Matando moscas a cañonazos

En multitud de ocasiones, en cualquier ámbito de nuestra vida, matamos moscas a cañonazos. Es decir, hacemos algo utilizando muchos más recursos (ya sean físicos, económicos…) de los que en realidad hacen falta. Como encender una vela con un lanzallamas, por poner un ejemplo.

La cuestión es que en matemáticas esto también ocurre. De hecho ocurre de manera relativamente frecuente. Seguro que muchos de vosotros conocéis algún resultado matemático para el que existe una demostración que utiliza algún otro resultado mucho más potente que el que se quiere demostrar pero que por otra parte posee alguna manera mucho más sencilla de demostrarse. Algo así como acudir a la Topología para demostrar la infinitud de los números primos cuando poseemos este sencillo argumento de Euclides para ello.

Lo que os traigo hoy es otro ejemplo de este fenómeno, otro caso en el que matamos un teorema sencillo con una demostración cañón.

Irracionalidad de \sqrt[n]{2}

Hace ya bastante tiempo vimos en este blog dos demostraciones de la irracionalidad de \sqrt{2}. Pero no se hablaba nada sobre \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, etc. El teorema cuya demostración vamos a reproducir va a demostrar de una tacada la irracionalidad de todas ellas.

Teorema: Si n \ge 3, entonces \sqrt[n]{2} es irracional.

Demostración:

Supongamos que \sqrt[n]{2} es racional, es decir:

\sqrt[n]{2}=\cfrac{a}{b}

con a,b números enteros positivos primos relativos.

Si elevamos a n esta igualdad obtenemos lo siguiente:

2=\cfrac{a^n}{b^n}

Multiplicando a ambos lados por b^n llegamos a:

2b^n=a^n

Y como 2b^n=b^n+b^n, la expresión que conseguimos es esta:

a^n=b^n+b^n

Pero aplicando el último teorema de Fermat esta expresión no puede darse para ningún valor entero positivo de a y b. Por tanto \sqrt[n]{2} es irracional. \Box

¿Verdad que el título matar moscas a cañonazos viene que ni pintado? Utilizar el teorema de Fermat-Wiles para demostrar la irracionalidad de \sqrt[n]{2} es excesivo teniendo en cuenta la forma tan sencilla de demostrar dicho resultado que poseemos:

Teorema: Si n \ge 3, entonces \sqrt[n]{2} es irracional.

Demostración:

Supongamos que \sqrt[n]{2} es racional, es decir:

\sqrt[n]{2}=\cfrac{a}{b}

con a,b números enteros positivos primos relativos.

Si elevamos a n esta igualdad obtenemos lo siguiente:

2=\cfrac{a^n}{b^n}

Multiplicando a ambos lados por b^n llegamos a:

2b^n=a^n

Por tanto, a^n es par y, en consecuencia, también lo es a. Supongamos a=2k, con k\in\mathbb{N} y sustituyamos su valor en la expresión anterior:

2b^n=(2k)^n

Dividiendo a ambos lados entre 2 llegamos a:

b^n=2^{n-1} k^n

Y de aquí, como n\ge 3, se tiene que b también es par.

Hemos obtenido que a y b son pares, es decir, tiene a 2 como divisor común. Pero esto es imposible, ya que a y b eran primos relativos (es decir, su máximo común divisor es 1). Llegamos entonces a una contradicción. Por tanto \sqrt[n]{2} es irracional. \Box

Como veis, aunque las dos demostraciones son válidas, la segunda es mucho más elemental.

La demostración desproporcionada se debe a W. H. Schultz y aparece en este post de Gödel’s Lost Letter and P=NP dedicado al April Fool’s Day junto con dos demostraciones de otros resultados que van en la misma línea.

¿Conocéis algún otro resultado que posea una demostración que pueda calificarse como matar moscas a cañonazos?

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24 comentarios

  1. Trackback | 5 abr, 2010

    Bitacoras.com

  2. josejuan | 5 de abril de 2010 | 08:56

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    Cuando se tienen pocos recursos (inteligencia, memoria, perspicacia, …) utilizar un cañón (bombas de racimo, TNT y otros similares) suele ser el último y a menudo único recurso que nos queda a los torpes. Si funciona, ¡bienvenido sea!.
     
    Sin embargo, no estoy de acuerdo con el ejemplo propuesto; si bien la 2ª demostración es más elemental, la 1ª es mucho más directa y elegante una vez aceptado el UTF, aunque sí es cierto que la 2ª enriquece más al estudioso (por hacerte pensar).
     
    En mi opinión por tanto, hablaría de usar un cañón a quien utiliza la 2ª demostración.
     
    ¿Cuantas personas usan la ecuación de 2º grado a troche y moche (o la regla de tres) sin saber siquiera en qué se basan?.

  3. mimetist | 5 de abril de 2010 | 12:41

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    Vale, el UTF nos permite una demostración mucho más rápida y elegante… pero es un cañón como una casa que lanza bombas atómicas…
    Es cierto que el enunciado del Teorema de Fermat-Wiles es tan simple que cualquiera puede entenderlo, pero cualquier idea o concepto que necesite de Formas Modulares para su demostración es un cañón… y de los grandes.

  4. josejuan | 5 de abril de 2010 | 13:11

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    Uhm… creo que nos dejamos asombrar por lo novedoso, dificultoso y puntero de la demostración del UTF (o cualquier otro similar).
     
    Si entiendo bien, equiparas la potencia (explosiva) con la exigencia actual (insisto actual) de la demostración de un teorema.
     
    En tal caso, ¿no te parece curioso que si se descubriera esa <i>”demostración realmente admirable”</i> (palabras literales de Fermat) que decía haber encontrado Fermat, y que si ésta se basara en conceptos matemáticos similares al 2º ejemplo (e.g. divisibilidad), entonces ya no considerarías el uso de UTF explosivamente bruto?.
    Digo curioso, porque para quien ha hecho uso de ese teorema le da igual e incluso puede desconocer ambas demostraciones (únicamente saber que es cierto el teorema).
     
    Bueno, es una forma de verlo, yo me sigo quedando con la idea de que una vez demostrado una idea, un concepto, un teorema X, entonces, la demostración se da por hecha (por dificultosa que ésta sea), y únicamente la dificultad de entender y aplicar ese teorema en uno u otro caso llevarían (en mi opinión) a pensar en una pistola, cañón o bomba.
     
    Dicho de otra forma, si podemos demostrar algo como un simple corolario de un teorema X, siempre me parecerá más bruto el hacer una demostración larga y laboriosa usando conceptos más básicos por compleja que sea la demostración de X.
     
    Aunque en fin, supongo que a falta de una definición de <i>”usar cañón”</i> cualquiera de nuestras interpretaciones puede ser válida.

  5. Mario | 5 de abril de 2010 | 13:40

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    Esto… puesto que la segunda demostración ya demuestra el teorema, ¿podría utilizarse la primera demostración como prueba del teorema de Fermat?

  6. josejuan | 5 de abril de 2010 | 14:31

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    “Mario”, a mi entender, la primera demostración utiliza un subconjunto de todos los cubiertos por UTF, es decir
     
    a^{n}=b^{n}+b^{n}
     
    es un subconjunto de
     
    a^{n}=b^{n}+c^{n}
     
    por tanto, aun cuando lograras revertir la implicación (aquí se demuestra P->Q tú quieres demostrar el recíproco Q->P) sólo lo habrías hecho sobre un subconjunto de todo el problema, luego sería incompleto.
     
    O eso creo…

  7. Agustín Morales | 5 de abril de 2010 | 16:31

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    No entiendo yo la demostración del texto como ” matar moscas a cañonazos”, ya que la demostración es relativamente económica.
    Lo que quizás fue matar moscas a cañonazos fue la demostración del UTF.

  8. Dani | 5 de abril de 2010 | 18:17

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    Jejejeje muy buena ^DiAmOnD^, nunca había visto una prueba que usara el UTF. Desde luego que es maquinaria pesada!
    Por otra parte Josejuan, yo por lo menos creo que no es recomendable usar un resultado a no ser que hayas comprendido su demostración. No sólo es cierto que estés usando algo ciegamente sin comprender por qué (ni siquiera estando seguro de que) es verdad, si no que además te vuelves torpe y vulnerable ante cualquier complicación o detalle que pueda surgir de ese resultado que has enunciado categoricamente. Muchos matemáticos han visto papers y papers suyos venirse abajo al encontrarse una falacia (a veces tonta) en otro paper que habían usado en el suyo sin verificar (lo sificiente).
    En ese sentido sí que creo que lo “pesado” de la maquinaria de un teorema depende exclusivamente de lo elemental que sea la demostración más sencilla conocida. Otra cosa es la profundidad o las consecuencias que tengan las ideas implicadas…

  9. mimetist | 5 de abril de 2010 | 22:43

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    Bueno, mientras no exista una demostración más simple, estaríamos recurriendo a las formas modulares para demostrar la irracionalidad de la raíz n-ésima de 2…
    No creo que Fermat diera con una verdadera demostración del teorema o, como indicó Diamond en una entrada sobre el tema, si la tenía lo más seguro es que estuviese equivocado.
    Recurrir a conceptos básicos es como montar un puente con palillos, es más laborioso, más complicado, aprendes más sobre ingeniería… pero el cañonazo sería usar una nave espacial para levantar bloques de cientos de toneladas para hacer el mismo puente.

    Recordemos que el Teorema Fermat-Wiles actualmente requiere conceptos avanzados para saber que es cierto y mientras eso no cambie, da igual que lo que afirme parezca simple… como dice Dani “la maquinaria de un teorema depende exclusivamente de lo elemental que sea la demostración más sencilla conocida”.

  10. Yrekthelas | 6 de abril de 2010 | 01:24

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    Bueno, ya que no nos ponemos de acuerdo sobre si usar el UTF es un cañonazo (a mi me parece claramente que si), propongo otro cañonazo para este resultado:
    $x^n-2$ es 2-einsestein, y por lo tanto irreducible, sobre $\mathbb{Q} por lo que no puede tener raices en el cuerpo base, así que $\sqrt[n]{2}$ es irracional.
     
    Este caso, no es que los resultados esgrimidos sean de gran calibre, ya que son relativamente sencillos de demostrar, es que necesitas unos cuantos resultados previos para llegar hasta ellos (si, lo reconozco, lo he escrito todo lo pomposo posible para que ejemplifique mas claramente lo que  quiero decir). Quizá este caso muestre mas claro el cañonazo del que hablaba Diamond, al usar conceptos que claramente son muy lejanos a lo que se necesitaba.
    Aún así, para mí usar el UTF es aun más claramente, cazar conejos (o moscas) con cañones.
     
    PD: Una vez un profesor se confundio y dijo “cazar cañones con conejos”, y esa expresión ha sustituido la original entre mis compañeros…
    PPD: Esta expresión (con moscas) siempre me recuerda a: http://www.youtube.com/watch?v=ZcACaW9vwg4

  11. Agustín Morales | 6 de abril de 2010 | 09:39

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    Alguien quizás más versado que yo me pueda corregir, pero  yo entiendo que un resultado, teorema o herramienta potente en matemáticas es aquel que permite realizar nuevas demostraciones o abrir nuevos caminos, independientemente de si su demostración inicial fue fácil o difícil. En cálculo tenemos la integral y la derivación y el teorema que los relaciona. Con aplicaciones que cambian todo el panorama matemático.  La Teoría de Galois para las ecuaciones de quinto grado es un resultado potente, la teoría de grupos, teoremas relativos a invarinates topológicos, etc.. ¿Podemos decir que el UTF sea un resultado potente? En principio no lo sabemos, yo la primera demostración que he visto que la utiliza es justo esta, la de esta magnifica entrada (gracias). Y la verdad que estoy muy contento de haberla visto precisamente por eso. Otra cosa es que para demostrarse el UTF se utilizaran herramientas potentes. Pero precisamente la entrada del post demuestra que no por utilizar herramientas potentes (caso de que el UTF lo fuera), el resultado lo es. Sino que posiblemente como indica el título de la entrada se estén matando moscas a cañonazos. Si mañana se resuelve uno de los problemas del milenio P=NP , será potente independientemente de la dificultad de la resolución, y de hecho las implicaciones no ya para la matemática sino para nuestra vida diaria serían muy grandes. Mi opinión es que aun estamos influidos y relativamente emocionados por el descubrimiento del UTF. Posiblemente dentro de 50 años ya no será así independientemente de los descubrimientos adicionales que se hagan.

  12. Juanjo | 6 de abril de 2010 | 11:28

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    Pues a mi la demostración que usa el UTF me parece muy elegante, incluso más que la segunda. Es cierto que usa un gran teorema para demostrar algo sencillo pero esta prueba no implica mucho más esfuerzo que la segunda.

  13. M | 6 de abril de 2010 | 12:02

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    Me parece que usar aquí el UTF es un poco ad hoc, y desde luego es bastante limitado su uso en estos casos, pues por ejemplo no vale para demostrar la misma propiedad en \sqrt[n]{3} :).
    Si mal no recuerdo, ya comentamos una vez un modo más o menos sencillo de probar que si n no es una potencia k-ésima entonces \sqrt[k]{n} es irracional. En tres pasos:
    1) Si p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_sx^s es un polinomio con coeficientes enteros y p/q es una raíz racional (reducida), entonces q|a_s (y p|a_0);
    2) Por 1), las raíces racionales de un polinomio mónico (a_s=1) con coeficientes enteros  son de hecho enteras. Es decir, que las raíces reales de un tal polinomio sólo pueden enteras o irracionales;
    3) Por el Teorema Fundamental de la Aritmética y 2), si n no es una potencia k-ésima, la raíz x=\sqrt[k]{n} del polinomio p(x)=x^k-n debe ser irracional.

  14. Dani | 6 de abril de 2010 | 18:45

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    jajajajajaj enormes Monty Python. Qué bueno, Yrekthelas, un profesor mío hizo exactamente lo mismo (pero con moscas, creo )

  15. antoniojpan | 11 de abril de 2010 | 23:41

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    Me ha parecido muy interesante esta primera demostración, y es cierto que la sensación que se te queda es la misma que la de ver encender una vela con un lanzallamas. Pero lo que estaba yo pensando es: ¿seguro que en toda la demostración del UTF partiendo de lo más elemental no se utiliza que $\sqrt{2}$ es irracional? Seguramente no, pero…

  16. Agustín Morales | 12 de abril de 2010 | 12:28

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    Antoniojpan,  la observación que haces me parece muy aguda.  Pero lo curioso es que si en la demostración del UTF se utilizara lo que se quiere demostrar, creo que paradójicamente la demostración del texto sería también válida.  O eso creo yo.

  17. infinitoalae | 14 de abril de 2010 | 04:31

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    Creo que es cierto que aún continuamos fascinados con el hecho de que la conjetura se haya convertido en teorema luego de tantos años en el tintero. Cuando leí el articulo, me sorprendí mucho, nunca había visto al teorema fermat-wails aplicarse en una demostración. Al ver el titulo del artículo, aseguro que imaginé cualquier cosa menos este teorema y creo que eso es lo sorprendente. Más allá de que arma realiza más estruendo, opino que esta artillería (UTF) es exótica.
    por otro lado, no conozco la demo del UTF, tampoco creo estar en condiciones de entenderla, más allá de eso, si la demostración utiliza la irracionalidad de raiz de 2, no comprendo como esto compromete la demostración en raíces de orden mayor o igual a tres.
     
     

  18. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:30

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    Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

    3,1415926535897932384626433832795 (y más…)

    Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

    Números como 22/7 = 3,1428571428571… se acercan pero no son correctos.

  19. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:31

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    Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

    Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

    No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

    Así que la raíz de 2 es un número irracional

  20. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:32

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    El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

    2,7182818284590452353602874713527 (y sigue…)

  21. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:33

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    Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
    √3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
    √99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)

    Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

  22. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:33

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    Historia de los números irracionales

    Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

    Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los “números irracionales” de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

  23. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:35

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    Racional o irracional

    Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

    Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así

    19/2 = 9,5

    así que no es irracional (es un número racional)

  24. COTEJO | 26 de enero de 2014 | 06:50

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    Amigos en pocas palabras para que sirve todo ese enredajo complejo de sacarle la raiz a un numero elevarlo a potencia tal y dar tal resultado que nunca sera exacto ; cuando ud va al mercado o la tienda y ve un par de zapatos ud le mira la raiz, el cubo y la potencia o solo mira el precio irracional que le estan cobrando en mumeros enteros irracionales pero son reales lo estan esquilmando , 4 operaciones matematicas o aritmeticas hacen todo el trabajito la suma, resta, multiplicacion y division con esas 4 herramientas nos entendemos todos y son las unicas que usamos en nuestro trajin diario , entonces para que matarse o sufrir o mejor dicho romperse el coco por algo que ud solo usara en sus años de estudiante de primaria , bachillerato y universitaria para luego al graduarse mandalos a la porra deje de sufrir por algo que para muchos es una tonteria pero para los estudiosos matematicos que pasan años averiguando cual es la raiz de 2 la cuestion es otra , las unicas raices de 2 que conozco soy yo y mi mujer mi madre y mipadre que al unirse crearon un numerito irracional imperfecto ese soy yo

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