“Los tesoros matemáticos que esconde el triángulo de Pascal”, nuevo artículo en “El Aleph”

Ayer miércoles, 2 de noviembre de 2016, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que escribo sobre el triángulo de Pascal y los muchos tesoros matemáticos que alberga en su interior.

Los tesoros matemáticos que esconde el triángulo de Pascal

Cuando uno escucha la palabra triángulo, la primera imagen que le viene a la cabeza es la misma, la que seguramente tendréis ahora mismo en vuestra mente. Pero el tema que nos ocupa hoy no va exactamente de ese tipo de triángulos, sino de un triángulo numérico, una cierta disposición de números en forma de triángulo.


Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.


Esta entrada participa en la Edición 7.7: “La máquina de Llull del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión alberga el blog Los matemáticos no son gente seria, de nuestro amigo Juan Martínez-Tébar.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

3 Comentarios

  1. Llamemos B(m , n) = m!/(n!*(m-n)!) al Coeficiente Binomial que nos proporciona todos los valores del triángulo de Pascal en la fila m y la columna n que deseemos. El primer número que estará representado 6 veces en el triángulo es 120 porque 120 = 2^3*3*5 y 2^4 – 1 = 3*5 por lo que B(120 , 1) = B(16 , 2) = B(10 , 3). Las otras 3 presencias en el Triángulo de Pascal provienen de la identidad B(m , n) = B(m , m-n).
    La solución de la ecuación diofántica B(m , j-1) = B(m-1 , j) dada por Singmaster es m = F(2*l)*F(2*l+1) ; j = F(2*l-1)*F(2l); (l=2,3,4,5,…); donde F(t) es el t-ésimo numero de Fibonacci; que para l=2 —> m= F(4)*F(5) = 3*5 = 15; j= F(3)*F(4) = 2*3 = 6. Luego B(15,5) = B(14,6) = 3003, con la peculiaridad (supongo que no es una generalidad) de que 3003 = 3*7*11*13 y que 2*3*13 = 7*11 + 1. Por lo que B(3003 , 1) = B(78 , 2) = B(15 , 5) = B(14 , 6), que ocupará 2*4 = 8 posiciones distintas en el triángulo de Pascal.
    La siguiente solución de Singmaster es para l = 3 —> m = 104; j = 40. El número es ya bastante alto : x = 61 218 182 743 304 701 891 431 482 520 y ocupará 2*3 = 6 posiciones en el triángulo de Pascal : B(x , 1); B(104 , 39); B(103, 40). No creo que sean 8 posiciones porque es muy difícil que ese número grande sea de la forma : x = a*b = c*d -1 (si no es una propiedad inherente a las soluciones de Singmaster; lo desconozco).
    Hay una infinitud de números, cada vez más y más enormes, con 6 posiciones en el triángulo pascaliano, que corresponden, para números mayores que x, a las soluciones de Singmaster para l = 4,5,6,7,…. hasta el infinito. Si existen soluciones a la terrorífica ecuación diofántica y factorial, en 4 variables m!/(n!*(m-n)!) = p!/(q!*(p-q)!) podría ampliarse aún más el número infinito de números que tienen 6 u 8 posiciones en el Triángulo. Sólo si hubiran números que fueran solución de esta otra ecuación con 6 variables : m!/(n!*(m-n)!) = p!/(q!*(p-q)!) = r!/(s!*(r-s)!) hallaríamos números que ocuparan 8 o 10 posiciones en el triángulo. Para llegar a 12 posiciones, la ecuación tendría 8 variables, y de existir tales soluciones, serían números descomunales, enormes. Funte de documentación : Wikipedia en francés; Conjecture de Singmaster.

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  2. yo creo que tiene que ver con la cuarta dimensión hace 20 años en clases de estadística en COU que saque sobresaliente estudiaba los hipercubos y la 4ª dimensión, el profesor me dejaba mucha libertad, le puse una especie de triángulo de pascal en binario y me dijo que era correcto perdonarme que no de más detalles entonces tenía 20 años y ahora tengo 42.

    aquí pondré un enlace donde representa el triángulo de pascal en binario:
    https://www.infor.uva.es/~cvaca/asigs/docpar/probfund.html

    y aquí uno sobre la cuarta dimensión en la wikipedia:
    https://es.wikipedia.org/wiki/Cuarta_dimensión

    yo lo hice con vectores representándolo el hipercubo en binario

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