Ni Newton ni Leibniz

Este artículo ha sido promovido para aparecer en la portada de Menéame: Si te ha gustado y quieres votarlo entra en este enlace y haz click en Menéalo.

Introducción

La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.

Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.

El método de la tangente

Lo que estudió exactamente Fermat fue el cálculo de los máximos y mínimos de curvas polinómicas (y=p(x), con p(x) un polinomio) a través del análisis de los puntos donde la recta tangente a dicha curva es paralela al eje de abscisas, es decir, horizontal. En un tratado titulado Methodus ad disquirendam maximan et minimam (que, evidentemente, no publicó en vida), Fermat expliacaba en qué consiste el método de la tangente:

Partimos de una curva polinómica y=p(x). Supongamos que en el punto x=a la curva tiene un extremo (máximo o mínimo), digamos b=f(a). Fermat sustituye x por a+h (os suena, ¿verdad?), donde h es una variable auxiliar. Como p(x) es un polinomio podemos desarrollar p(a+h), obteniendo así lo siguiente:

p(a+h)=p(a)+h \cdot A(a) + \ldots + h^n \cdot Q(a)

donde A(a), \ldots Q(a) son ciertas expresiones dependientes de a.

Ahora las cantidades p(a) y p(a+h) se hacen adiguales, algo así como tan próximas como sea posible (¿a qué suena eso?). Simbolizando adigualar con el símbolo (=), obtenemos lo siguiente:

p(a) (=) p(a) + h \cdot A(a) + \ldots + h^n \cdot Q(a)

Cancelando p(a) llegamos a:

h \cdot A(a) + \ldots + h^n \cdot Q(a) (=) 0

Sacando h factor común obtenemos que h=0 es una solución de dicha ecuación.

Y aquí viene la idea clave del razonamiento de Fermat: en un extremo, la paralela al eje de abscisas corta a la curva con multiplicidad dos. Como en un extremo la paralela al eje de abscisas es la tangente a la curva en dicho punto, entonces la tangente corta a la curva en un extremo con multiplicidad dos. ¿Por qué?

Si x=a es un extremo, entonces para puntos cercanos al punto a la paralela al eje de abscisas corta a la curva en dos puntos. Si nos acercamos al punto a, al llegar a él esos dos puntos de corte se confunden en uno. Es decir, tenemos una solución (el punto de corte) que aparece dos veces, o sea, con multiplicidad dos.

¿Qué significa esto? Pues que h=0 debe ser una solución doble de la ecuación anterior. Para que esto pase debe ser A(a)=0 (para poder volver a sacar factor común h). Lo interesante es observar ahora que A(a) es exactamente f^\prime (a).

Vamos a ver un ejemplo de la aplicación de este método. Este ejercicio es el que utilizó el propio Fermat para explicar su método:

Dividir un segmento de longitud b en dos partes de forma que el producto de las longitudes de las mismas sea máximo

Si el segmento tiene longitud b, una de las partes tendrá longitud x y la otra longitud b-x. El problema trata de hacer máximo el producto de esas dos cantidades, es decir, de calcular el máximo de la siguiente función:

f(x)=x(b-x)

Según el método sustituimos x por x+h. Queda:

f(x+h)=(x+h)(b-x-h)

Ahora adigualamos:

x(b-x) (=) (x+h)(b-x-h)

Al operar obtenemos

xb-x^2 (=) xb -x^2-xh+hb-hx-h^2

de donde eliminando los términos comunes llegamos a:

h(b-2x)-h^2 (=)0

Simplificando una h queda:

b-2x-h (=)0

Y ahora, como h=0 debe ser solución al menos doble (básicamente, esto es hacer límite cuando h \to 0) obligatoriamente debe ocurrir que b-2x=0. De donde obtenemos el extremo:

x=\cfrac{b}{2}

que precisamente el punto donde la función inicial tiene su máximo.

Consideraciones finales

Aunque el desarrollo más profundo sí que pertenece a Newton y Leibniz, el hecho de que Fermat iniciara este desarrollo con su Método de la tangente debería suponer que su nombre apareciera junto a los de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz como responsables del descubrimiento del Cálculo. De hecho no sólo merece dicho reconocimiento por este método, ya que no fue su única aportación al Cálculo. Fermat también desarrollo un método para el cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva para ciertos tipos de curvas y realizó estudios sobre el cálculo del área encerrada entre una curva y una recta, llegando a desarrollar un método similar a la integral de Riemann, esto es, dividir el la región de la que se pretende calcular el área en rectángulos, sumar las áreas de éstos y aplicar límite después. De hecho, como Fermat no disponía del concepto de límite tuvo que sacar su ingenio para que las áreas de los rectángulos siguieran cierta regularidad, para poder así realizar el cálculo.

Por todo ello, la omisión del nombre de Fermat al tratar este tema constituiría una ofensa tanto al jurista francés como a la propia Historia.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

  1. tu articulo es increible si fueras tan amable de pasarme este tipo de informacion (historia de las matematicas) te lo agradeceria mucho

    Publica una respuesta
  2. Sería muy bueno tener una historia algo detallada de la gran alumna de Kal Weierstrass, Sophie Kovalevsky.
    El estudio que realizó Fermat fue muy interesante ya que ahora, a través del cálculo de valores máximos y mínimos, podemos tener una imaginación más amplia de la forma típica de funciones polinómicas. Inclusive a través del criterio de la primera derivada podemos encontrar si esa función decrece o crece en un determinado intervalo de continuidad.
    😀

    Publica una respuesta
  3. me explica algun link o libro digital que me permitiera conocer este tipo de detalles de la historia de las matematicas de cualquier campo en cuestion te lo agradeceria mucho

    Publica una respuesta
  4. Es sabido que el mismo descubrimiento puede darse en culturas separadas por el espacio-tiempo, desconociendo cada autor la existencia del trabajo del otro. Las culturas aisladas tienden a creer que todos los descubrimientos surgen de sus entrañas. Los historiadores serios finalmente pondrán cada cosa en su lugar.
    Otra cosa es el robo, el cual no debe quedar impune.

    Publica una respuesta
  5. Considero que este comentario es muy acertado y claro, pero falta anotar quien muere primero, y que pendientes dejo por despejar, ejemplos mas claros.

    Publica una respuesta
  6. He oído que Fermat no fue un matemático, sino un aficionado a las matemáticas. Mejor dicho; fue el mejor aficionado a las matemáticas que jamás existió.
    Me parece fascinante que estuviese a punto de comprender el cálculo.
    Y como han dicho antes si conocéis algún texto que cuenten las vidas de estos grandes matemáticos sin que uno tenga que ser un genio para leerlo, ¿pudierais anotarlos?

    Publica una respuesta
  7. Les recomiendo la obra “El libro de las cifras: El secreto de los números” por Peter J. Bentley, explica con bastante detalle la historia de las matemáticas, sus autores y como las concibieron.

    Publica una respuesta
  8. “Por todo ello, la omisión del nombre de Fermat al tratar este tema constituiría una ofensa tanto al jurista francés como a la propia Historia.”

    Solo puedo decir: que así es, sin duda.

    Publica una respuesta
  9. Estaría de maravilla que mencionases las fuentes de donde obtuviste la información (ya que dudo que la hayas sacado de la fuente original) y/o que mencionases si es posible descargar “Methodus ad disquirendam maximan et minima” en alguna página de internet.

    Saludos y por cierto, bellísimo artículo.

    Publica una respuesta
  10. Guadalupe, el artículo está sacado principalmente de uno de los trabajos que tuve que realizar en la carrera, pero no dispongo de la fuente. De todas formas posiblemente sea Historia de la matemática, de Carl Boyer.

    Sobre descargar el escrito de Fermat no tengo ni idea. Si alguien encuentra algo que lo comente.

    Publica una respuesta
  11. la cuenta de las derivadas y las integrales está en el libro Mathematics and its History de J Stilwell. Fermat no calculaba la tangente, como hacemos hoy, sino la subtangente… lamentablemente -pero como corresponde ya que hablamos de Fermat- el espacio de los comentarios no es suficiente para subir una imagen que lo demuestre 🙂

    Por otro lado, para ser justos con Leibniz y Newton, hay que aclarar que los métodos de Fermat sólo valen para curvas algebraicas, y que la idea de calcular las tangentes también la habían desarrollado Descartes, y otros antes que ellos.

    El gran avance de Leibniz y Newton es extenderlo para curvas trascendentes.

    Publica una respuesta
  12. Os recomiendo la colección “la matemática en sus personajes” de la editorial Nivola.

    Son libros fáciles de leer hasta para un no-matemático. Según cada autor ha querido (cada libro está dedicado a un matemático y escrito por uno o varios historiadores de la matemática diferente) ha profundizado más o menos en los desarrollos matemáticos correspondiente. El dedicado a FERMAT es un pequeña maravilla pero os recomiendo el dedicado a EULER.

    Saludos

    Publica una respuesta
  13. Es sabido que los Normandos (Vikingos) han estado en America antes que Colon, sin embargo, el descubrimiento de America se le atribuye al Gran Almirante, la razón es que Colon ha documentado el descubrimiento, y por lo tanto, a los ojos de la historia, de él es el credito.
    Creo que el caso de Fermat vs. la dupla Newton-Leibniz es un caso mas o menos analogo pues Fermat no ha publicado sus trabajos, y por tal razón, a los ojos de la historia la disputa sigue siendo entre Newton y Leibniz.

    Publica una respuesta
  14. Muy bueno el analisis, aunque si en sentido estricto se habla sobre las bases del cálculo; debemos de mencionar a Demócrito, quien fue el primero en sentar las bases del calculo infinitesimal, al tratar de calcular el área de un cono diviendolo en un número infinito de laminas rectangulares.
    Demócrito en ese sentido sería el primero en sentar las bases del cálculo.
    Yo me quedo con Leibniz por desarrollar el cálculo a otro nivel.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Twitter Trackbacks for Ni Newton ni Leibniz | Gaussianos [gaussianos.com] on Topsy.com - [...] Ni Newton ni Leibniz | Gaussianos gaussianos.com/ni-newton-ni-leibniz – view page – cached * 1 en Pierre de…
  2. Ni Newton ni Leibniz - [...] Ni Newton ni Leibniz gaussianos.com/ni-newton-ni-leibniz/  por mezvan el 03:54 UTC [...]
  3. Fermat y los orígenes del cálculo diferencial « La aventura de las matemáticas - [...] Ni Newton ni Leibniz, gaussianos.com [...]
  4. El problema de De Beaune, uno de los primeros que resolvió el Cálculo - Gaussianos | Gaussianos - [...] cálculo de tangentes, que consiste en calcular la recta tangente a una función dada en un punto. Fermat ya…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *