Máximo y mínimo valor de la suma

Hoy os traigo un problema que nos envía nuestro lector Luis, cuyo enunciado tomó él de…bueno, ya lo diré cuando se resuelva. Ahí va el enunciado:

Dados tres enteros positivos a, b y c menores que 99 y tales que

$a^2+b^2 = 99^2 + c^2$

hallar el mínimo y el máximo valor que puede tomar $a+b+c$ .

A por él.

40 comentarios

Julián | 9 de May de 2011 | 12:39

para el mínimo:
a=21, b=97, c=7
a=97, b=21, c=7

a+b+c = 125

para el máximo:
a=81, b=91, c=71
a=91, b=81, c=71

a+b+c = 243

los he calculado por computador, pero no sé demostrarlo matemáticamente.
Trackback | 9 May, 2011

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josejuan | 9 de May de 2011 | 12:49

Los únicos extremos que hay (con $a<=b$ ) son

$21 + 97 + 7 = 125$
$81 + 91 + 71 = 243$

pero no veo cómo llegar a ellos…
vayapordios | 9 de May de 2011 | 21:44

Con la condición de ser menores que 99 hay un número finito de casos. Comprobarlos todos, no importa si con ordenador o a mano, equivale a una demostración. Por tanto, dinos de dónde lo tomó Luis.
Rama Nujan | 9 de May de 2011 | 21:46

El mínimo es 5^3
El máximo es 3^5

Saludos.
gaussianos | 9 de May de 2011 | 22:06

vayapordios, sí, eso equivale a una demostración, pero creo que se tardaría demasiado en comprobarlos todos. Se pide un desarrollo matemático, no hagas trampa : )
Sebastián Espinar | 9 de May de 2011 | 22:49

Rama Nujan:
¿Lo has calculado a capón con el método de los multiplicadores de lagrange o has supuesto que el problema se podría interpretar geometricamente, salvo un factor $sqrt{3}$ , como la distancia máxima y mínima del plano a+b+c=0 al hiperboloide de una hoja a²+b²=99²⁺c²?
vayapordios | 9 de May de 2011 | 22:49

En realidad yo no he demostrado nada, me fiaba del programa de que habla Julián. Creo que valdrá por un desarrollo matemático el código que ha usado. Puede copiarlo aquí para que verifiquemos que comprueba todas las posibilidades.
Rafael | 10 de May de 2011 | 00:29

Aunque lo que viene a continuación no sirve para mucho, da otra perspectiva del problema.

La ecuación $a^2+b^2-c^2=99^2$ describe un hiperboloide reglado de cuello $r=99$ y $a+b+c=m$ es un plano paralelo al plano $a+b+c=0$ , el cual es asintótico al hiperboloide. La condición $a,b,c<99$ indican que pertenecen al cubo centrado en el origen de lado 2×99. Por último observar que a, b y c son enteros.
Julián | 10 de May de 2011 | 10:03

Siguiendo el comentario de vayapordios, este es el código que usé para calcularlos, es bastante simple:
min = [inf inf inf]; max = [0 0 0]; for a=1:98 for b=1:98 for c=1:98 if a^2+b^2==99^2+c^2 if a+b+c > sum(max) max = [a b c]; end if a+b+c < sum(min) min = [a b c]; end end end end end max min

está hecho en matlab, para los que no lo tengan, el código se puede probar en http://www.matlab-online.com/
josejuan | 10 de May de 2011 | 10:23

O así

var l = Enumerable.Range( 1, 98 );
var q = from a in l from b in l from c in l where a*a+b*b-c*c==9801 select a+b+c;
Console.WriteLine( “min: {0}, max: {1}”, q.Min(), q.Max() );
vengoroso | 10 de May de 2011 | 12:44

Hay una manera de resolver este tipo de problemas que parte de un planteamiento geometrico parecido al comienzo de lo que indica Rafael, pero esto es usar maquinaria pesada, asi que no creo que fuera lo que Luis tenia en mente…

La idea es buscar soluciones racionales y despues a partir de las racionales contruir las enteras. Con determinados tipos de ecuaciones polinomicas (en particular las cuadricas) es suficiente con conocer *una* solucion racional para obtener todas las demas, para esto se toma la solucion racional $P$ que conocemos, y rectas de la forma $P+tv$ que pasen por dicho punto y tengan un vector director $v$ con todas sus componentes racionales. Si nuestra ecuacion es buena (la del problema lo es, ya que es una cuadrica homogenea) cada una de estas rectas nos proporcionara otra solucion racional. Reciprocamente, todas las soluciones racionales se obtienen de esta manera, ya que si tenemos otra solucion racional $Q$ el vector $PQ$ es un vector con coordenadas racionales. Asi, este metodo nos da una parametrizacion de todas las soluciones racionales de nuestra cuadrica.

En el caso que nos concierne, podemos comenzar por la solucion trivial $(99,0,0)$ y (dado que solo queremos soluciones con $a<99$ ) usar vectores racionales de la forma $(1,u,v)$ (esto no nos da *todas* las soluciones racionales, nos faltan las que vienen parametrizadas por vectores directores de la forma $(0,u,v)$ pero estas ultimas no estan en la region que nos interesa).

La recta parametrizada por la solucion trivial y el vector $(1,u,v)$ consiste en los puntos de la forma $(99+t, tu, tv)$ , colocando estas coordenadas en nuestra ecuacion tenemos

$(99+t)^2 + t^2u^2 - t^2v^2 = 99^2$

desarrollando el primer cuadrado

$99^2 + 198t + t^2 + t^2u^2 - t^2v^2 = 99^2$

y simplifcando

$t(198 + t(1+u^2 - v^2)) = 0$ ,

que nos da la soluciones $t=0$ (nuestra solucion de partida) y $t = -\frac{198}{1+u^2 - v^2}$ , esto nos da la parametrizacion (de una parte) del conjunto de soluciones racionales

${ (99 -\cfrac{198}{1+u^2 - v^2}, -\cfrac{198u}{1+u^2 - v^2}, -\cfrac{198v}{1+u^2 - v^2}) }$

Usando esta parametrizacion es posible (aunque no trivial) obtener las soluciones enteras, y plantear la parte final como un problema de optimizacion de una funcion de 4 variables, pero como decia al principio lo mas probable es que Luis tuviera en mente un planteamiento mas elemental…
vengoroso | 10 de May de 2011 | 12:48

No se que pasa que las fracciones no aparecen correctamente. el denominador en todos los casos deberia ser $1 +u^2 -v^2$ .
Julián | 10 de May de 2011 | 12:57

Para las fracciones debes poner el “\frac”, si no me equivoco quedaría así:

$\left( 99 - \frac{\displaystyle 198}{\displaystyle 1+u^2-v^2}, - \frac{\displaystyle 198u}{\displaystyle 1+u^2-v^2}, -\frac{\displaystyle 198v}{\displaystyle 1+u^2-v^2}\right)$
gaussianos | 11 de May de 2011 | 01:26

Arreglado vengoroso .
josejuan | 11 de May de 2011 | 08:37

¿No se resolverá ésto mejor usando formas bilineales?

$x^{T}Ax=99^{2}$

siendo A la matriz identidad con “uno de sus unos cambiado de signo”.

¿Y usando ésto?.
Sebas | 11 de May de 2011 | 12:02

Si 1≤c≤98 se ha de cumplir 9802≤a^2+b^2≤19405 igualmente las restricciones 1≤a≤98, 1≤b≤98 al tener las mismas condiciones a y b basta estudiar b≥a .
Con estas condiciones los pares a y b están delimitados por un triangulo curvilíneo de vértices (15, 98) (70, 70) y (98, 98), estos pares posibles candidatos son 1021, igualmente podríamos eliminar varias decenas cuyas terminaciones “0, 3” y “0, 7” hacen imposible que “c” sea racional.
De estos 1021 candidatos 37 forman la terna con “c” natural, siendo los de suma máxima y mínima 81 91 71 y 21 97 7
Luis | 12 de May de 2011 | 03:24

Bueno, ^DiAmOnD^, cuéntales, si consideras oportuno, de donde proviene este problema.

(El cual, hasta el momento, no ha sido resuelto en un 100%).

Saludos.
vengoroso | 12 de May de 2011 | 12:02

Se me ha ocurrido otra interpretacion geometrica del problema, pero de momento no he conseguido que me ayude mucho a resolverlo. Si consideramos los triangulos rectangulos con catetos $a$ y $b$ y con catetos $99$ y $c$ respectivamente, la condicion del problema nos dice que ambos triangulos tienen la misma hipotenusa. Desde un segmento dado, el arco capaz que corresponde a un angulo de 90 grados es una semicircunferencia, por lo que si colocamos los triangulos construidos con sus vertices en lados opuestos de la hipotenusa obtenemos un cuadrilatero con lados $a, b, c, 99$ inscribible en una circunferencia, y la pregunta se reduce a obtener el perimetro minimo y maximo de dicho cuadrilatero cuando los valores de todos los lados son enteros.

He probado a usar el teorema de Ptolomeo en este contexto, pero no he encontrado nada que me resulte util. :-/
vengoroso | 12 de May de 2011 | 12:06

Por cierto Luis, no entiendo a que te refieres con “no ha sido resuelto en un 100%”, la solucion se puede obtener por exhaucion y esta dada en el primer comentario, si lo que quieres es una explicacion mas teorica de esos valores entonces necesitas dar informacion adicional sobre el contexto
josejuan | 12 de May de 2011 | 21:51

Una forma de expresar el problema con símbolos matemáticos podría ser:

$N=\{\:1..98\:\}$
$S=\{\:x+y+z\:|\:x\in N,\:y\in N,\:z\in N,\:x^2+y^2=99^2+z^2\:\}$
$max\:S,\:min\:S$

En Haskell, un programa (completo) que lo resuelve es casi idéntico

_N = [ 1 .. 98 ]
_S = [ x+y+z | x<-_N, y<-_N, z<-_N, x^2+y^2==99^2+z^2 ]
main = print ( minimum _S, maximum _S )

¿Y se puede saber ya el misterioso orígen del problema?
Sebas | 12 de May de 2011 | 23:02

Ablando de programas para resolverlo, con el sistema que he expuesto, con una hoja de cálculo, para no tener que operar a mano, en unos momentos encontré todas las ternas a, b y c y por supuesto simultáneamente la suma
gaussianos | 12 de May de 2011 | 23:12

josejuan, pues el origen del problema es la Olimpiada Matemática Argentina:

http://www.oma.org.ar/enunciados/oma27nac.htm

No tenemos la solución, pero no debería ser tan difícil, ¿no?
Federico | 13 de May de 2011 | 02:11

Bueno,a mi me da perfecto,aunque no lo hice matemáticamente lo hice programando en haskell,porque por mis venas corre sangre de programador (y porque me agarro la vagancia…).

La solución que me da es la terna $(97,51,47)$ y se comprueba que:

$97^2 + 51^2=99^2+47^2$
$2601+9409 =9801+2209.$

Es facil ver que ambos miembros de la ecuación dan 12010 (o que restando el miembro derecho del izquierdo da cero…).

El lenguaje en el que lo resolvi (Haskell,usando programación funcional) esta orientado a expresar las cosas de manera matemática por lo que el codigo que use:

$[(a,b,c)|a<-[1..98],b<-[1..98],c<-[1..98],(a*a+b*b-(c*c))==9801]$

Se puede expresar (en notación matemática) como:

$x= {{(a,b,c) / a in (1..98), b in (1..98),c in (1..98),((a^2+b^2-c^2)=99^2)}}$

Esto esta lejos de ser una demostración matemática (aunque si no me equivoco se puede demostrar que el programa va a listar todas las ternas que cumplan con la condición y que la última va a ser el máximo pedido) se que es algo bastante alejado de lo que se pide,pero a esta hora no me da la cabeza como para ponerme a pensar una solución más matemática.

Felicitaciónes por el blog,lo vengo siguiendo y es más que excelente.

Saludos!
Luis | 13 de May de 2011 | 04:08

A lo que me refería, y en respuesta a vengoroso, era a que, hasta aquí, no se ha dado una solución que uno pueda calificar como ‘olímpica’ (que es lo que se espera para un problema que proviene de una olimpíada), a pesar de que no se había develado (hasta el último comentario de ^DiAmOnD^) que era un problema de olimpíada.

A modo de ‘extra’ queda el comentario de que ninguno de los participantes en la olimpíada en la que apareció este problema (que, según me contaron, es de autoría del matemático búlgaro Svetoslav Savchev) ninguno de los alumnos presentó una solución correcta.

Un saludo, y ¡ojalá que encontremos la solución!
josejuan | 13 de May de 2011 | 10:57

Bueno, pues alguna propiedad concreta de esa expresión habrá que buscar, porque se trata de un problema de optimización sobre variables enteras (luego en general [y de momento] no hay otra que hacer una búsqueda exhaustiva [más o menos acotada, pero exhaustiva]).
Sebas | 13 de May de 2011 | 17:57

Después de leer las distintas aportaciones aparecidas posteriores a mi comentario he vuelto a repasar mi método. Sigo apoyando las limitaciones que propongo del triangulo y por consiguiente la solución que anoté, pero al volver a las limitaciones de las terminaciones de “a, b y c” me doy cuenta que me quedé corto con las prisas, pues no las consideré al hacer los cálculos con Excel. Las terminaciones que se pueden excluir creo que son 31, lo que hace que limite los posibles candidatos “a y b” a unos 700.
De todas formas con lo aparecido informando que es uno de olimpiadas, no lo considero resuelto
mimetist | 14 de May de 2011 | 15:36

Aún seguimos sin demostración simple, quizá porque nos hemos atascado en la búsqueda exhaustiva… lo que he podido sacar en claro por ahora (aunque un poco inconexo) es lo que sigue:

Supongamos que $a > b$ . Podemos usar un poco de álgebra y vemos que:
$99^{2}-a^{2} = b^{2}-c^{2}$ luego, $(99 - a)(99+a) = (b-c)(b+c)$ .

De esta manera tenemos que: $\frac{99+a}{b-c} = \frac{b+c}{99-a}$ y como $99 > a > b$ , debe ser que $(99-a) \geq 1$ y esto significa que $(b-c) > 1$ .

Hemos visto que $a > b > c$ .

Si calculamos 99^2 = 9801, entonces suponiendo que $a = b, c=1$ (para hallar el mínimo valor posible de $a$ , tenemos que $a^{2}+b^{2}-c^{2} = 9801$ queda $2a^{2} = 9800$ .

Luego $99 > a > 70$ .

Además, como $1 \leq \frac{99+a}{b-c} = \frac{b+c}{99-a}$ resulta que $b+c > 99 - a$ , análogamente como $1 \leq \frac{99+a}{b+c} = \frac{b-c}{99-a}$ resulta que $b-c > 99 - a$ , luego hemos visto que: $a + b - c > 99$

Ahora, podemos mejorar esa cota si tenemos en cuenta que:
$99(a + b -c) > 99^{2} = a^{2}+b^{2}-c^{2} = (a + b + c)(a+b-c) - 2ab$ , de donde despejando: $s = a + b + c < 99 + \frac{2ab}{a+b-c} < 99 + \frac{2ab}{99}$

De esta manera la suma debe ser: $100 < s < 99+\frac{2a^{2}}{99} < 297$

Hasta aquí ha dado de sí mi rato libre… seguiremos informando ^_^
hernan | 14 de May de 2011 | 17:44

A mí no me queda muy claro el objectivo, porque lo del “mínimo valor que PUEDE tomar” es ambiguo. Es claro que la ecuación tendrá una cantidad de tuplas soluciones (enteras), ahora bien: me están pidiendo que encuentre los valores extremos que tomará S=a+b+c dentro del conjunto de esas tuplas soluciones, o sólo que encuentre un par de cotas?
Si lo primero, no veo cómo.
Si lo segundo, no es difíl encararlo por el lado algebraico o geométrico (yo obtuve 99<S<3 x 99, por un consideraciones geométricas; basicamente lo mismo que mimetist). Pero en este caso estamos ignorando la condición de que las soluciones son enteras, con lo cual el problema pierde un poco de gracia y nuestras cotas pueden ser muy malas.
hernan | 14 de May de 2011 | 17:47

También me pegunto si el valor numérico (99) será relevante o no…
Luis | 14 de May de 2011 | 17:58

Hola, hernan, de hecho las cotas encontradas son malas, dado que lo que se pide es encontrar el mínimo y el máximo valor que PUEDE tomar a+b+c, y está claro que a+b+c no puede tomar el valor 297, ni 296, etc.

El problema sigue en pie.
Matheus-Zero | 16 de May de 2011 | 18:50

De la igualdad

$a^2+b^2=c^2+99^2$

Reescribimos

$a^2-99^2=c^2-b^2$

y obtenemos facilmente:

$(a+99)(a-99)=(c+b)(c-b)$

pensé que podía tomar a $99^2 + c^2$ como un término, afirmando que fuera una ‘hipotenusa’ y así buscar la menor terna pitagórica. Pero en el proceso se obtienen valores muy altos.

Seguiré pensando
Saludos!
Pablo | 17 de May de 2011 | 05:05

Esto me recuerda a un problema de análisis de varias variables… ¿multiplicadores de Lagrange?
HM2P33 | 17 de May de 2011 | 05:15

Tambien lo he estado pensando y dejo mi pequeño aporte algebraico (totalmente trivial a mi parecer) pero por si a alguien le sirve o quiere construir de el aqui le va la ayuda:

$a^2 + b^2 = 99^2 + c^2$

Sumando $2 a b$ a ambos lados de la ecuación tenemos:

$(a + b)^2 - c^2 = 99^2 + 2 ab$

realizando la diferencia de cuadrados se puede obtener:

$a + b + c = \frac{99^2 + 2 ab}{a+b-c}$

Eso al menos hace aparecer el $a+b+c$ , no es mucho, pero si alguien le saca provecho, bienvenido. Yo voy a tratar de seguir avanzando.
Luis | 18 de May de 2011 | 18:43

Lo pongo bien, no sé por qué al editar el mensaje, el sistema omite los carácteres “\”.

Tengo algo:

Curiosamente ayer, antes de acostarme, como si estuviera resolviendo el típico sudoku que aparece en el periódico local, me puse a re-pensar este problema. Surgió lo siguiente:

Notemos que:

$a^2+b^2=c^2+99^2$

Implica que:

$2a^2+2b^2=2c^2+2\cdot 99^2$

$2a^2+2b^2+2ab-2ab=2c^2+2\cdot 99^2+198c-198c$

$(a+b)^2+(a-b)^2=(99+c)^2+(99-c)^2$ . (1)

Y recíprocamente, (1) implica que $a^2+b^2=c^2+99^2$ .

Entonces, si asumimos que $a, b, c$ son impares, se tiene que existen enteros positivos $m,n,h,k$ tales que:

$m+n=a \; \wedge \; m-n = b \; \wedge \; h+k=99 \; \wedge \; h-k=c$ .

Es decir que:

$(m+n)^2 + (m-n)^2 = (h+k)^2 + (h-k)^2$

Pero, por lo que vimos, se tiene que:

$m^2+n^2 = h^2 + (99-h)^2$ .

Creo que a partir de acá quizá puede ser más fácil usar algunas desigualdades.

Además, se tiene que $a+b+c = 99+2(m-k)$ con lo cual el valor a maximizar o minimizar es $m-k$ .
JJGJJG | 14 de November de 2011 | 02:00

Con un poquito de aritmética elemental podemos tratar de acotar la suma mínima.
El mínimo valor para c es 1.
La suma de a^2 + b^2 tiene que ser, por lo menos 99 x 99 + 1 = 9802.
La suma de dos números cuya suma de cuadrados tiene valor fijo es menor cuanto más distintos sean entre sí, es decir, cuanto mayor sea el mayor y menor sea el menor.
El mayor valor que podemos tomar para a es 98 (ya que el enunciado exige que sea entero y menor que 99) luego el cuadrado de b tiene que ser, como mínimo, 9802 – 98 x 98 = 198.
El mínimo entero cuyo cuadrado es superior a 198 es el 15 luego ya tenemos un mínimo para a + b + c = 1 + 98 + 15 = 114 que no está tan lejos del 125 que es el mínimo real.

Para la suma máxima utilizamos criterios similares: Lo máximo que pueden valer a y b es 98 luego lo máximo que puede valer el cuadrado de c es 2 x 98 x 98 – 99 x 99 = 9407 y el mayor número entero cuyo cuadrado es inferior a 9407 es el 96 por lo que la suma máxima es 98 + 98 + 96 = 292 que todavía queda lejos de los 243 reales.

Seguid peleando para reducir el rango.
Jesús C | 14 de November de 2011 | 03:53

Pensemos en un triangulo rectangulo de catetos a y b, y en otro triangulo rectangulo de catetos c y 99. Ambos triángulos tienen la misma hipotenusa, que la podemos ver como el diámetro de una circunferencia.

x^2 + y^2 = r^2, con r=(sqr(a^2+b^2)) / 2

Podemos pintar un triángulo hacia abajo y el otro hacia arriba, formando un cuadrilátero inscrito en la circunferencia. Y ahora ver cómo maximizar minimizar el perímetro del cuadrilátero (a+b+c+99).

Creo que por aquí podemos llegar a algo.
Jesús C | 15 de November de 2011 | 00:46

1- Si hay una errata y sobra el cuadrado del 99…

Dados tres números enteros positivos a,b y c menores que 99 que verifican la ecuación a^2+b^2=c^2+99,hallar el máximo y el mínimo valor de a+b+c.

http://newsgrupos.niuz.biz/es-ciencia-matematicas/1088667-max-y-min-de-b-c.html

2- Y si no hay errata:

http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=8&t=128
Sebas | 20 de November de 2011 | 11:00

Mucho nos hemos lanzado a buscar soluciones de “a”, “b” y “c” (confieso que támbien lo hice con fuerza bruta, hoja de cálculo) cuando se pide a+b+c que resulta que es facil. Me explico, estudio las posibles valores “b+c” (relamente lo hago con “b-c”) para todos los posibles “a” (no son demasiados). A primera vista parece muy pesado pero unicamente se necesita un poco de tiempo para efectuar productos y sumas que se pueden hacer mentalmente.
Ahora veo que es un problema de Olimpiadas, basta saber descomponer en factores primos.
Saludos
Sebas | 23 de November de 2011 | 20:18

Considerando $a\geq b$ tenemos $98\geq a\geq 71$ y $a\geq b>c$
Haciendo $b^2-c^2=99^2-a^2$ de donde (b-c)(b+c)=(99-a)(99+a)
Por ser $99+a > b+c$ necesariamente $b-c > 99-a$ por tanto $99-a < b-c < b+c$ lo que equivale a $99-a<b-c<\sqrt{(99-a)(99+a)}$ .
Con estas condiciones hay que estudiar 28 valores de "a", su estudio es fácil, pongo varios ejemplos;
Si a=97, 99-a=2 y 99+a=196 cuyo producto descompuesto en factores primos es $2^3*7^2$ , este producto descompuesto en dos factores b-c y b+c, con la condición $3\geq b-c\geq 19$ unicamente es posible b-c 4, 8 ó 14, entonces b+c seran 98, 49 ó 28 respectivamente lo que hace a+b+c igual a 185, 146 ó 125
Si a=91 99-a=8, 99+a=190 producto que descompuesto en primos es $2^5*5*19$ , b-c comprendido entre 9 y 38 entonces b-c 10, 16, 20 ó 38 y b+c 152, 95, 74 ó 40 entonces a+b+c 243, 186 ,167 ó 131
Con este razonamiento facilmente vemos que podemos evitar los casos de "a" 74,80,82,92,94 y 98 pues hacen 99+a primo (independiente de que lo sea 99-a) y no hay posibilidad de factores b-c y b+c
El estudiar estos 28 casos de "a" no es complicado, como he apuntado para 6 no hay valores de "b-c", 8 dan valores únicos y los restantes 14 con un minimo de trabajo obtenemos varias soluciones para a+b+c