¿Sabía que…

…el número 10^{33} (mil quintillones para los amigos) es la potencia de 10 más grande conocida que puede representarse como producto de dos números que no contienen ningún cero?. En efecto:

1000000000000000000000000000000000=2^{33} \cdot 5^{33}=8589934592 \cdot 116415321826934814453125

Es claro que cualquier número de este tipo debe ser de la forma 2^x \cdot 5^x, ya que si no fuera así alguno de los factores contendría al menos un 2 y un 5 y por tanto sería múltiplo de 10, conteniendo entonces al menos un cero.

Parece ser que lo complicado es encontrar una potencia de 5 que no contenga ceros. Se sabe que 5^{58} no contiene ningún cero, pero al calcular 2^{58} vemos que contiene al menos un cero. Por tanto no nos vale.

Ya tenéis otro reto, aunque éste me parece que es sumamente difícil.

Curiosos datos sacados del libro El prodigio de los números, de Clofford A. Pickover.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Algo no me quedo claro, esa igualdad es cierta? o sea exactamente cierta? que 10^33= 2^33*5^33, porque eso es lo que entendí. Haber mi punto es el siguiente, y que pasa con el teorema de Fermat? ._.

    Saludos

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  2. He probado hasta x = 20000 y, salvo errores en el programa, no hay ninguna potencia de 5 sin ceros entre el 34 y el 10000, y, además, la última potencia de 2 sin ceros en ese rango es 2^{86}

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  3. He probado hasta x = 20000 y, salvo errores en el programa, no hay ninguna potencia de 5 sin ceros entre el 34 y el 20000, y, además, la última potencia de 2 sin ceros en ese rango es 2^{86}

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  4. Perdon por el duplicado, incluso la segunda versión de mi comentario tiene un error. Lo que he podido comprobar es que, hasta 20000 (incluido), la ultima potencia de 2 sin ceros es 2^{86}, y al última de 5 es 2^{58} (esto último coincide con lo que dices en el post)

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  5. Acabo de probar hasta la potencia 50000 de 2 y 5 y nada, los más grandes sin ceros siguen siendo 2^{86} y 5^{58}, el problema es que la complejidad es cuadrática con el limite superior al que se quiere llegar, (al menos con la implementación de fuerza bruta que he hecho) y el programa va cada vez más lento según avanza.

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  6. Hay un pequeño error, aunque irrelevante:
    2^33 no es 8.586.934.592 sino 8.589.934.592

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  7. Creo que las dos potencias que he puesto arriba son casi seguramente las más altas de 2 y 5 que no contienen ceros. Un indicio de esto es el siguiente: si se calculan las potencias de 2, y, para cada potencia se divide el numero de ceros por el numero de digitos, se obtiene una secuencia oscilante pero aparentemente convergente a 1/10. Como es oscilante, podria ser cero en alguna potencia, pero la amplitud de las osiclaciones es pequeña en comparacion con la fraccion, asi que, aunque esto es solo un análisis “estadistico”, parece muy poco probable encontrar una potencias sin ceros para potencias altas……

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  8. Por cierto, el error estaba en:

    «Se sabe que 5^{58} no contiene ningún cero, pero al calcular 2^{58} vemos que contiene al menos un cero. Por tanto no nos vale.»

    En el 2^{58}.

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