A= \sum_{n=1}^{\infinity} {1 \over 2^n + 1}

y es una serie convergente con suma igual a:
A= {pi \over 2}*{pi e^(2*pi)+1 \over pi*e^(2*pi) – 1} – {1\over 2}

sorry no se escrivir con esto espero que os podais hacer a la idea de lo que digo

De todas formas, la visualización de la distribución de los unos y los ceros en cada columna me recuerda a algo. Quizá algo relacionado con los árboles de búsqueda dicotómicos, no sé, algo por el estilo.

Pero a lo único que llego es que en cada columna decimal “c” (¿no debería decirse “binarial” o algo así?) los valores del sumando n>=c son cero. Para 1<n<c dependen de la paridad de la parte entera de (c-1)/n.

Es decir: la suma de unos de cada columna será la cantidad de números pares |(c-1)/n| desde 1 hasta c-1.

Pero no sé como formularlo. Y luego aún habría que sumar todas las columnas y ver si se puede simplificar.

http://gaussianos.com/los-numeros-de-catalan/#comment-33308

pero sigue saliendo una serie difícil de sumar.

0,010101010101… = 1 / (2^1 + 1)
0,001100110011… = 1 / (2^2 + 1)
0,000111000111… = 1 / (2^3 + 1)
0,000011110000… = 1 / (2^4 + 1)
0,000001111100… = 1 / (2^5 + 1)
0,000000111111… = 1 / (2^6 + 1)
0,000000011111… = 1 / (2^7 + 1)
0,000000001111… = 1 / (2^8 + 1)
0,000000000111… = 1 / (2^9 + 1)
0,000000000011… = 1 / (2^10 + 1)
0,000000000001… = 1 / (2^11+ 1)
…

Es decir, un periodo de “n” ceros seguidos de “n” unos. Se puede demostrar en cada sumando viendo que si lo multiplicamos por 2^n los unos y ceros quedan “intercalados”. Sumando ambos queda 0,1111… (un periodo de 1) lo que vale 1. Es decir que:

1/(2^n+1) + 2^n / (2^n+1) tiene que valer 1, que lo vale.

¿De qué nos sirve eso? pues ahora hay que sumar cada columna decimal. Como cada sumando añade un cero, la suma de cada columna es finita. Se ve fácilmente que la primera (1/2) vale cero y que la segunda (1/2^2) vale 1, etc. Pero hay que encontrar el término general.

Si el término general es f(n), la suma final es:

1/2^1*f(1) + 1/2^2*f(2) + 1/2^3*f(3) …

Pero no me sale el término general f(n). Si “es majo y se deja” quizá se saque algo de eso.