Los números complejos están “desordenados”
El cuerpo de los números complejos está formado por todos los números de la forma a + bi, siendo a y b números reales. La unidad imaginaria i tiene la siguiente propiedad:
i2 = -1
Cuando a = 0 el número complejo se denomina imaginario puro y cuando b = 0 nos aparecen todos los números reales. Es decir: el cuerpo de los números complejos es una extensión del cuerpo de los números reales, ya que los contiene a todos.
En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que
que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.
Vamos con el título del artículo: ¿qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como los números reales son un subconjunto de los números complejos querríamos que el orden que definiéramos funcionara también en los reales. Pensando un poco vemos que la única posibilidad coherente es definir en los números complejos el mismo orden que en los números reales. El problema es que eso es imposible, es decir, ese orden no funciona en el cuerpo de los números complejos. Veamos por qué:
Supongamos que definimos para todos los números complejos a + bi el orden que definimos antes para los números reales. Evidentemente tendrá que cumplir las mismas propiedades. Por ejemplo, deberá ser total, es decir, para cualesquiera dos números complejos se debe cumplir que uno de ellos debe ser menor o igual que el otro. Veamos qué pasa si tomamos i y 0:
-Supongamos que i es menor o igual que 0:
Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que i2 = -1 y que i·0 = 0 queda:
Lo cual es imposible.
-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:
Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:
Que como antes es absurdo.
Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida. Por eso el título del post:
Los números complejos están desordenados
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de Noviembre de 2006
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Categorías: Cálculo, Números complejos | 
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rober | 24 de Noviembre de 2006 | 19:19
Dices que una propiedad de la relación de orden es que al multiplicar por un negativo la relación cambia de sentido. Pero la existencia de números negativos que se comportan así en el producto ¿no es una consecuencia del orden -en los reales- y no una causa?
Se me ocurren formas de ordenar el “plano” de los complejos (ya sabéis, tomando la parte real en las abcisas y la imaginaria en las coordenadas etnemos algo semejante a un plano) que cumplirían lo propuesto. Por ejemplo: a+bi d entonces da igual la parte real a;c.
Gracias a que los reales TIENEN orden, usamos la parte real de los complejos y los ordenamos tranquilamente.
Otra cosa distinta es conseguir que la parte imaginaria “i” se comporte de tal modo que i*i = 1 y además entre a formar parte en el asunto de ordenar. Ahí efectivamente no podemos mezclarla con los reales porque ocurre lo que has dicho.
Pero nada nos impide ordenar cualquier conjunto de cosas (números o peras) como queramos.
mimetist | 24 de Noviembre de 2006 | 19:20
Qué nadie se lleve las manos a la cabeza… aún así hay orden.
“no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida.”, no es el de toda la vida, pero se puede crear un orden total dentro de los números complejos. (Se pueden crear muchos, de hecho).
Por ejemplo, puesto que los complejos se pueden representar como elementos de un plano podríamos considerar que un número es más pequeño cuando está más cerca del origen y los que están a la misma distancia (en la misma circunferencia) son más pequeños aquellos cuyo vector al origen forma un ángulo menor con el eje X ( valores de 0 a 2PI, circunferencia completa).
Juanbuffer | 24 de Noviembre de 2006 | 19:21
Creo recordar que este último orden al que se refiere rober es el llamado orden topológico, corregidme si me equivoco. Yo tengo un conjunto de cualquier cosa y puedo aplicarle un orden, que no tiene por qué ser definido por la relación
neok | 24 de Noviembre de 2006 | 19:21
Yo creo que Diamond no ha querido decir que no se puedan ordenar los números imaginarios, que por supuesto se pueden ordenar, lo que ha querido decir es que no se pueden ordenar de mayor a menor (o viceversa) como se hace con los números reales con la relación (mayor, menor, mayor igual o menor igual).
mimetist | 24 de Noviembre de 2006 | 19:22
Pues lo que dice neok, Diamond no dice que no se puedan ordenar, sino que no existe el orden “natural” que todos conocemos
rober | 24 de Noviembre de 2006 | 19:23
¿Funciona bien esto de los comentarios? porque se ha comido toda la definición del orden que había hecho.
Sospecho que al usar el signo “menor que” ha despachurrado el HTML. Os la pongo otra vez:
Sean X=a+bi e Y=c+di. X es menor que Y si y sólo si:
(b es menor que d)
ó
((b es igual a d) y (a es menor que c))
Como dice mimetist podemos hacer los órdenes que queramos, pero el que propone tiene el inconveniente de que no cumple la otra parte pedida: que los reales (parte imaginaria = 0) queden ordenados como el orden normal de los reales. El que to propongo hace todo lo pedido.
Juanbuffer: no sé si se llamará orden topológico o no, pero la relación (supongo que se te ha comido el comentario como a mí, je je) “menor que” sigue siendo necesaria. Lo que no es necesario es que signifique lo que conocemos por “menor que algo” en el mundo real (y en los reales, claro), pero necesitamos esa relación que es mejor nombrar como: X va antes que Y (en el orden propuesto)
Palafox | 24 de Noviembre de 2006 | 19:23
Una pregunta estúpida, ¿por qué un número negativo multiplicado por otro número negativo da como resultado un número necesariamente positivo?
Ellohir | 24 de Noviembre de 2006 | 19:24
¿Axioma matemático?
meneame.net | 24 de Noviembre de 2006 | 19:24
Los números complejos están “desordenados”
¿Qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como l…
Albert | 24 de Noviembre de 2006 | 19:25
En realidad las notaciones correctas creo que serian i = (0,1), 1 = (1,0) i 0 = (0,0) por lo qual las desigualdades que has dado en el articulo no tienen por que ser falsas, todo depende del orden que definas, pasa que por abuso de notacion escribes por ejemplo -1>=0 en lugar de (-1,0)>=(0,0) lo cual no parece tan contradictorio.
Saludos =)
rober | 24 de Noviembre de 2006 | 19:26
Ahí le has dao.
Pepiño | 24 de Noviembre de 2006 | 19:26
Palafox: supongo que es como la doble negación, que se anula.
Miguel | 24 de Noviembre de 2006 | 19:28
El artículo es correcto y su conclusión cierta. Pero el título es incorrecto, se pueden definir muchas relaciones de orden en el conjunto de los números complejos.
Ricardo | 24 de Noviembre de 2006 | 19:28
En si los numeros complejos se inventaron para darle solución a esa ecuación en principio tan absurda como es.
x2+1=0
Así que es si ya es un desorden.:D
Trackback | 25 Nov, 2006
Gaussianos » Los complejos nos dicen que 1=-1
Trackback | 13 Dic, 2006
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pau | 13 de Febrero de 2007 | 0:09
porfavor les solicito que las explicaciones sean mas claras puesto que a personas de primero de bachillerato les dejan tareas al respecto y uno sale mas enredado. o si no que si se puede realicen una pagina para que nosotros encontremos esto
gracias y de todos modos la informacion es buena
que les balla muy bien
mayra | 26 de Marzo de 2007 | 19:31
cuanto vale i ?
es verdad que i solo cambia el sentido ?
^DiAmOnD^ | 27 de Marzo de 2007 | 2:28
mayra i representa la raíz cuadrada de -1.
Respecto a lo de cambiar el sentido, concreta un poco tu pregunta porque no sé exactamente a qué te refieres.
Saludos
Trackback | 21 Abr, 2007
Algo sobre numeros, que cosa linda! « Juan Pablo Alesandri–BLOG
candido | 17 de Marzo de 2008 | 4:43
yo les recomendaria a todos ustedes que leyeran que significa un orden total y como es que surgen los numeros imaginarios por algunos dicen que i es la raiz cuadrada de -1 y eso no es cierto. el nuemro i es (0,1) y tiene la propiedad de que al elevarlo al cuadrado es (-1,0).