Misma área

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera y P y Q los puntos medios de las diagonales BD y AC, respectivamente. Trazamos la recta que pasa por P y es paralela a AC y la recta que pasa por Q y es paralela a BD. Esas dos rectas se cortan en un punto O.

Por otro lado, sean X, Y, Z y T los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA, respectivamente. Si unimos O con X, Y, Z y T se forman cuatro cuadriláteros, a saber: OXBY, OYCZ, OZDT y OTAX. Probar que estos cuatro cuadriláteros tienen la misma área.

Que se os dé bien.

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7 comentarios

  1. Sebas | 23 de mayo de 2011 | 13:54

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    XYZT es un paralelógramo, cada uno de sus lados divide a los cuadriláteros a estudiar en dos triángulos de bases comunes, ygualdad de dases con sumas de rectas…..
    Seguiré despues de que pase mas tiempo ………

  2. vayapordios | 23 de mayo de 2011 | 17:55

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    Me ha salido a mi, así que deduzco que no hay comentarios porque “es trivial”.

  3. Sebas | 23 de mayo de 2011 | 18:05

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    Efectivamente, creía que el resolverlo me quitaría la espina del a^2+b^2=99^2+c^2, pero al no ser así tengo que admitir que es elemental
    Para mi sigue pendiente el anterior
    Saludos

  4. Ignacio Larrosa Cañestro | 23 de mayo de 2011 | 18:16

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    Una consecuencia colateral interesante es que los cuatro triángulos determinados por o y los cuatro vértices del cuadrilátero tienen la misma área dos a dos (los opuestos en O).

  5. fede | 26 de mayo de 2011 | 11:01

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    Bonita partición del cuadrilátero, parece que publicada por primera vez en 1841 en el “Diario de Crelle” (Journal für die reine und angewandte Mathematik), en artículo remitido por Brune.

    Figura:
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002142791

  6. josejuan | 26 de mayo de 2011 | 13:57

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    ¡Maño! ¿y como has llegado ahí? :)

  7. gaussianos | 26 de mayo de 2011 | 23:25

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    josejuan, te garantizo que fede es una caja de sorpresas…

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