Movimiento sobre puntos racionales

Hoy martes os traigo el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sea P el conjunto de puntos de \mathbb{R}^n que cumplen que todas sus coordenadas son números racionales. La cuestión es que queremos movernos entre esos puntos, pero vamos a poner una restricción a este movimiento: sólo podemos movernos de un punto a otro si están a distancia 1. Es decir:

Dados A,B \in P, podemos movernos desde A hasta B siempre que el segmento AB tenga longitud 1.

En estas condiciones, demostrar que desde un punto cualquiera de P, digamos M, se puede llegar a cualquier otro punto de P, digamos N, en un número finito de movimientos si y sólo si n \ge 5, es decir, si estamos trabajando en \mathbb{R}^5 o superior.

En particular, este resultado nos dice que ni en el plano ni en el espacio tridimensional (ni siquiera en cuatro dimensiones) podemos viajar de esta forma de todo punto racional a cualquier otro.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

28 Comentarios

  1. Dios! que interesante cuestión, no la conocía!

    Si es cierta es interesante… a ver como se demuestra, bueno en \mathbb{R}^1 es fácil ver que no se cumple xD
    Muchas gracias por darla a conocer.

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  2. Tengo una duda. Cuando el enunciado refiere a moverse de M a N en un número finito de movimientos, ¿se refiere a que entre M y N hay movimientos de distancia uno, pero no sólo uno posible? ¿O se refiere a que se puede construir un ‘camino’ de M a N pasando por puntos intermedios con movimientos de distancia uno entre éstos? Gracias.

    *(lo estoy intentando mediante espacios afines y variedades lineales)

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  3. Sebastián, significa que se puede construir un camino de M a N pasando por puntos intermedios donde todos los movimientos se han entre puntos a distancia 1 (no podemos ir directamente de un punto a otro si no están a distancia 1).

    ¿Alguna duda más? 🙂

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  4. (4) Este problema se ve muy interesante! Ademas creo que se adaptaria muy bien a intentar una “solucion colaborativa” al estilo que propusieron Tim Gowers y Terry Tao con los problemas “polymath”. Os parece interesante la idea?

    De momento, voy a hacer mi colaboracion parcial de esa manera (numero mi comentario como 4 por si alguien lo cita despues).

    Primera observacion obvia, es que basta con probar (sin perdida de generalidad) que se puede alcanzar cualquier punto P comenzando desde el origen de coordenadas.

    Como dice jbgg en (1) es obvio que para n=1 comenzando desde el origen solo se pueden alcanzar los enteros, o dicho de otra manera, desde un numero real se puede llegar a otro si y solo si la diferencia entre ambos es un entero.

    El problema es mas interesante para el caso n = 2, desde el punto (0,0) podemos saltar al punto (a,b) si y solo si a^2 + b^2 = 1. Reescribiendo a, b como fracciones y eliminando denominadores obtenemos que cada salto valido se corresponde con una terna pitagorica, y los puntos alcanzables desde el origen son los que se pueden obtener como suma de fracciones obtenidas a partir de ternas pitagoricas. El siguente paso es usar la parametrizacion conocida de estas ternas para obtener una caracterizacion mas explicita.

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  5. Al leer a (4) he tenido una idea, que solo hace falta demostrarlo para puntos contenidos en la hiperesfera de radio 1 y centro en el origen de coordenadas.

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  6. Respecto a (7) Felix, muy cierto! Partiendo de tu simplificacion podemos hacer otra similar: quedarnos con el hiper-cubo de arista con longitud 1 y vertices opuestos en (0,0,\dotsc, 0) y (1,1,\dotsc, 1), que hablando en plata significa que podemos ignorar la parte entera de las coordenadas y quedarnos solo con la parte decimal (vista como un numero positivo).

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  7. (9) Otra idea que he tenido, que no tiene en cuenta la simplificacion anterior: si podemos llegar desde el origen hasta P y podemos llegar desde el origen hasta Q, entonces tambien podemos llegar desde el origen hasta el punto P+Q. Ademas es evidente que si podemos ir a P, haciendo los mismos saltos con signo opuesto podemos llegar a -P, por lo que el conjunto de puntos alcanzables desde 0 es un subgrupo aditivo de \mathbb{Q}^n.

    Como todos los “vectores basicos” son alcanzables en un unico paso, esto nos da una condicion suficiente para resolver el problema: Basta demostrar que si podemos llegar al punto P, entonces tambien podemos llegar al punto \lambda P donde $\latex \lambda$ es un racional positivo.

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  8. (10) Juntando (9) con (7), para resolver el problema basta con demostrar que desde el punto (0,0,\dotsc, 0) podemos llegar al punto (\frac{a}{b},0,\dotsc, 0) donde \frac{a}{b} es un racional menor que 1.

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  9. (11): Respecto a (10) , si (a,c,b) forman una terna pitagórica, entonces se puede llegar con un solo paso dese el origen hasta (a/b,0,0,0,0) porque pasa por (a/2b,a/2b,a/2b,a/2b,c/b).Sobre las dimensiones, por inducción, solo hace falta probar que la propiedad buscada se cumple para n=5 y no para n=4.

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  10. (12) Una simplificacion mas: supongamos que b = mn donde m y n son primos entre si, entonces por la identidad de Bezout existen u,v tales que 1 = um + vn, por lo que a = uma + vna y podemos escribir \frac{a}{b} = \frac{uma + vna}{mn} = \frac{ua}{n} + \frac{va}{m}, como consecuencia, basta demostrar el resultado para puntos de la forma (\frac{a}{q},0,\dotsc, 0) donde q = p^e es una potencia de un primo.

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  11. (12)

    Sobre lo que se ha dicho en (10), basta ver que desde el origen (0,0,…,0) podemos llegar al punto (1/n, 0, …, 0) para todo n natural, y así, por simetrías y repeticiones siempre podremos alcanzar cualquier punto racional.

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  12. (14)

    El anterior mio, que pone (12), es el (13). Que rapidos soys!

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  13. (15) Partiendo de (13), creo que la clave (y de aqui debe venir la necesidad de tener dimension mayor o igual a 5) debe estar en el teorema de los cuatro cuadrados: todo natural n puede escribirse como suma de 4 cuadrados n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

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  14. (16) Creo que tengo el paso final para dimension 5 o superior. Usando (13) y anteriores, basta obtener el punto (\frac{1}{n}, 0, 0, 0, 0) (si la dimension es superior a 5 ponemos mas ceros al final en todos los pasos). Aplicando el teorema de los cuatro cuadrados al numero (2n)^2 - 1 obtenemos (2n)^2 - 1 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2, que re-escrito queda 1 = \frac{1}{(2n)^2} + \frac{a^2}{(2n)^2} + \frac{b^2}{(2n)^2} + \frac{c^2}{(2n)^2} + \frac{d^2}{(2n)^2}, por lo que la transformacion (0,0,0,0,0) \longmapsto (\frac{1}{2n}, \frac{a}{2n}, \frac{b}{2n}, \frac{c}{2n}, \frac{d}{2n}) es valida. Desde este punto aplicamos la misma transformacion cambiando los signos en todas las coordenadas menos en la primera, y tenemos (\frac{1}{2n}, \frac{a}{2n}, \frac{b}{2n}, \frac{c}{2n}, \frac{d}{2n}) \longmapsto (\frac{1}{n}, 0, 0, 0, 0), como queriamos demostrar.

    Ahora solo falta ver que para dimension 2, 3 y 4 existen puntos que no se pueden alcanzar.

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  15. (17) Y si lo ponemo todo en una sola demostracion?
    Es un poco dificil seguir la pista.

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  16. (18)

    (16), creo que tienes toda la razón. Con esto sólo falta demostrar que existe algún punto racional de R^4 que no se puede alcanzar mediante sucesivas iteraciones… quizás con clases de equivalencia?

    (17), cuando esté completa, lo resumimos. De momento está demostrado el caso n=5, 6, …, básicamente tienes que mirar (16), que es donde está la “chicha”.

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  17. (19)
    La misma demostración de (16) es valida en dimensión 4 (resp 3, 2) para obtener el punto con primera cordenada \frac{1}{n} siempre que (2n)^2 - 1 se pueda escribir como suma de 3 (resp 2, resp 1) cuadrados, por lo que un primer acercamiento para buscar un punto no alcanzable en dimensión 4 (que ya valdría como contraejemplo para dimensiones 3 y 2) es buscar un n tal que (2n)^2 - 1 no se pueda escribir como suma de 3 cuadrados. Tenemos suerte y el valor más pequeño n=2 ya nos vale porque 15 no puede escribirse como suma de 3 cuadrados, así que me atrevería a conjeturar que el punto (\frac{1}{2},0,0,0) no es alcanzable desde el origen.

    Respecto a (18): si logramos demostrar que existen diferentes clases de equivalencia también habremos terminado, pero como podriamos usar esto de forma efectiva? Durante un rato estuve pensando en considerar las clases como órbitas de la acción del grupo de isometrías generado por traslaciones de longitud 1, pero no se me ocurrió ninguna manera de demostrar que la acción no es transitiva usando este enfoque…

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  18. Precioso problema, y muy divertida la forma en la que la habéis resuelto vengoroso, Pirer y Félix. 😀

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  19. josejuan, todavía queda hallar un contraejemplo para n=4 o probar su existencia,
    y yo, creo que no sabría como hacerlo.

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  20. Para el caso n=2, la teoria de las ternas pitagóricas dice que los puntos racionales a distancia 1 de (0,0) son, en fracciones irreducibles, de la forma ( \dfrac{ a^2-b^2}{a^2+b^2},  \dfrac{2ab}{a^2+b^2})  o ( \dfrac{2ab}{a^2+b^2},  \dfrac{ a^2-b^2}{a^2+b^2})  con a y b primos entre sí y de distinta paridad.
    Por tanto los denominadores de las coordenadas de los puntos racionales alcanzables desde (0,0) son siempre impares.

    La solución completa al problema del post se puede ver en los apartados 2.1 y 2.2 de este artículo:
    http://www.math.uwaterloo.ca/co/graduate-students/files/mmath/Lino-D.pdf

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  21. Gracias fede, parece entonces que el trozo que faltaba era tambien bastante elemental, debe ser que andamos un poco flojos con los calores veraniegos 🙂

    Curioso que la demostracion del articulo para la conectividad con n\geq 5 es virtualmente identica a la que hemos encontrado aqui…

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  22. Precioso problema. Me encantan estos resultados que dependen de la dimensión!

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  23. Acabo de ver el enpace por twitter, y me ha parecido muy interesante, aqui en casa he llegado a una solución y me gustaría saber si es correcta

    Empiezo por la simplificacion de que vale con demostrar que se puede llegar desde el origen a cualquier punto P
    Aplico un cambio de coordenadas, con el que me queda que solo tengo que demostrar que puedo llegar a los vectores de tipo (v^2,0,0,…,0) pues así mantengo el módulo pero le cambio las coordenadas por simplificar.
    Dado que v^2 es racional se puede poner como a/b y dado que podemos simplificar a puntos con parte entera nula (se llega a ellos trivialmente con vectores del tipo (1,0,0,0,…,0)) supongo a/b<1, voy a decir que se puede llegar con un numero par de movimientos pues al tener que ser el modulo de los movimientos 1 puedo anular el resto de componentes de mi vector con vectores iguales de signos opuestos repetidos n veces cada uno y la primera componente de cada vector sera a/(2bn) por lo que las otras componentes de mis vectores seran +-(x_i)/(2nb)
    Ahora para que sean de modulo 1 [a^2+suma(x_i^2)]/(2nb)^2=1
    Luego suma(x_i^2)=(2nb)^2-a^2 que podría ser cualquier numero natural, de ahi que hagan falta 5 dimensiones, pues asi nos quedan 4 cuadrado en el lado izquierdo de la igualdad, y por el teorema de los cuatro cuadrados podremos formar cualquier numero natural.

    Lo que mas me preocupa es que al deshacer el cambio de coordenadas los vectores calculados en estas dejen de ser racionales, a parte de poder haberme equivocado en algun calculo

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    • Vale con el cambio de coordenadas me he equivocado porque el modulo no tiene por que ser racional, sin embargo me parece que se puede llegar descomponiendo el vector en vectores con una unica componente no nula de valor el de su homologa en el vector de destino y ahora si apricar el metodo que sigo para la primera componente del vector nombrado en el comentario anterior

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      • Tu cambio de coordenadas debería mantener las distancias. Sin embargo, éstas pueden ser irracionales, con lo que te quedaría una única coordenada irracional.

        Por ejemplo, si debes ir de (0, 0) a (1, 1), después del cambio de coordenadas deberías moverte de (0, 0) a (sqrt(2), 0).

        Saludos,
        Pedro.

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