Los tres naturales

Hoy os traigo el problema de esta semana. Ahí va:

Hallar todas las ternas de números racionales positivos (x,y,z) de modo que los tres números

\begin{matrix} x+y+z \\ \\ xyz \\ \\ \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z} \end{matrix}

son números naturales.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Jugando con las 3 ecuaciones se puede conseguir reducir el problema a una ecuación polinomial de grado 3, función de 3 números enteros.

    Ahora me queda aplicar la solución analítica de este tipo de ecuaciones y ver las que tienen sentido según los 3 parámetros enteros.

    Un saludo.

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  2. Parece que no hay mas soluciones con Nºs naturales, dado que la suma de inversos solo puede ser 1, 2 ó 3.

    Para 3 solo hay x = y = z = 1

    Para 2 solo hay x = 1, y = z = 2

    Para 1 hay x = y = z = 3 además de x = 2, y = z = 4 y x = 2, y =3, z = 6.

    y cualquier combinación con Nºs mayores no alcanza el valor 1 en la suma.

    Falta ver si hay Nºs racionales que lo cumplan

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  3. Con x, y, z enteros es fácil comprobar que solo existen cuatro ternas posibles: (1, 1, 1),
    (2, 3, 6), (2, 2, 4) y (3, 3, 3). Queda, pues, resolver si existen ternas con números fraccionarios. (No deberíamos considerar como válidas las que, con igual valor que las citadas están formadas por fracciones impropias equivalentes como (2m/m, 3p/p, 6q/q) a pesar de que también son números racionales).

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  4. Así a bote pronto, creo que cualquier solución con fraccionarios se puede convertir en solución con enteros. Por ejemplo, una solución con fraccionarios en x + y + z o n/m + o/p + q/r, multiplicamos la suma por el mcm de m, p y r, que se convierte así en suma de tres enteros. Con las otras dos fórmulas igual o parecido. Luego se escoge el producto de números adecuados para “arreglar” la cosa.

    Si JJGJJG tienen razón, sólo hay cuatro soluciones racionales.

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  5. Bueh… Con mi “método” se “arreglan” la suma y el producto, pero no tengo claro que se “arregle” la suma de inversos. Tal vez si multiplicamos cada número de la terna solución fraccionaria por el mcm de los denominadores y por el mcm de los numeradores…

    No sé…

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  6. Para mayor comodidad de escritura, llamo a, b, c, a los números buscados (en lugar de x, y, z). Como 1/a + 1/b + 1/c = (ab + ac + bc)/abc, entonces ab + ac + bc = (1/a + 1/b + 1/d)abc. Luego, ab + ac + bc es un número natural.

    Consideremos el polinomio P(x) = (x – a)(x – b)(x – c) = x^3 – (ab + ac + bc)x^2 + (a + b + c)x + abc. Los números a, b, c son raíces racionales de P(x), que es un polinomio con coeficientes naturales y además con coeficiente principal igual a 1 (es decir, mónico). Por el lema de Gauss, esto último implica que las raíces de P(x) son números enteros.

    Luego, a, b, c son enteros.

    Referencia: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_ra%C3%ADz_racional

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  7. Hola, factor limitativo más importante es a mi juicio que xyz pertenezca a los naturales, ello, implica que x, y y z son digitos, es decir están entre 0 y 9. Teniendo en cuenta esto la solución correcta es la misma que la Juanjo

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  8. Gustavo,

    muy bueno.

    No conocía el lema de Gauss, y resuleve definitavemente el problema.

    5 soluciones.

    Un detalle menor, el último término creo que es -abc en vez de +abc

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  9. Perdón, si conocía el lema de Gauss, sin nombre y en mi libro de 1º de carrera (que no abría hace 35 años) está.

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