Múltiplo de 37 (II)

Hace un tiempo vimos que podemos saber de una forma relativamente sencilla si un número cualquiera era múltiplo de 37. Hoy os traigo uno de los ejercicios de mi examen de Oposición de este año 2006 relacionado con múltiplos de este número. Ahí va:

Probar que la diferencia (27^4)^9-(25^3)^6 es múltiplo de 37

En principio puede parecer complicado, pero no lo es tanto. De hecho en este mismo blog se pueden encontrar posts en los que aparecen las herramientas que necesitamos, y hasta hay un post en el que podemos encontrar la clave del ejercicio. Evidentemente no voy a decir por ahora cuáles son, os dejo buscar. Ánimo y a por él, que no es tan difícil.

Como siempre dejaremos un tiempo para que lo resolváis. En ese caso actualizaremos el post con la solución que se haya dado, además de publicar la mía si es que es distinta a las vuestras.

Y otra cosa: si encontráis algún juego de todos los que hemos publicado en el blog que no tenga publicada su solución avisad en un comentario y la pondremos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Voy a orientar un poco a la gente, creo que este problema está algo relacionado con la teoría de números.

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  2. Al principio no me salía (no recordaba “las reglas”, jeje)… pero haciendo pruebas con otros números más pequeños y haciendo caso a las indicaciones de neok se encuentra la solución muy fácilmente. ;)

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  3. 27 al cuadrado es 26 en módulo 37.
    27 al cubo es (26·27) = 36 = -1 en módulo 37

    25 al cuadrado es 33 en módulo 37
    25 al cubo es (33·25) = 11 en módulo 37
    25 al cubo es (11·25) = 16 en módulo 37

    25 a la novena es 36 = -1 en módulo 37

    Luego:
    (274)9 – (253)6 =
    = (273)12 – (259)2 =
    = (-1)12 – (-1)2 = 0 en módulo 37 (es múltiplo de 37)

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  4. Los exponentes no me han salido como tales, please, corregidlo en mi comentario ;-)

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  5. Si p es primo, entonces a^(p-1) es congruente con 1 modulo p (por ser Zp con la adicion un grupo de orden primo)

    37 es primo y:
    ((27)^4)^9= (27)^36 = 37n + 1
    ((25)^3)^6= (5)^36 = 37m + 1

    entonces:
    27^4^9-25^3^6= 37n + 1 – 37m – 1= 37(n-m)

    Lo q queda pendiente es del juego de la cuerda y el gusano, que alguien me explique por que dos funciones con “velocidades equivalentes” como ser dos rectas de distintas pendientes se cortan en el infinito.

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  6. La clave está en lo que comenta Alejandro. Eso se deba al pequeño teorema de Fermat, del que ya nos habló neok. Esa era la respuesta que yo tenía y veo que coincide con la tuya.

    Sobre el gusano y la cuerda creo que ya lo he explicado varias veces. La clave está en que teniendo en cuenta las velocidades de la cuerda y el gusano se cumple que el gusano recorre una distancia infinita de cuerda. Como van a la misma velocidad se tiene que considerando tiempo infinito podemos decir que matemáticamente el gusano alcanza el final de la cuerda.

    Pronto podremos ver un post en el que los infinitos vuelven a jugar una mala pasada a la intuición.

    Saludos :)

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