Los radares de Lagrange

Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange

El conocido como teorema del valor medio o teorema de Lagrange (bueno, en realidad uno de ellos, ya que hay varios que llevan el nombre de Lagrange) es un resultado debido al matemático francés italiano Joseph Louis Lagrange que se estudia tanto en bachillerato como en la universidad. La versión del mismo para funciones reales de una variable real dice lo siguiente:

Teorema: (de Lagrange o del valor medio)

Dada una función f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], si esa función es continua es dicho intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c de este intervalo abierto tal que:

f'(c)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

esto es, si una función es continua en un intervalo cerrado y derivable en el correspondiente intervalo abierto entonces existe al menos un punto donde la derivada de la función es igual a la variación media de la misma. Parece difícil, pero veremos que no lo es tanto.

Bien, ¿cómo se puede aplicar esto a la vida real? Posiblemente haya más aplicaciones, pero hoy vamos a ver una que puede provocar que nos llevemos una multa que en principio no nos esperamos.

Los radares de Lagrange

Radar fijo

Radar fijo

Supongamos que colocamos en una autovía dos radares con una separación entre ellos de 5 kilómetros. Cada uno de ellos identifica cada coche que pasa a su altura y detecta su velocidad, registrando la hora exacta en la que cada coche entra en ese tramo de 5 kilómetros (mediante el primer radar) y la hora en la que sale de él (mediante el segundo).

Supongamos ahora que nosotros viajamos en un coche que entra en ese tramo de carretera (donde la velocidad máxima permitida es 120 km/h) a las 12 horas, 38 minutos y 41 segundos a una velocidad de 110 km/h y sale del mismo a las 12 horas, 41 minutos y 5 segundos también a una velocidad de 90 km/h. En principio las mediciones de los radares indican que en los dos puntos circulamos a velocidad permitida tanto en el comienzo del tramo como en el final, pero ¿qué ocurre entre esos dos puntos? Pues muy sencillo:

Hemos tardado 2 minutos y 24 segundos en recorrer esos 5 kilómetros, por lo que nuestra velocidad media en este tramo ha sido 125 km/h.

Pongamos ahora nombre a las cosas. Tomemos como variable el tiempo y como intervalo el que va desde el instante temporal en el que pasamos por el primer radar hasta el instante temporal en el que pasamos por el segundo. Consideremos ahora como función f(x) del teorema de Lagrange la función posición de nuestro coche, por lo que su derivada es la velocidad de nuestro coche. Esta función posición es continua respecto de la variable tiempo (ya que no podemos pasar de un punto a otro sin pasar por todos los puntos intermedios) y derivable (ya que los cambios de velocidad no son bruscos, sino progresivos).

Bien, pues partiendo de la posición de nuestro coche es una función continua y derivable en dicho intervalo temporal, el teorema de Lagrange asegura que hay algún instante de tiempo en el que nuestra velocidad ha sido exactamente la velocidad media del tramo, esto es, el teorema de Lagrange asegura que en algún momento hemos alcanzado exactamente esa velocidad de 125 km/h. Esto significa que aunque ninguno de los radares haya detectado que hemos rebasado la velocidad máxima permitida (120 km/h) el teorema de Lagrange asegura que sí lo hemos hecho, por lo que nos podrían multar con todas las de la ley.

Me suena que en España se usan este tipo de mediciones, pero ahora mismo no lo sé con seguridad. ¿Alguien lo sabe?

En el caso de que no se utilicen podrían ser una buena medida, ya que evitaría lo típico de frenar cuando llego al radar, acelerar cuando lo he pasado (y poner el coche a la velocidad que me plazca) para volver a frenar cuando llego al siguiente. Ahora, a ver quién es el guapo que le explica al conductor que le han puesto una multa enseñándole las mediciones de 110 km/h y 90 km/h que marcan los radares…

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. Creo que el ejemplo es inadecuado pues no se necesita cálculo para saber si se ha excedido o no el límite de velocidad, sólo un poco de aritmética y sentido común:

    5 km a una velocidad de 120 km/h se recorren en 2 minutos con 30 segundos. Si lo recorres en menos tiempo es porque ibas a mas de 120 km/h.

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  2. Al ejemplo de aplicación de dicho teorema ya lo conocía, pero nunca había pensado realmente en su aplicación, creo que es una buena idea..
    Puede que sea un problema tan sólo de sentido común, pero aún así no deja de ser interesante el alcance del TVM.. Con su aplicación directa se da respuesta al problema y eso de por si ya resulta increíble.

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  3. Tal vez me equivoque, pero creo que en España aún no se usan este tipo de dispositivos. Parece ser que hay varios ya instalados y funcionando en pruebas, pero que aún falta actualizar la legislación para que puedan utilizarse para poner multas (vamos, que no es un problema técnico, sino legal).
    También me gustaría puntualizar que estos dispositivos no son, estrictamente hablando, “radares”, ya que no hacen un barrido electromagnético para detectar blancos. En realidad, el dispositivo es mucho más simple (¡y barato!) que un radar, ya que basta con un detector de movimiento, una cámara de fotos, un software identificador de matrículas y el software propiamente dicho de cálculo de la velocidad media.
    Por otra parte, y como dice niko54, puede parecer un problema de sentido común: si en recorrer el tramo a la velocidad máxima permitida se tarda un tiempo T, se puede garantizar que si un vehículo tarda un tiempo menor, en algún momento habrá superado dicha velocidad y, por tanto, debe ser multado. Ahora bien, esto que es “de sentido común”, necesita una demostración formal y rigurosa, que es, precisamente, el Teorema del valor medio de Lagrange.

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  4. Pues me da la impresión que con los datos que has dado podemos saber algo más interesante: acotar por abajo la máxma velocidad a la que ha ido en ese tramo (y no tiene por qué ser 120 km/h)

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  5. En el túnel de Vielha, en el acceso al Valle de Arán por la N-230, cerca de mi pueblo dicho sea de paso, El Pont de Suert, 😉 creo que ya funciona un radar de este tipo. Se le llama radar de tramo y lo que mide es la velocidad media a la que cruzas el tunel de más de 5 km de longitud (creo que la velocidad máxima es 80 km/h). Evidentemente, si te pasas: ñasca!!!

    Bajo mi punto de vista es un error por que puedes entrar a 79km/h, te pones a 250 km/h durante 1 km y luego te pones a 30 km/h el resto del trayecto. No te multan, pero desde luego durante todo el trayecto has sido un peligro.

    Ah, y creo que lo hacen siempre por nuestra seguridad. Sin ningún afán recaudador. Por supuestisisisisimo.

    Si invirtieran más en educar y menos en sancionar…

    Saludos.

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  6. Cierto Johan, era italiano, fallo mío. Ya está cambiado. Gracias por el aviso.

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  7. ramnic y jjagmath mencionan dos aspectos muy importantes. Pese a que el teorema del valor medio tiene gran importancia, en este caso jjagmath hace bien en mencionar que no es necesario el cálculo para saber lo obtenido. ramnic menciona otro aspecto importante en el cual se sobre pasa el limite, pero el promedio es menor q el limite de velocidad y esto es por que el teorema no considera que se ontendrá el máximo.

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  8. Lagrange era italofrancés….. y leean bien e informense, para ese que puso “Wikipedia” (buscate referencia con validez)…. y otra si escogiste “Wikipedia” lee bien lo que dice en su nacionalidad en la parte del recuadro que viene debajo de la fotografía:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

    Y porfavor vi tu link y está en español, las traducciones son malas…

    Por el momento es todo.

    Cuidense y muy buena la publicación…

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  9. “En el caso de que no se utilicen podrían ser una buena medida, ya que evitaría lo típico de frenar cuando llego al radar, acelerar cuando lo he pasado (y poner el coche a la velocidad que me plazca) para volver a frenar cuando llego al siguiente.”

    Precisamente la principal objeción sería la de que algunos conductores podríanfrenar aún más bruscamente delo que lo hacían antes al descubrir que llegaba el segundo radar y su velocidad media está por encima de lo permitido.

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  10. A ver, nadie ha dicho que el método sea perfecto, de hecho no lo es ya que, como habéis comentado, si la velocidad media del tramo es menor que la máxima permitida no hay forma de saber si el coche ha superado dicha velocidad máxima o no. Lo que sí es cierto es que mejora el método que utiliza un único radar.

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  11. Cabe apuntar que se permiten 20 km/h más para efectuar un adelantamiento (excepto en autopistas, que la velodidad máxima es 120 mk/h siempre, y en túneles que está prohibido adelantar) por lo que igual la medida fuera de estos tramos seria errónea si hemos efectuado algun adelantamiento.

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  12. No tengo muy claro que eso sea cierto ahora, tenía entendido que esa medida ya no se aplicaba. De todas formas, si eso es cierto evidentemente no se podría aplicar este tipo de mediciones en ese tipo de carreteras.

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  13. Resumiendo, que lo más fácil es tener a un guardia civil detras de cada coche, y cuando se pase, ZAS!

    Efectivo 100%

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  14. Ja, ja, … igual salía un poco caro mantener tanto guardia ¿no?. Además, no GonzaloOrellana es fiable 100%.

    Teniendo en cuenta que el velocímetro de los coches sostiene un margen de error (por lo que cuentan mayor del que creeríamos) y que los radares también tienen su margen de error, puede darse el caso curioso en que:

    1. el conductor crea que va más rápido de lo permitido.
    2. el conductor va dentro de la velocidad permitida.
    3. el radar crea que va más rápido de lo permitido.

    Multa al canto y sin embargo… ¡no superaba la velocidad permitida!.

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  15. para gaussianos:

    Me ha costado mucho encontrarlo, porque lo recordaba de cuando me saqué el carnet y de eso hace ya más de 10 años, pero aqui está la norma (sacado de la DGT):

    CAPÍTULO II · Velocidad · SECCIÓN 1ª.
    Límites de velocidad

    Artículo 51.Velocidades máximas en adelantamientos.

    1. Las velocidades máximas fijadas para las carreteras convencionales que no discurran por suelo urbano sólo podrán ser rebasadas en 20 kilómetros por hora por turismos y motocicletas cuando adelanten a otros vehículos que circulen a velocidad inferior a aquéllas.

    También me gusta recordar, saliendo un poco por la tangente, que los agentes de tráfico no ponen multas (sanciones) si no “sólo” denuncias.

    Y, que me olvidé en el anterior comentario: Me encanta este blog, hace que trabajen las pocas neuronas que tengo.

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  16. Simplemente comentar que hoy en día tenemos al alcance de la mano un sistema bastante mejor que los radares y las multas.
    Todos los vehiculos llevan una centralita digital regulando las principales funciones del motor. No costaría nada ponerle un receptor. Y que las señales limitadoras de velocidad emitieran una señal de radio indicando cual es la velocidad máxima permitida en su tramo.
    De esta forma, cada vehiculo se autolimitaria automáticamente a dicha velocidad.

    (Antes de que me lo repliqueis…… sí, ya sé que es viable “técnicamente” , 🙂 …. pero que no lo es “sociológicamente” 🙁

    Por cierto, muy buenos estos comentarios sobre la utilidad de las matemáticas en nuestro día a día. Nunca se me habría ocurrido que el teorema de Lagrange pudiera justificar una multa de tráfico.!?!

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  17. @Benzirpi, eso es peligrosísimo, supón que un conductor estima que puede realizar un adelantamiento en una vía con doble sentido… ¡y en mitad del mismo no puede acelerar más!… ¡paf!

    El control del vehículo debe tenerlo siempre el conductor (yo tengo limitador y regulador ¡pero los pongo y quito cuando quiero/necesito!).

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  18. Se nos olvida un pequeño detalle: se trata de limitar la velocidad máxima. Y se hace en función de la señalética, (estás avisado de antemano). Realmente, lo único que se hace con ese sistema es intentar obligar a cumplir lo que deberías cumplir voluntariamente. (Aunque ahí reside también su mayor fallo: “no se puede intentar proteger a alguien de sí mismo”.)

    En el caso comentado de estimar que puedes realizar un adelantamiento y no poderlo completar por la limitación automática. Actualmente, sin limitaciones, ¿qué pasa si te encuentras cualquier otro imprevisto (por ejemplo un bache grande o un charco de aceite?…… también ¡paf!

    Lo que se trata es de intentar que, al estimar el adelantamiento, tengamos siempre en cuenta la limitación que sí o sí se va a producir. Con lo cual mejoramos la seguridad, al eliminar un factor de si o no si……

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  19. “Se nos olvida un pequeño detalle…”

    No, al menos a mí, ¿tú eres conductor?, porque lo que dices no tiene mucho sentido…

    “¿qué pasa si te encuentras…”

    Pues si tienes el control, dependerá de ti mismo, y si has pasado los controles (examen, revisión médica, itv, …) estás capacitado para afrontar un gran número de situaciones (no todas, obviamente), al menos, muchísimo mejor que un criterio completamente acontextual, que no puede evaluar un sinfín de situaciones en las que es cuestión de vida o muerte hacer cosas “anormales”.

    Por ejemplo (y no repliques el ejemplo en sí, porque podemos estar poniendo ejemplos toda la vida). Supón que vas por un puente muy largo (da igual como de largo) y por lo que sea el puente empieza a ser inestable (vídeos habremos visto todos a patadas) ¿como crees que se le queda la cara al conductor cuando no puede pasar de X km/h para salir lo antes posible del puente y tiene que soportar (cual espada de Damocles) el tambaleo del puente?.

    En fin, que lo que no se puede hacer, es establecer medidas que limitan la capacidad de decisión en situaciones críticas a un conductor. Al menos y en tanto en cuanto, dicha medida no pueda contemplar tantas como pueda una persona (aun falta un poco para eso…).

    Y de los: locos, inconscientes, suicidas, chulillos, impacientes, etc… pues que le vamos a hacer, ahora por lo menos es ilegal conducir sin carnet (antes no lo era).

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  20. En mi opinión, yo veo aquí dos problemas:

    Primero, meter una señal de radar dentro de un tunel seguramente no es viable físicamente por que las reflexiones de la señal saturarían cualquier receptor.

    Segundo, desde el punto de vista legal, no se te puede multar “porque obviamente se ha superado la velocidad máxima permitida en ese tramo” al tardar menos tiempo de lo que se tardaría desplazándose a la velocidad máxima. Se necesita saber en cuanto se ha superado para aplicarte una multa más o menos cuantiosa en relación a la falta cometida. Al aplicar el teorema de Lagrange, te demuestran matemáticamente que al menos tu coche ha ido a la velocidad media en algún momento. Por ejemplo, si el tramo estaba limitado a 80 km/h y tu velocidad media comprobada ha sido de 111 km/h, entonces la multa se aplica diciendo que tu coche ha ido en algún momento a 111 km/h, y según el reglamento tienes una multa de 300€ y 2 puntos menos en el carné.

    Saludos.

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  21. @zan:
    Me serviré de tu propio ejemplo.
    Si en el tramo limitado a 80 km/h tu media es de 111 km/h, existe al menos un instante en el que tu velocidad ha sido exactamente 111 km/h, luego en al menos ese instante has infringido la norma y se te sanciona con lo que corresponda a 111 km/h porque es lo más leve de lo que están seguros, porque saben seguro que al menos te pasaste en 31 km/h.
    P.D.: Estos radares, con al cambio de hora, espero que tengan una “función especial” para contar el tiempo y no restar alegremente, porque de hacerlo… habría sorpresas cuando pasaran de ser las 3 a las 2.

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  22. Si f(x) es la función de posición del coche la aplicación del Teorema del valor medio de Lagrange solo es válida para movimientos rectilíneos y en carretera no realizamos trayectos rectiíneos, luego la multa seria recurrible. Yo creo que se utiliza este otro resultado:
    Si r(t) es la función de posición del coche y consideramos un intervalo temporal [a,b], la distancia total recorrida por el coche en dicho intervalo de tiempo es
    s=∫IIr'(t)IIdt,( integral entre a y b)
    Donde II.II es la norma euclídea.
    Entonces por el Teorema del Valor Medio de las integrales,
    s=∫IIr'(t)IIdt〗=IIr’(c)II(b-a), donde c esta entre a y b,
    de donde,
    s/(b-a)=IIr’(c)II,
    es decir, debe existir un instante c entre a y b en el que la rapidez de la partícula ha sido igual al cociente entre la distancia recorrida por la partícula en un intervalo de tiempo y el tiempo transcurrido.
    Esto es valido para cualquier tipo de movimiento y por lo tanto las denuncias son correctas, salvo que haya errores en la medición de la distancia s. En carretera cuando hablamos de velocidad nos estamos refiriendo a rapidez.

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