=3