Ni un número más

Hoy os traigo el problema de la semana, que llega algo más tarde de lo habitual. Ahí va:

El conjunto A=\{2,5,13 \} tiene la propiedad de que para todo a,b \in A, con a \ne b se cumple que ab-1 es un cuadrado perfecto:

\begin{matrix}2 \cdot 5-1=9=3^2 \\ 2 \cdot 13-1=25=5^2 \\ 5 \cdot 13-1=64=8^2 \end{matrix}

Demuestra que si añadimos cualquier otro número entero positivo m a nuestro conjunto A, entonces el conjunto resultante B=\{2,5,13,m \} no tiene la misma propiedad.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

36 Comentarios

  1. Supongamos que existe un tal m. Debe ser

    2m – 1 = p^2
    5m – 1 = q^2
    13m – 1 = r^2

    con p, q y r enteros, p < q m impar ===> q, r pares

    Restando las dos últimas, tenemos que

    8m = r^2 – q^2 = (r + q)(r – q)

    Si r y q son múltiplos de 4, resulta 8m múltiplo de 16, lo que es imposible, pues m es impar.

    Si r y q son iguales a 2 (mod 4), r + q = r – q = 0 (mod 4) y nuevamente 8m es múltiplo de 16.

    Si r = 2 (mod 4) y q = 0 (mod 4), o viceversa, uno de ellos es 2 ó 6 (mod 8) y el otro 0 ó 4. Entonces su suma es igual a 2 y su diferencia a 6 (mod 8) o viceversa, con lo que su producto es igual a 4 (mod 8), y no puede ser igual a 8m. Por tanto, no puede existir tal m.

    Nota: Ya se que según las últimas normas de la RAE, no hay que acentuar la ‘o’ entre números, pero a mi me sigue pareciendo más claro …

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  2. Supongamos que existe m. Entonces 2m-1 es cuadrado, y como es un cuadrado impar 2m-1 = 1 (mod 8); m = 1 (mod 8).
    Ahora 5*(8k+1)-1 = 4*(10k+1), y para que eso sea un cuadrado 10k+1 debe serlo también. De nuevo como es impar
    10k+1=1 (mod 8)
    10k=0 (mod 8)
    k=0 (mod 4) i.e. k=0 ó k=4 (mod 8)
    Por otro lado 13*(8k+1)-1=4*(26k+3), y siguiendo el argumento anterior
    26k+3=1 (mod 8)
    26k=6 (mod 8)
    2k=6 (mod 8)
    k=3 (mod 8)

    Y llegamos a una contradicción.

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  3. Antes desapareció alguna línea. A ver ahora:

    Supongamos que existe un tal m. Debe ser

    2m – 1 = p^2
    5m – 1 = q^2
    13m – 1 = r^2

    con p, q y r enteros, r > p > q. De la primera, p debe ser impar, por lo que

    2m = p^2 + 1 = 2 (mod 4) ===> m impar ===> q, r pares

    Restando las dos últimas, tenemos que

    8m = r^2 – q^2 = (r + q)(r – q)

    Si r y q son múltiplos de 4, resulta 8m múltiplo de 16, lo que es imposible, pues m es impar.

    Si r y q son iguales a 2 (mod 4), r + q = r – q = 0 (mod 4) y nuevamente 8m es múltiplo de 16.

    Si r = 2 (mod 4) y q = 0 (mod 4), o viceversa, uno de ellos es 2 ó 6 (mod 8) y el otro 0 ó 4. Entonces su suma es igual a 2 y su diferencia a 6 (mod 8) o viceversa, con lo que su producto es igual a 4 (mod 8), y no puede ser igual a 8m. Por tanto, no puede existir tal m.

    Nota: Ya se que según las últimas normas de la RAE, no hay que acentuar la ‘o’ entre números, pero a mi me sigue pareciendo más claro …

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  4. _cronos2: De 2m = 2 (mod 8) solo puedes deducir que m = 1 ó 5 (mod 8). Igualmente, de 2k = 6 (mod 8), no puedes deducur que k = 3 (mod 8), tambien podría ser k = 7 (mod 8).

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  5. Ignacio Larrosa

    Correción menor:

    con p, q y r enteros, r > p > q debe ser r > q > p

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  6. A mi se me ha ocurrido, un poco más enrevesado:

    Suponemos que m es impar:
    ————————————
    p^2=2m-1 impar acabará en 1,5 o 9
    q^2=5m-1 y r^2=13m-1 serán pares y acabarán en 0,4 o 6

    Si suponemos que 2m-1 acaba en 1, entonces será 2n-1=10x+1 con x natural–> m=5x+1 con x par necesariamente. Aplicando eso a 5m-1 y 13m-1 llegamos a que el primero acabará en 4 y el segundo en 2, cosa imposible en un cuadrado. Descarto 2m-1 acabado en 1.

    Si suponemos que 2m-1 acaba en 5 (con que 2m-1=10X+5), llegamos a que la X es par para tener m impar y que 5m-1 acaba en 4 y 13m-1 acaba en 8, cosa imposible para un cuadrado. Por tanto, descarto que 2m-1 acabe en 1

    Suponiendo que 2m-1 acaba en 9 (2m-1=10x+9) se llega a que tanto 5m-1 como 13m-1 acaban en 4, bajo una X obligatoriamente par. Eso podría ser, pero entonces su resta (r^2-q^2) acabará en 0 y por tanto podemos decir que r^2-q^2=(13m-1)-(5m-1)=8m=10Y–> m=10Y/8 que sólo será entero si Y es múltiplo de 8–> m par–> en contra de lo supuesto.

    Luego m no puede ser impar, porque 2m-1 no puede acabar en 1, 5 o 9 bajo esa premisa.

    supongamos m=par.
    —————————-
    p^2=2m-1 impar acabará en 1,5 o 9
    q^2=5m-1 y r^2=13m-1 serán impares también.

    repetimos la metodología de antes.

    si 2m-1 acaba en 1–> sale que 13m-1 acaba en 7 imposible–> lo descarto

    si 2m-1 acaba en 5–> sale que 13m-1 acaba en 3 impsible–> lo descarto.

    si 2m-1 acaba en 9 –> me atasco y llego a que 5m-1 y 13m-1 acaban en 9 también, lo que es coherente con lo supuesto. Y no sé como solventar este escollo. Llevo toda la tarde picado y no he querido recurrir a congruencias porque, entre nosotros, las tengo un asquito que oye…).

    El caso es que con 2x-1=10x+9–> m=5x+5 con x impar llego a que 5m-1 es un número de la forma 25x+24 y 13m-1 es un número de la forma 65x+64, ambos con obligación de x impar. Y entonces no me vale con decir que la resta de estos últimos es un número que acaba en 0 ya que queda 8m=10Y –> m=10Y/8 pero en este caso m par está admitido. ¿alguna sugerencia de cómo solventar este escollo?

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  7. Ignacio Larrosa: Certo, estaba en clase y como me salió del tirón casi no lo revisé. Me gusta tu demostración 🙂

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  8. Ignacio Larrosa. Estoy un poco espeso. ¿puedes aclarar lo de “con p, q y r enteros, r > p > q. De la primera, p debe ser impar, por lo que 2m = p^2 + 1 = 2 (mod 4) ===> m impar ===> q, r pares” ?

    es que con eso salvo mi demostración, (mucho más bruta….)

    pillo lo de la congruencia, pero no que m deba ser impar. Quizás es una bobada pero es que he picado con esto toda la tarde y ahora ya estoy con la mente hecha un lío….

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  9. erosfer: es que si 2m. = 2 (modo 4), tiene que ser m =1 ó 3 (modo 4). No me extiendo, que estoy de viaje con una tablet con la que no me entiendo demasiado bien …

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  10. creo que la congruencia sale de que  p es un numero impar, por lo tanto debe ser de la forma 2n+1 entonces 2m = (2n+1)^2 + 1 = 4n^2 + 4n + 2 y ahi se ve facilmente la congruencia   2m\equiv 2 \pmod{4}

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  11. por lo tanto  m es impar porque la congruencia obliga a un unico factor de 2, que es el coeficiente de m por lo tanto  m es impar

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  12. anda……. fíjate que no era tan difícil. Bueno, pues eso cierra mi demostración. Como m no puede ser par y para m impares he demsotrado que los 2m-1 5m-1 y 13mm-1 no pueden existir, demuestro que no hay tal m posible. MOLA.

    gracias por la ayuda!!!

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  13. perdonad, pero no entiendo cuando ponéis mod 8, mod 4… que significa? Gracias!

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  14. Daremos una demostración por reducción al absurdo.

    Suponemos que el conjunto B cumple con la propiedad, por lo tanto:

    2m-1 = a^2, m> 0, a in Z

    5m-1 = b^2, m> 0, b in Z

    Nótese que a debe ser impar. Por ende, a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1

    En otras palabras, a^2=1 en Z_{4}

    De modo que 2m-1=1 en Z_{4}

    Por lo cual, 2m=2 en Z_{4}

    O lo que es lo mismo, 2m=4t +2, t in Z

    Es decir, m=2t +1, o sea, m es impar.

    También, podemos afirmar que 5m-1=1 en Z_{4}

    O lo que es lo mismo, 5m=2 en Z_{4}

    Es decir, 5m=4n+2, n in Z, pero esto es una contradicción (porque m es impar), contradicción que provino de suponer que el conjunto B cumple la propiedad que el conjunto A (Propiedad según la cual, restar 1 a el producto de cualquier par de elementos distintos pertenecientes al conjunto, da igual a un cuadrado perfecto)

    El razonamiento anterior completa la prueba bullet

    Por tal motivo podemos afirmar que B no cumple la propiedad.

    O, en términos del problema, no podemos añadir otro entero positivo al conjunto A porque el conjunto resultante B ya no cumple la propiedad.

    Así que, ni un entero más 🙂

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  15. Daremos una demostración por reducción al absurdo.

    Suponemos que el conjunto B cumple con la propiedad, por lo tanto:

    2m-1 = a^2, m> 0, a in Z

    5m-1 = b^2, m> 0, b in Z

    Nótese que a debe ser impar. Por ende, a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1

    En otras palabras, a^2=1 en Z_{4}

    De modo que 2m-1=1 en Z_{4}

    Por lo cual, 2m=2 en Z_{4}

    O lo que es lo mismo, 2m=4t +2, t in Z

    Es decir, m=2t +1, o sea, m es impar.

    También, podemos afirmar que 5m-1=1 en Z_{4}

    O lo que es lo mismo, 5m=2 en Z_{4}

    Es decir, 5m=4n+2, n in Z, pero esto es una contradicción (porque m es impar), contradicción que provino de suponer que el conjunto B cumple la propiedad que el conjunto A (Propiedad según la cual, restar 1 a el producto de cualquier par de elementos distintos pertenecientes al conjunto, da como resultado un cuadrado perfecto)

    El razonamiento anterior completa la prueba bullet

    Por tal motivo podemos afirmar que B no cumple la propiedad.

    O, en términos del problema, no podemos añadir otro entero positivo al conjunto A porque el conjunto resultante B ya no cumple la propiedad.

    Así que, ni un número más 🙂

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  16. Hola chefo
    “mod 8” significa “el resto de la división entera por 8”

    Es decir, 10 mod 8 = 2, significa que al dividir 10 entre 8 te restan 2.
    Si tomas el 8 (o cualquier otro número) como base de numeración, con la operación mod 8 consigues el valor del dígito menos significativo.

    Por ejemplo, en base 8, el número 6135413 termina en 3 por lo que si a ese número en decimal le aplicaras mod 8 obtendrías 3.

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  17. Veo que todos se van por la congruencia módulo 8, por qué? si no es necesario usar esa,

    Es claro que 2m = 2, en Z_{4}, con eso basta para llegar a la contradicción

    Porque luego se concluye que m es impar, asumiendo que la propiedad se cumple

    y al usar 5m =  2 en Z_{4} se llega a la contradicción, y ya

    Sería estupendo si alguien me contesta 🙂

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  18. ¡Saludos!

    ¿Me podrías decir qué opinas de mi demostración, Ignacio Larrosa Cañestro?

    Encontré una forma más corta de llegar a la contradicción, usando solo aritmética modular en Z_{4} y sin necesidad de emplear la tercera ecuación.

    Gracias, de antemano.

    Transcribo nuevamente mi demostración en este post para que puedas verla de nuevo.

    También me gustaría saber la opinión de Diamond y de los demás que han comentado esta entrada del blog, si son tan amables 🙂

    Demostración (Por reducción al absurdo):

    Suponemos que el conjunto B cumple con la propiedad, por lo tanto:

    2m-1 = a^2, m> 0, a \in Z

    5m-1 = b^2, m> 0, b \in Z

    Nótese que a debe ser impar. Por ende, a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1

    En otras palabras, a^2=1 en Z_{4}

    De modo que 2m-1=1 en Z_{4}

    Por lo cual, 2m=2 en Z_{4}

    O lo que es lo mismo, 2m=4t +2, t \in Z

    Es decir, m=2t +1, o sea, m es impar.

    También, podemos afirmar que 5m-1=1 en Z_{4}

    O lo que es lo mismo, 5m=2 en Z_{4}

    Es decir, 5m=4n+2, n \in Z, pero esto es una contradicción (porque m es impar), contradicción que provino de suponer que el conjunto B cumple la propiedad que el conjunto A (Propiedad según la cual, restar 1 a el producto de cualquier par de elementos distintos pertenecientes al conjunto, da como resultado un cuadrado perfecto)

    El razonamiento anterior completa la prueba \bullet

    Por tal motivo podemos afirmar que B no cumple la propiedad.

    O, en términos del problema, no podemos añadir otro entero positivo al conjunto A porque el conjunto resultante B ya no cumple la propiedad.

    Así que, ni un número más.

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  19. Antonio, pero si solo utilizas las dos primeras, si que hay un tercer valor de m, m = 13. Tu error está en suponer que b es i,par, o que 5m – 1 = 1 en Z(4). Si 5m – 1 = b^2, debe ser b par, y entonces, 5m – 1 = 0 (mod 4). De hecho la solución es m = 13 y b = 8.

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  20. Así es, Ignacio. Acabo de leer tu corrección sobre mi razonamiento, y en efecto, me has ayudado a entender el porqué de mi error, perfectamente, así como a darme cuenta de que ya era raro que la demostración hubiera salido sin necesidad de usar la tercera ecuación.

    En efecto, al afirmar que 5m-1=1 en Z_{4}, asumí que b es impar, cosa que no es cierta, pues siendo m impar, 5m-1 es par, y por ende lo es b. Y lo que es más, 5m -1 = 0 en Z_{4}, tal como dices.

    Nuevamente, gracias por la corrección y muy amable por tu tiempo y explicarme.

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  21. Buenas, a mi me parece que con la definición del problema, tal y como está, cualquier conjunto B, que contenga infinitas veces numeros contenidos ya en A cumple la propiedad porque dice que a,b pertenecen al conjunto y que a es distinto a b, es decir, el conjunto B={2,5,13,5,2,5,13,13,2,5,13} cumple la propiedad. Distinto sería que dijera que m no pertenece a A. Pero vamos que sé que se sobreentiende, pero por ser puntilloso que no quede!

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  22. Pedro, aprovecho tu intervención para aclarar algo que siempre me decían en mi carrera: Ing. en Computación, “Un conjunto no tiene repeticiones”. De modo que tu propuesta no sería un caso trivial no considerado en el problema, ya que si se habla de otro conjunto B, no se puede pensar en un m que ya pertenezca a A, pues sería el mismo conjunto A, y no otro conjunto al cual se le añade otro elemento.

    Pero, como esa definición la usaban en Ingeniería, aprovecho para preguntarles a los matemáticos, es verdad que un conjunto no puede tener repeticiones, y que por ejemplo lo que propuso Pedro, sería un multiconjunto en vez de un conjunto.

    Gracias de antemano a los matemáticos que me puedan “aclarar” esta “duda”.

    No sé si en Computación o Matemáticas Discretas dicen que un conjunto no debe tener repeticiones por conveniencia, y por eso definen multiconjunto cuando hay algún elemento repetido. Ustedes en matemática también usan esa definición así? La de no repeticiones??

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  23. Antonio, gracias por la aclaración, efectivamente, un conjunto no puede contener elementos repetidos, eso ocurre en los multiconjuntos, luego, como no podía ser de otra manera, la definición del enunciado esta perfecta!

    Bueno, otra cosita más que me llevo de leeros!

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  24. Otra cosa, es trivial que si m ya pertenece a A, y damos la opción de multiconjunto, ya no se satisfaría la propiedad pedida. i.e. m = 13

    13(13) ya es un cuadrado perfecto, restarle uno hace que deje de serlo.

    Por otra parte si definimos la propiedad como P(C), donde C es un conjunto. Buscar que se cumpla esta propiedad en B el nuevo conjunto con m, hace P(B): para todo a,b \in B, a \neq b

    O sea, la propiedad depende del conjunto, de modo que aplicada a B no sería con a b distintos en A, sino sería con a,b en B, a distinto de B.

    La prueba dada por Ignacio excluye m \in A como otro m a añadir para formar el nuevo conjunto, en caso de que buscáramos un multiconjunto B, pero también se tiene que B debe ser un conjunto.

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  25. Apreciado Ignacio.

    Me gustaría consultarle algunas cosas del problema, que aún no logro ver:

    Entiendo que todo cuadrado perfecto es de la forma 4k o 4k+1, puesto que si es el cuadrado de un par, sería (2k)^2, y si es el cuadrado de un impar, sería (2k+1)^2. Pero no veo cómo todo cuadrado perfecto es de la forma 8k, 8k +1 o 8k+4. Me podría explicar el porqué. Esta es una duda mía cuando hacía el problema…

    Ahora, respecto a su solución, no veo este argumento:

    “Si r = 2 (mod 4) y q = 0 (mod 4), o viceversa, uno de ellos es 2 ó 6 (mod 8) y el otro 0 ó 4. Entonces su suma es igual a 2 y su diferencia a 6 (mod 8) o viceversa, con lo que su producto es igual a 4 (mod 8)”

    En ambos casos, trato de entenderlos pero no logro llegar a esas conclusiones con mis conocimientos. Sería tan amable de explicarme un poco más, amigo?

    Salu2

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  26. Antonio, en cuanto a la primera cuestión, considera un número cualquiera n, que siempre puedes escribir como:

    n = 8m + k, con 0 \le k \le 7

    Entonces,

    n^2 = (8m + k)^2 = 64k^2 + 16km + k^2 = 8(8k^2 + 2km) + k^2

    Por tanto, n^2 y k^2 se diferencian en un múltiplo de 8 y darán el mismo resto al dividirlos por 8. Entonces solo tenemos que ver como son módulo 8 los cuadrados de 0, 1, 2, …, 7:

    0^2 = 0
    1^2 = 1
    2^2 = 4
    3^2 = 9 = 1 (mod 8)
    4^2 = 16 = 0 (mod 8)
    5^2 = 25 = 1 (mod 8)
    6^2 = 36 = 4 (mod 8)
    7^2 = 49 = 1 (mod 8)

    Por tanto, los cuadrados de los números pares son iguales a 0 ó 2 (mod 8), según sean múltiplos de 4 o no, mientras que los de los impares son iguales a 1 (mod 8). Esto también se puede ver más rápidamente:

    (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1

    Como k ó k+1 son necesariamnte pares, el primer sumando es múltiplo de 8.

    En cuanto a la segunda, si r = 2 (mod 4), es un múltiplo de 4 más 2, por lo tanto tendrá que ser un múltiplo de 8 más 2 ó 6, pues si fuese múltiplo de 8 ó múltiplo de 8 más cuatro, sería múltiplo de 4, contra lo supuesto. Igualmente, si r = 0 mod 4 (es múltiplo de 4), tiene que ser 0 ó 4 (mod 8), de lo contrario no es divisible por 4.

    Supongamos entonces que r = 0 (mod 4) y q = 2 (mod 4), el caso contrario es igual. Tenemos las posibilidades, donde las igualdades siguientes deben entenderse siempre módulo 8:

    r = 0, q = 2 ===> r + q = 2, r – q = -2 = 6 ===> (r+q)*(r-q) = 2*6 = 12 = 4

    r = 4, q = 2 ===> r + q = 6, r – q = 2 ===> (r+q)*(r-q) = 2*6 = 12 = 4

    r = 0, q = 6 ===> r + q = 6, r – q = -6 = 2 ===> (r+q)*(r-q) = 2*6 = 12 = 4

    r = 4, q = 6 ===> r + q = 10 = 2, r – q = -2 = 6 ===> (r+q)*(r-q) = 2*6 = 12 = 4

    Si es r = 2 (mod 4) y q = 0 (mod 4), se presentan otras posibilidades, pero con el mismo resultado, otra vez todas las igualdades módulo 8:

    r = 2, q = 0 ===> r + q = 2, r – q = 2 ===> (r+q)*(r-q) = 2*2 = 4

    r = 2, q = 4 ===> r + q = 6, r – q = -2 = 6 ===> (r+q)*(r-q) = 6*6 = 36 = 4

    r = 6, q = 0 ===> r + q = 6, r – q = 6 ===> (r+q)*(r-q) = 6*6 = 36 = 4

    r = 6, q = 4 ===> r + q = 10 = 2, r – q = 2 ===> (r+q)*(r-q) = 2*2 = 4

    Por lo tanto, siempre es r^2 – q^2 = 4 (mod 8) y no puede ser múltiplo de 8.

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  27. Muchas gracias por la explicación, Ignacio.

    Ya la estoy leyendo…

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  28. Entendido perfectamente, Ignacio.

    Acabo de terminar de leer y “procesar” 🙂

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