Los números complejos están “desordenados”

El cuerpo de los números complejos está formado por todos los números de la forma a + bi, siendo a y b números reales. La unidad imaginaria i tiene la siguiente propiedad:

i2 = -1

Cuando a = 0 el número complejo se denomina imaginario puro y cuando b = 0 nos aparecen todos los números reales. Es decir: el cuerpo de los números complejos es una extensión del cuerpo de los números reales, ya que los contiene a todos.

En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que

menor o igual

que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.

Vamos con el título del artículo: ¿qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como los números reales son un subconjunto de los números complejos querríamos que el orden que definiéramos funcionara también en los reales. Pensando un poco vemos que la única posibilidad coherente es definir en los números complejos el mismo orden que en los números reales. El problema es que eso es imposible, es decir, ese orden no funciona en el cuerpo de los números complejos. Veamos por qué:

Supongamos que definimos para todos los números complejos a + bi el orden que definimos antes para los números reales. Evidentemente tendrá que cumplir las mismas propiedades. Por ejemplo, deberá ser total, es decir, para cualesquiera dos números complejos se debe cumplir que uno de ellos debe ser menor o igual que el otro. Veamos qué pasa si tomamos i y 0:

-Supongamos que i es menor o igual que 0:

i menor igual que cero

Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que i2 = -1 y que i·0 = 0 queda:

-1 mayor que cero

Lo cual es imposible.

-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:

0 menor que i

Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:

0 menor que -1

Que como antes es absurdo.

Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida. Por eso el título del post:

Los números complejos están desordenados

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

25 Comentarios

  1. Dices que una propiedad de la relación de orden es que al multiplicar por un negativo la relación cambia de sentido. Pero la existencia de números negativos que se comportan así en el producto ¿no es una consecuencia del orden -en los reales- y no una causa?
    Se me ocurren formas de ordenar el “plano” de los complejos (ya sabéis, tomando la parte real en las abcisas y la imaginaria en las coordenadas etnemos algo semejante a un plano) que cumplirían lo propuesto. Por ejemplo: a+bi d entonces da igual la parte real a;c.

    Gracias a que los reales TIENEN orden, usamos la parte real de los complejos y los ordenamos tranquilamente.

    Otra cosa distinta es conseguir que la parte imaginaria “i” se comporte de tal modo que i*i = 1 y además entre a formar parte en el asunto de ordenar. Ahí efectivamente no podemos mezclarla con los reales porque ocurre lo que has dicho.

    Pero nada nos impide ordenar cualquier conjunto de cosas (números o peras) como queramos.

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  2. Qué nadie se lleve las manos a la cabeza… aún así hay orden.

    “no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida.”, no es el de toda la vida, pero se puede crear un orden total dentro de los números complejos. (Se pueden crear muchos, de hecho).

    Por ejemplo, puesto que los complejos se pueden representar como elementos de un plano podríamos considerar que un número es más pequeño cuando está más cerca del origen y los que están a la misma distancia (en la misma circunferencia) son más pequeños aquellos cuyo vector al origen forma un ángulo menor con el eje X ( valores de 0 a 2PI, circunferencia completa).

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  3. Creo recordar que este último orden al que se refiere rober es el llamado orden topológico, corregidme si me equivoco. Yo tengo un conjunto de cualquier cosa y puedo aplicarle un orden, que no tiene por qué ser definido por la relación

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  4. Yo creo que Diamond no ha querido decir que no se puedan ordenar los números imaginarios, que por supuesto se pueden ordenar, lo que ha querido decir es que no se pueden ordenar de mayor a menor (o viceversa) como se hace con los números reales con la relación (mayor, menor, mayor igual o menor igual).

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  5. Pues lo que dice neok, Diamond no dice que no se puedan ordenar, sino que no existe el orden “natural” que todos conocemos 🙂

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  6. ¿Funciona bien esto de los comentarios? porque se ha comido toda la definición del orden que había hecho.
    Sospecho que al usar el signo “menor que” ha despachurrado el HTML. Os la pongo otra vez:

    Sean X=a+bi e Y=c+di. X es menor que Y si y sólo si:
    (b es menor que d)
    ó
    ((b es igual a d) y (a es menor que c))

    Como dice mimetist podemos hacer los órdenes que queramos, pero el que propone tiene el inconveniente de que no cumple la otra parte pedida: que los reales (parte imaginaria = 0) queden ordenados como el orden normal de los reales. El que to propongo hace todo lo pedido.

    Juanbuffer: no sé si se llamará orden topológico o no, pero la relación (supongo que se te ha comido el comentario como a mí, je je) “menor que” sigue siendo necesaria. Lo que no es necesario es que signifique lo que conocemos por “menor que algo” en el mundo real (y en los reales, claro), pero necesitamos esa relación que es mejor nombrar como: X va antes que Y (en el orden propuesto)

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  7. Una pregunta estúpida, ¿por qué un número negativo multiplicado por otro número negativo da como resultado un número necesariamente positivo?

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  8. Los números complejos están “desordenados”

    ¿Qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como l…

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  9. En realidad las notaciones correctas creo que serian i = (0,1), 1 = (1,0) i 0 = (0,0) por lo qual las desigualdades que has dado en el articulo no tienen por que ser falsas, todo depende del orden que definas, pasa que por abuso de notacion escribes por ejemplo -1>=0 en lugar de (-1,0)>=(0,0) lo cual no parece tan contradictorio.

    Saludos =)

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  10. Palafox: supongo que es como la doble negación, que se anula.

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  11. El artículo es correcto y su conclusión cierta. Pero el título es incorrecto, se pueden definir muchas relaciones de orden en el conjunto de los números complejos.

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  12. En si los numeros complejos se inventaron para darle solución a esa ecuación en principio tan absurda como es.

    x2+1=0

    Así que es si ya es un desorden.:D

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  13. porfavor les solicito que las explicaciones sean mas claras puesto que a personas de primero de bachillerato les dejan tareas al respecto y uno sale mas enredado. o si no que si se puede realicen una pagina para que nosotros encontremos esto

    gracias y de todos modos la informacion es buena

    que les balla muy bien

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  14. mayra i representa la raíz cuadrada de -1.

    Respecto a lo de cambiar el sentido, concreta un poco tu pregunta porque no sé exactamente a qué te refieres.

    Saludos 🙂

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  15. OTRA PRUEBA
    En C es osible definir diversas relaciones de orden total sin embargo, estas nunca son compatibles con las operaciones algebraicas de C.
    En efecto, supongamos que “≤” es una relación de orden total en C, si fuese compatible con las operaciones , dado z∈C, z≠0, seria (igual que se demuestra para números reales) z2>0, en particular -1=i2>0.
    La demostración estaria terminada si hubiéramos exigido que≤ fuera una extensión del orden de R.
    De no ser así hay que seguir:
    De -1>0 se sigue que -1+1>0+1 es decir 0>1
    Y de (-1)2>0, se sigue qye 1>0
    Así pues 0>1 y 1>0, lo cual es absurdo.

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  16. NO PODEMOS DECIR QUE ESTO SEA UNA CONTRADICCION..(-1,0)>=(0,0)..NO SABEMOS SI EN LOS COMPLEJOS ES UNA CONTRADICCION… PORQUE ESTÁ MAL PENSAR EN (-1,0) COMO UN Nº COMPLEJO..BIEN PODRÍA SER (-1,0) € R^2 ?????? O NO?

    PORQUE DECIMOS QUE (-1,0)>=(0,0) ES UN ABSURDO EN C?? NO SABEMOS CUAL ES EL ORDEN DE C!!!!

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  17. En C o en R^2, se pueden definir relaciones de orden total por ejemplo el orden lexicográfico. Buscalo en Internet. Incluso hay más aparte del lexicográfico.

    Ciñámonos a C que es quien nos importa por ser cuerpo, más arriba aseguré que si “≤” es una relación de orden total en C y suponemos que es compatible con las operaciones algebraicas de C se demuestra que -1=i^2>0. Si exigimos que “≤” sea una prolongación del orden de R esto es ya una contradicción.
    Ahora bien, supongamos que no exigimos que “≤” sea una prolongación del orden de R, entonces -1>0 no es una contradicción. pero continuemos, -1>0 implica que -1+1>0+1, es decir, 0>1.
    Y de 1=(-1)^2>0, se sigue que 1>0.
    Asi pues tenemos que 0<1<0 y esto es absurdo.

    En consecuencia sea quien sea el orden definido en C si el orden es compatible con las operaciones de C llegamos a un absurdo, luego tal orden no existe.

    Y si un orden definido en C no es compatible con las operaciones algebraicas de C no nos interesa matemáticamente para nada.

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  18. Los numeros complejos pueden ser ordenados bajo el orden lexicografico

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  19. alejandro, echa un ojo al post y los comentarios, así te quedará claro el sentido que lleva el artículo :).

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  20. Una relación de orden total en un conjunto es una relación binaria cumpliendo las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total. Como se comenta arriba (mimetist), se pueden definir relaciones de este tipo en C.

    Si en ese conjunto hay definidas dos operaciones (suma y producto) de manera que el conjunto sea un anillo (o cuerpo) y las operaciones respetan la relación de orden (una desigualdad se mantiene si, a ambos miembros, sumamos un elemento o multiplicamos por un elemento positivo) decimos que el anillo (o cuerpo) está totalmente ordenado. Sólo en estos casos se puede demostrar que el cuadrado de cualquier número es positivo.

    Como ha demostrado arriba Miguel Paredes, no existe una relación de orden en C que sea respetada por las operaciones, por lo que C no es un cuerpo totalmente ordenado (aunque sí es un cuerpo con una relación de orden total).

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  21. Para mi si tienen un orden lógico… les dejo un “imaginario” del hecho…

    Por ejemplo si trabajamos combinatoria de ambas propiedades del conjunto de los reales y los complejos, una de las posibilidades que se podría observar es que:

    (a+bi)+(a+bi)= 2a+2bi
    Si esto creará una sucesión infinita
    (a+bi) + [(a+1)+(bi+1i)]= {[a+(a+1)]+[bi+(bi+1i)]}

    Éste orden se determina entre reales positivo y complejos positivos..
    Podría constituirse un parámetro en una perspectiva de tabla de valores determinados por ambos campos que señale parámetros se orden.

    Si existen los números complejos, porque no podemos imaginar que para todo número del mismo exista un orden que satisfaga nuestros sueños de creer en ellos..

    Hay un orden para todo, y todos los números.. pero la pregunta es ésta.. ¿ quién poseerá la sabiduría divina de poder concretar dicho cuestionamiento?

    Atte Lorenzo, Hugo

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  22. También

    Con n perteneciente a los reales

    (a+bi)+ [(a+(n+1)+(bi+(n+1)i]=
    {[a+(a+(n+1)]+[bi+(bi+(n+1)i]}

    Otra manera de observarlo..

    Atte Lorenzo, Hugo

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