Mezclando primos con compuestos

El otro día estaba solo en un bar tomando un café. Sin mucho más que hacer, al poco de llegar caí presa del aburrimiento. Pensé en algo, pero mi mente no se encontraba en situación de plena lucidez, por lo que, cual Stanislaw Ulam, comencé a escribir números en una servilleta. Después de un rato escribiendo números paré, ya no me entretenía.

Cuando estaba a punto de arrugar la servilleta y tirarla a una papelera pensé: ¿y si me ha salido algo tipo la espiral de Ulam? Me quedé unos segundos intentando encontrar una disposición concreta de los números que había escrito. No la encontré, pero a cambio me di cuenta de un par de cosas:

  • Todos los números eran enteros positivos.
  • Todos los números eran mayores que 2.

Entonces me puse a contar cuántos primos y cuántos compuestos había escrito en ese papel. Digamos que había m números primos y n números compuestos. Con todo esto se me ocurrió un problemilla, que automáticamente planteé al camarero del bar:

En esta servilleta tenemos escritos m números primos y n números compuestos. Vamos a realizar el siguiente procedimiento:

En cada paso vamos a elegir dos números al azar. Si los dos son del mismo tipo (los dos primos o los dos compuestos), los tachamos y escribimos el número 10 en la servilleta. Si son de tipos distintos tachamos el compuesto.

Evidentemente llegará un momento en el que sólo nos queden dos números, a partir de los cuales obtendremos un último número. La pregunta es:

¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea primo?

Chicos, chicas, a pensar.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Un problema realmente curioso, muy bonito.
    A ver que os parece lo siguiente:

    Después de eliminar todos los números menos tres, tenemos cuatro posibilidades.

    -Que los tres números restantes sean compuestos: con lo que el último númeo será compuesto.

    -Que haya dos compuestos y un primo: con lo que el último número será primo.

    -Que haya dos primos y un compuesto: con lo que la probabilidad de que el último número sea compuesto es de un tercio, y la de que sea primo es de dos tercios.

    -Que haya tres primos: con los que el último número será primo.

    Claro que esto no resuelve nada, ya que no queda claro la probabilidad de cada uno de estos cuatro escenarios.

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  2. Si m es impar la probabilidad es 1, y si m es par 0. (Ya que la cantidad de números primos en la servilleta es siempre de la misma paridad)

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  3. Sinceramente no sé mucho de estas cosas pero mi primera impresión fue:
    – para que quede un sólo número al final, el paso previo es que hayan quedado dos
    – en este caso hay tres combinaciones posibles: primo-primo; primo-compuesto; compuesto-compuesto
    – de las tres, sólo una da como resultado un primo
    – ¿0,33?

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  4. Antonio se me ha adelantado 😉

    Ahora un problema completamente probabilístico (no sería un buen problema de probabilidades si no cambiáramos primos y compuestos por bolas negras y blancas):

    Tenemos una bolsa con m bolas negras y n bolas blancas.

    Las quitamos de dos en dos con orden y consideramos los siguientes casos:

    -Ambas son negras o la primera es negra y la segunda blanca: las sacamos de la bolsa y metemos una negra.
    -Ambas son blancas o la primera es blanca y la segunda negra: las sacamos de la bolsa y metemos una blanca.

    Qué probabilidad hay que la última bola sea blanca o negra en función de m,n?

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  5. Antonio, muy buena.
    Gerard, según mis cálculos la probabilidad de que la última bola sea blanca es \dfrac{n}{n+m}

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  6. La Criba de Ulam permite hallar los números de azar inferiores a un entero dado: el primero es 1; luego en la sucesión de los números enteros se suprime un entero sobre 2, es decir, todos los números pares; el primer número que queda es 3. Se suprime entre los números que quedan un entero sobre 3, es decir, {5,11,17,etc.}. El primer número que queda es 7; se suprime entonces entre los que quedan un entero sobre 7, es decir, {19,39,61,81,etc.}. Se obtiene la sucesión {1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,etc.} de los númerosde azar.
    Por lo demás, estoy de acuerdo con fede y con Sergio.

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  7. si la cantidad de primos es impar la probabilidad es 1 aunque ya es certeza generalmente cuando da 1 no se le llama probabilidad :-p
    porque si nos quedamos con un primo (suponiendo que tomamos los demas primos) tenemos dos posibilidades (primo,compuesto) y (compuesto,compuesto) y eso nos llevara a terminar en un numero primo.
    Si no tomamos todos los primos. Es decir que tenemos varios, esta cantidad sera impar porque siempre restamos 2. Tenemos los 3 casos (primo,primo), (primo,compuesto) y (compuesto,compuesto). Si sale (primo,compuesto) y (compuesto,compuesto) llegaremos al primo. Si sale (primo,primo) volvemos al caso anterior. En caso donde la cantidad de primos es par parece mas complicada…quizas se deba usar probalidad condicionada

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  8. También como dice antonio la cantidad de probalidad es cero en el caso que sea par…ya estaba resulto…casi me pongo hacer probalidad condicionada jajaja
    muy bueno el problema

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