Múltiplo de 37 (II)
Hace un tiempo vimos que podemos saber de una forma relativamente sencilla si un número cualquiera era múltiplo de 37. Hoy os traigo uno de los ejercicios de mi examen de Oposición de este año 2006 relacionado con múltiplos de este número. Ahí va:
Probar que la diferencia (274)9 – (253)6 es múltiplo de 37
En principio puede parecer complicado, pero no lo es tanto. De hecho en este mismo blog se pueden encontrar posts en los que aparecen las herramientas que necesitamos, y hasta hay un post en el que podemos encontrar la clave del ejercicio. Evidentemente no voy a decir por ahora cuáles son, os dejo buscar. Ánimo y a por él, que no es tan difícil.
Como siempre dejaremos un tiempo para que lo resolváis. En ese caso actualizaremos el post con la solución que se haya dado, además de publicar la mía si es que es distinta a las vuestras.
Y otra cosa: si encontráis algún juego de todos los que hemos publicado en el blog que no tenga publicada su solución avisad en un comentario y la pondremos.
Posts aleatorios
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de November de 2006
Categorías: Juegos | 
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neok | 6 de November de 2006 | 11:19
Voy a orientar un poco a la gente, creo que este problema está algo relacionado con la teoría de números.
mimetist | 6 de November de 2006 | 13:10
Al principio no me salía (no recordaba “las reglas”, jeje)… pero haciendo pruebas con otros números más pequeños y haciendo caso a las indicaciones de neok se encuentra la solución muy fácilmente.
Quatermain | 6 de November de 2006 | 14:27
27 al cuadrado es 26 en módulo 37.
27 al cubo es (26·27) = 36 = -1 en módulo 37
25 al cuadrado es 33 en módulo 37
25 al cubo es (33·25) = 11 en módulo 37
25 al cubo es (11·25) = 16 en módulo 37
…
25 a la novena es 36 = -1 en módulo 37
Luego:
(274)9 – (253)6 =
= (273)12 – (259)2 =
= (-1)12 – (-1)2 = 0 en módulo 37 (es múltiplo de 37)
Quatermain | 6 de November de 2006 | 14:28
Los exponentes no me han salido como tales, please, corregidlo en mi comentario
Alejandro | 6 de November de 2006 | 19:04
Si p es primo, entonces a^(p-1) es congruente con 1 modulo p (por ser Zp con la adicion un grupo de orden primo)
37 es primo y:
((27)^4)^9= (27)^36 = 37n + 1
((25)^3)^6= (5)^36 = 37m + 1
entonces:
27^4^9-25^3^6= 37n + 1 – 37m – 1= 37(n-m)
Lo q queda pendiente es del juego de la cuerda y el gusano, que alguien me explique por que dos funciones con “velocidades equivalentes” como ser dos rectas de distintas pendientes se cortan en el infinito.
discipulodegauss | 6 de November de 2006 | 19:45
Alejandro,buena observacion .
^DiAmOnD^ | 6 de November de 2006 | 23:43
La clave está en lo que comenta Alejandro. Eso se deba al pequeño teorema de Fermat, del que ya nos habló neok. Esa era la respuesta que yo tenía y veo que coincide con la tuya.
Sobre el gusano y la cuerda creo que ya lo he explicado varias veces. La clave está en que teniendo en cuenta las velocidades de la cuerda y el gusano se cumple que el gusano recorre una distancia infinita de cuerda. Como van a la misma velocidad se tiene que considerando tiempo infinito podemos decir que matemáticamente el gusano alcanza el final de la cuerda.
Pronto podremos ver un post en el que los infinitos vuelven a jugar una mala pasada a la intuición.
Saludos