Menor valor de la suma de cuadrados

Comenzamos esta semana con un problema. Ahí va el enunciado:

Hallar el menor valor posible que toma la expresión a^2+b^2, siendo a y b números reales tales que la ecuación x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 tiene solución real.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Yo diría que la solución es a^2+b^2\geq\frac{4}{5} (si no me he equivocado en los cálculos) y se obtiene para a=-\frac{4}{5} y b=-\frac{2}{5}, pero no desvelaré aún cómo lo he obtenido.

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  2. Con “tiene solución real” te refieres a que todas sus raíces son reales o a que al menos una de sus raíces es real?

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  3. Hay solución real por debajo de alguna de las rectas las rectas b = +/- 2a – 2, si |a| = 4, con ‘a’ en el eje horizontal y ‘b’ en el vertical. Ver:

    http://people.missouristate.edu/lesreid/AdvSol117.html?

    En algún lado debo tener un applet de GeoGebra sobre este problema. a ver si lo encuentro …

    La respuesta es claramente el cuadrado de la distancia al origen de las rectas b = +/- 2a – 2, que puesta en forma general es

    +/- 2a – b – 2 = 0

    por lo que el mínimo de a^2 + b^2 es 2^2/(2^2 + 1^2) = 4/5

    que se obtiene para a = +/- 4/5, b = 2/5

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  4. asumiendo a=0, x^4+b*x^2+1=0, b=(1-n^2)/n, nER+
    d(1/n-n)/dn=0 no existe en R
    lim(1/n-n, n->+inf)=-inf
    lim(1/n-n, n->-inf)=+inf
    lim(1/n-n, n->0)=1/0
    lim(1/n-n, n->+1)=1-1=0

    si n=1 => b=0, y como a=0 => a^2+b^2=0

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  5. sqrt(a^2+b^2)=-(1+x^4)/(sqrt(1-d^2)*x^2+d*x+d*x^3)
    Se busca el mínimo y ya esta

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  6. Se me ocurre ligarlo a un problema de extremos condicionados de la función s(a,b)=a^2+b^2, aunque habría que mirar cómo condicionar a y b de manera que haya raíz Real… ¿alguna idea? Lo miraré con algo más de tiempo, aunque parece que por ahí arriba ya han dado la solución…

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