Matando moscas a cañonazos demostrando que cierto número es par

Siempre me ha gustado la expresión “Matando moscas a cañonazos”. Me parece que describe muy bien las situaciones en las que se suele utilizar y es aplicable en muchas ocasiones en cualquier ámbito de nuestra vida. ¿En matemáticas también? Claro, en matemáticas también, evidentemente. En este post vimos un buen ejemplo que usaba el último teorema de Fermat para demostrar algo muy simple, y hoy vamos a ver otro aún más sangrante.

Sin paños calientes, veamos el enunciado del teorema que vamos a demostrar:

Teorema:

El número 5!/2 es par.

Sencillo, ¿verdad?, tanto su planteamiento como su demostración. ¿Se os ocurre alguna manera de demostrarlo que pueda entrar dentro de matar moscas a cañonazos? Pensad…aunque seguro que no encontráis una como la siguiente:

Demostración:

Sabemos que el grupo de las permutaciones de los primeros n enteros positivos, S_n, tiene n! elementos, y que A_n, el subgrupo formado por las permutaciones pares también llamado grupo alternado, tiene la mitad de las permutaciones de S_n, por lo que el orden de A_n es n!/2. Por tanto, para n=5 tendremos que el orden de A_5 es 5!/2.

Sabemos también que A_5 es un grupo no abeliano. Y además también sabemos que A_5 es un grupo simple (es decir, un grupo que no tiene subgrupos normales propios). Estos dos hechos, ser simple y no abeliano, implican que A_5 no es resoluble.

Pero por otro lado tenemos el teorema de Feit-Thompson, uno de los trabajos matemáticos de mayor extensión entre los publicados hasta la fecha (el paper final tenía 255 páginas, aunque no llegue al nivel de la demostración más larga del mundo) demostrado por Walter Feit y John Griggs Thompson a principios de la década de los 60 del siglo XX. Este teorema dice que todo grupo finito de orden impar es resoluble.

Ya está todo. Si 5!/2 fuera impar, tendríamos que A_5 es resoluble, por aplicación directa del teorema de Feit-Thompson. Pero sabemos que en realidad A_5 no es resoluble, por ser no abeliano y simple. Por tanto, el orden de A_5, esto es, 5!/2, es obligatoriamente un número par.

Hala, demostrado…pero claramente a cañonazo limpio. Con lo fácil que sería calcular directamente el número

\cfrac{5!}{2}=\cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2}=60

que, evidentemente, es un número par…

A ver a quién se le ocurre, o quién conoce, alguna otra demostración a la que se le pueda aplicar la expresión matando moscas a cañonazos.


La idea de esta entrada está tomada de este post de Le Gauss.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. En realidad ni siquiera hace falta calcular el número… 5!/2 es múltiplo de 4, y por lo tanto es par…

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  2. Algo así pensaba yo: 5! es múltiplo de 4 y al dividirse por 2 aún sigue quedando un 2 en su factorización.

    Esto me ocurre a veces cuando estoy tratando de resolver algún problema junto con algún alumno: Mientras yo estoy maquinando planes maquiavélicos y preparando artillería para resolverlo, ellos en unos segundos me dicen “Pues se podría hacer así y así” de una forma mucho más fácil que a mi no se me había ocurrido. Son situaciones que sonrojan a uno por dentro cuando ocurren.

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  3. 1) Decir que 5!/2 es PAR, implica decir que 5! es múltiplo de 4.

    2) Los numeros naturales múltiplos de 4 aparecen en el conjunto de los números naturales cada 4 posiciones. O dicho de otra manera, dada cualquier cuarteto de numeros naturales consecutivos { n, n+1, n+2, n+3 } su producto n(n+1)(n+2)(n+3) es un valor múltiplo de 4. (Esto se puede generalizar para cualquier N-tupla de números naturales consecutivos)

    3) Dado que que en 5! intervienen al menos 4 números naturales consecutivos, por el apartado 2, es evidente que 5! es múltiplo de 4.

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  4. No se me ocurre otra forma igual de rebuscada para hacer la demostración, pero por estos lares tenemos otra frase para decir lo mismo:

    ¿Para qué tanto brinco si el suelo está parejo?

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  5. Hombre, sin utilizar el Teorema de Feit-Thomson, podrías coger cañones un poco más pequeños. Vasta coger un elemento de la forma (1 2)(3 4) que evidentemente es un elemento de A5.

    Con ésto y el Teorema de Lagrange, se llega a que 2 divide al orden de A5… Luego 5!/2 es un número par…

    Vamos, sigue siendo matar moscas a cañonazos, pero al menos los cañones son abarcables en 10 páginas 😛

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  6. Dentro de mis limitados conocimientos de matemáticas (suspendía siempre a partir de 1º de BUP) ¿Cualquier número factorial, excepto el 0! y el 1! no serían pares? Porque en todos los demás, interviene el 2, lo que le convierte directamente en par.

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  7. Osito, sí, tienes razón. Pero ahora lo que nos interesaría es que los factoriales de todos los enteros positivos mayores o iguales que 4 son múltiplos de 4, por lo que al dividirlos entre 2 son múltiplos de 2, esto es, pares.

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  8. A veces los alumnos creen que los profes dan cañonazos a las moscas. Por ejemplo:

    Probar que n^2+n es par…
    opcion 1… induccion
    opcion 2… n^2+n=n(n+1) que claramente es par.

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