Natural compuesto

Os dejo aquí el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sean $x,y,z$ números naturales tales que $z < x$ y $z < y$ . Demostrar que si la fracción

$\cfrac{xy}{z}$

es un número natural, entonces debe ser compuesto.

Suerte.

22 comentarios

josejuan | 31 de August de 2010 | 08:49

Uhm… tiene trampa ¿no?

Llamemos

$n=\frac{xy}{z}$

Por ser naturales, $z$ , $x$ e $y$ son mayores que el 0.

$x$ e $y$ pueden ser iguales, pero ambas variables mayores que $z$ .

Por ser $x$ > $z$ , sólo caben dos posibilidades:
A. que $x$ sea múltiplo de $z$ .
B. que $x$ no sea múltiplo de $z$ .

Por ser $y$ > $z$ , sólo daben dos posibilidades:
C. que $y$ sea múltiplo de $z$ .
D. que $y$ no sea múltiplo de $z$ .

Como $n$ debe ser natural, la opción BD (simultáneas) no es posibles, pues, siendo el denominador común a dos fracciones irreducibles, su producto también será irreducible. Las opciones AD y BC tampoco son posibles, pues el denominador sigue siendo coprimo de ambos numeradores y por tanto, el producto de un número coprimo con $z$ y una fracción irreducible con denominador $z$ sigue siendo irreducible.

Así pues, sólo queda la opción AC.

En tal caso, ni $\frac{x}{z}$ , ni $\frac{y}{z}$ pueden ser $1$ , es decir, son números enteros mayores que $1$ y por tanto $n$ estará formado por al menos dos factores (caso de que ambas fracciones resulten ser números primos).

¿no?
Imanol Pérez | 31 de August de 2010 | 09:01

Hola:

Respecto a josejuan, las opciones AD y BC sí que pueden ser posibles. Por ejemplo:

Sea $x = 4, y = 3, z = 2$ , entonces $\frac {xy}{z}=\frac {4\cdot 3}{2}=6$ , y 6 es compuesto.
Imanol Pérez | 31 de August de 2010 | 09:17

Podría ser así:

Como ha dicho josejuan, o bien $x$ es múltiplo de $z$ o $y$ es múltiplo de $z$ (o los dos).

Por lo tanto, supongamos que $x$ es múltiplo de $z$ . Por lo tanto, existe un número $k$ tal que $k \cdot z = x$ . De esto podemos sacar que:

$\frac {xy}{z}=\frac{kzy}{z} = ky$ , el cual es un número compuesto.
Imanol Pérez | 31 de August de 2010 | 09:22

Si estoy equivocado díganmelo, por favor.
josejuan | 31 de August de 2010 | 09:23

@Imanol Pérez,

Ciertamente me expliqué fatal, pero el resultado es el mismo.

En los casos AD y BC, el denominador únicamente puede dividir a $x$ O a $y$ , por tanto, seguimos teniendo el producto de dos números enteros que forman los dos factores.

Efectivamente, no es ésto lo que puse, ¡bua!.
Antonio QD | 31 de August de 2010 | 10:34

Buenos Dias

No es necesario que $z$ sea divisor de $x$ o $y$ . Sean

$z_1 = mcd(z,x)$
$z_2=z / z_1$

Entonces podemos escribir

$n=\frac{x \cdot y}{z}=\frac{x}{z_1} \cdot \frac{y}{z_2}$

Como $x > z$ , también se cumple que $x > z_1$ ; asimismo, como $y > z$ , también se cumple que $y > z_2$ .

Ya está casí demostrada la afirmación.

Sea $a=\frac{x}{z_1} \in \mathbb {N}$ y $a > 1$ .

Además, como $n \in \mathbb{N}$ , se debe cumplir que $z_2 | y$ (esta afirmación es cierta, si alguién necesita que se desarrolle su demostración que lo diga) y que

$b=\frac{y}{z_2} \in \mathbb {N}$ y $b > 1$

por tanto

$n = a \cdot b$ y es compuesto.

En todo el razonamiento se ha supuesto que ninguno de los naturales es igual a $0$ .
josejuan | 31 de August de 2010 | 10:54

Muy bueno @Antonio QD,

si ya decía yo que tenía truco…
Trackback | 31 Aug, 2010

Bitacoras.com
lucagali | 31 de August de 2010 | 13:49

Yo he hecho lo siguiente:

Supongamos que $xy/z = p$ con p primo. Entonces es claro que p debe dividir a x o a y. Por ejemplo, pongamos que $x = p \cdot t$ . Así, $pz = xy = pty$ y tenemos $z = ty$ . Pero entonces $y > ty$ , lo cual es absurdo, así que no puede ser primo.
Antonio QD | 31 de August de 2010 | 14:13

Me gusta la segunda demostración por reducción al absurdo. Me parece extremadamente elegante.
Truco | 31 de August de 2010 | 16:54

lucagali, ¿por qué p debe dividir a x o a y?
lucagali | 31 de August de 2010 | 17:22

Truco, como $xy = pz$ , p divide a xy. Por tanto, p aparece en la factorización de xy, pero en esta factorización aparecen unicamente los primos de las factorizaciones de $x$ y de $y$ . Así que p debía de proceder de una de las dos (o de las dos).
Serabe | 31 de August de 2010 | 17:29

Truco, porque p es primo.
Sive | 31 de August de 2010 | 19:17

Lo bueno de la demostración de lucagali, aparte de su simplicidad, es que demuestra que basta con que z no sea múltiplo ni de x ni de y, para que el enunciado sea correcto.
Nick Mc Core | 1 de September de 2010 | 00:25

¿No se abran equivocado al planter el problema? Esto es el Teorema de Euclides en una funcion mas basica y tal vz no lo era
hernan | 1 de September de 2010 | 05:41

Puede verse también por descomposición en factores primos. Supongamos que el cociente da un primo: eso implicaría que el denominador $z$ cancela todos los factores primos menos uno del numerador; pero entonces debe cancelar todos los factores primos de $x$ o de $y$ . Pero eso no puede ser porque $z<x$ y $z<y$ .
ferran | 1 de September de 2010 | 14:05

Si, estoy en la línea de hernan y lucagali, he tratado de demostrarlo por contradicción. Supongamos que el cociente es igual a un p primo, entonces z no puede ser primo por enunciado, luego el producto x.y se podrá expresar de tantas formas como divisores tenga z, pero los divisores de z son menores que z, luego o x, o y, o ambos son menores que z, lo cual está en contradicción con el enunciado, luego el natural debe ser compuesto.
Saludos
Antonio QD | 1 de September de 2010 | 15:28

@fernan

El enunciado no dice que z no puede ser primo.

Creo que elaborando un poco más la demostración puedes terminarla; pero me parece que sería equivalente a la de lucagalli. Demostraría que x o y deberían ser menor que z lo que por el enunciado del problema es falso.

Un Saludo
ferran | 1 de September de 2010 | 16:36

Antonio, gracias por el comentario, que z no es primo lo deduzco yo de la propia suposición: si x.y/z= p, entonces z no puede ser primo porque si z fuese primo o x, o y =z lo cual también está en contradicción con el enunciado. Pero deberia haber dicho que los divisores de z son menor o igual que z. (Que para el caso es lo mismo)
Saludos
Antonio QD | 1 de September de 2010 | 17:33

Cancelado por el autor.
searva | 1 de September de 2010 | 22:07

si x = za, y = zb (siendo a,b > 1) entonces xy/z = zab todas la combinaciones que hacen zab un número natural hacen además que el resultado sea compuesto xb ó ya (o bien es múltiplo de x o bien es múltiplo de y). no?
Vallejo | 7 de September de 2010 | 12:53

Quizá ya pusieron la respuesta, pero ya han pasado 24 horas…
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Se van eliminando proposiciones al componerlas con el XOR : Si una es verdadera, entonces su acompañante es falsa. La proposición final es del tipo (A xor B) y (C xor D) y… De ese modo, se encuentran contradicciones que te quitan componentes de las proposiciones XOR.
Además, es necesario analizar los cuadrados hasta 100 y los cubos hasta 1000 y te quedas con que el número es ((3^2)^3) + 1 = ((3^3)^2) + 1
cuadrado y cubo perfectos más uno.
¡Es curioso que ningún cuadrado inferior a 100 contenga un 7!
Por otra parte hay que demostrar que el producto de dos impares es impar (casi trivial).
¡Es muy interesante la combinación de lógica con el cálculo aritmético!