Los números de Munchausen

Hoy os voy a hablar de un tipo de números curioso, tanto por la propiedad que cumplen como la cantidad de los mismos que podemos encontrar. Son los números de Munchausen.

¿Qué es un número de Munchausen?

Vamos a comenzar definiendo este tipo de números. Sea b un número natural que representará lo sucesivo una base de numeración (por tanto b \ge 2). Entonces, dado un numero natural n, su representación en base b es de la siguiente forma:

n =c_0 +c_1 b+c_2 b^2+ \ldots +c_{m-1} b^{m-1}=\displaystyle{\sum_{i=0}^{m-1} c_i b^i}

para cierto coeficientes c_i todos, evidentemente, menores que b.

Para un número natural n como el descrito antes definimos lo siguiente:

\theta _b(n)=c_0^{c_0}+c_1^{c_1}+ \ldots + c_{m-1}^{c_{m-1}}=\displaystyle{\sum_{i=0}^{m-1} c_i^{c_i}}

En este punto surge una pregunta: ¿qué ocurre si alguno de los coeficientes es cero? Obtendríamos un término 0^0 en la expresión de \theta _b(n). ¿Qué hacemos en este caso? Pues tomar 0^0=1, que ya sabemos que es la manera más razonable de definirlo.

Bien, ya tenemos todo lo que necesitamos para presentar a este tipo de número:

Diremos que un número natural n es un número de Munchausen en una base b si n=\theta _b(n), esto es, tal número n es igual a la suma de los coeficientes de su representación en base b elevados a ellos mismos, o lo que es lo mismo:

n=c_0^{c_0}+c_1^{c_1}+ \ldots + c_{m-1}^{c_{m-1}}=\displaystyle{\sum_{i=0}^{m-1} c_i^{c_i}}

Parece que la curiosa denominación de este tipo de números proviene del Barón de Munchausen, personaje a caballo entre la realidad y la ficción que poseía la capacidad de elevarse a si mismo.

¿Cuántos números de Munchausen existen?


Cuando nos encontramos un cierto tipo de números con propiedades curiosas o interesantes es casi obligatorio preguntarse con qué frecuencia podemos toparnos con uno de ellos. Un ejemplo típico de esto son los números perfectos en base 10, es decir, números que son iguales a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número). Para este tipo de números no se tiene respuesta a esta pregunta, es decir, no se sabe si hay infinitos números perfectos o si por el contrario sólo podemos encontrar una cantidad concreta de ellos.

Para los números de Munchausen sí hay respuesta a esta pregunta:

Para cualquier base b, existe una cantidad finita de número de Munchausen.

Concretando en base 10 sólo podemos encontrar dos números de Munchausen, el 1, ya que 1^1=1, y el 3435, ya que:

3435=3^3+4^4+3^3+5^5

Para otras bases no hay muchos más. La lista para 2 \le b \le 10 es la siguiente:

  • Base 2: 1,2
  • Base 3: 1,5,8
  • Base 4: 1,29,55
  • Base 5: 1
  • Base 6: 1,3164,3416
  • Base 7: 1,3665
  • Base 8: 1
  • Base 9: 1,28,96446,923362
  • Base 10 : 1,3435

La demostración de este hecho (la cantidad de números de Munchausen es finita para cualquier base b) la podéis encontrar en el pdf enlazado al final de esta entrada.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. He aquí un sencillo generador de números de Munchausen:

    El número “a1” pertenece al conjunto para cualquier valor de a>2.

    Basta comprobar que en base n podemos expresar lo siguiente: a^a + 1 = a x n + 1, de donde n = a^(a-1).

    Así que para a = 3 la base sería 3^2 = 9, para a = 4 la base sería 4^3 = 64 y así sucesivamente.

    Aunque está limitado para cada base, el conjunto de números de Munchausen es infinito.

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  2. Porqué se dice que son números de Munchausen ‘96446’ ó ‘923362’ en base 9 ( ó tambien ‘2’ en base 2 ) cuando esos números no tienen sentido ??
    ( segun la notacion del enunciado ha de ser c_i < b y aqui no se cumple !! )

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  3. vale, creo que lo he pillado.
    Acaso los nuemros que se citan están ya ‘traducidos’ a base 10 ??

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  4. vale en el PDF se va que así es
    perdon por los comentarios estupidos…
    y muy buen artículo !!

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  5. En la prueba que se da en pdf creo haber visto un error. En el segundo lema, cuando escribe la desigualdad \frac{n}{log_b(n)+1}>\frac{2b^b}{b\cdot log_b(b) + log_b(2) +1} parte de que n>2b^b pero esto implica que log_b(n)+1>b\cdot log_b(b) + log_b(2) + 1\Rightarrow \frac{1}{b\cdot log_b(n)+1}. Pero si a es menor que b y ademas c es mayor que d entonces ni a\cdot c > b \cdot d ni a \cdot c < b \cdot d, sencillamente hay que buscar otra vía. No se si llevo razón corríjanme si me equivoco.

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    • no me ha dejado corregirlo me ha faltado que \frac{1}{log_b(n)+1}<\frac{1}{b\cdot log_b(b)+log_b(2)+1}. Esto va donde está \Rightarrow que se ve se me ha ido o algo

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      • Jose, pero los numeradores de la expresión que aparece en el pdf no son ambos 1. Mira justo lo anterior, lo de que la función

        x \rightarrow \cfrac{x}{log_b(x)}

        es estrictamente creciente si x > e.

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