No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria

“Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente”. Esta afirmación, que podría parecer cierta, en realidad no tiene mucho sentido en términos de probabilidad. En los próximos párrafos analizaremos el porqué.

Antes de comenzar, quiero dejar claras las condiciones del tema que vamos a comentar. Lo que sigue se refiere a experimentos aleatorios independientes (es decir, su resultado en un momento dado no influye en el resultado del mismo experimento en otro momento, como puede pasar al lanzar un dado o una moneda) con un número finito de resultados en el que conocemos la probabilidad de cada uno de ellos.

Vamos al tema. Esta entrada me vino a la mente después de ver un tuit del famoso tuitero deportivo @2010MisterChip. Otro tuitero, @ScottiePeppino, le comentaba lo siguiente a raíz de una apuesta que el primero había realizado:

A lo que MisterChip contestaba lo siguiente

Si accedéis al mismo podéis ver mi respuesta

y algunas más de otros tuiteros. Todos intentábamos hacerle ver que había caído en una famosa falacia estadística, pero, hasta el día de hoy, la única respuesta que he visto de MisterChip es la siguiente (si hay alguna más decídmelo):

Si analizamos el tema de manera probabilística (entiendo que ésa era la intención de MisterChip al hablar de “estadística”), el asunto es como sigue: estamos ante un experimento aleatorio con dos posibles resultados (victoria de equipo de casa o victoria del equipo visitante, no consideramos el empate) en el que tenemos la probabilidad de cada uno de ellos (se podría hablar de cómo se determinan dichas probabilidades, pero eso es otro tema). Además, dichos resultados son independientes.

Si realizamos el experimento, podemos obtener cualquiera de los dos resultados. Imaginemos que gana el equipo de casa. Si volvemos a realizar el experimento, la pregunta es la siguiente: ¿ha aumentado la probabilidad de que gane el equipo visitante? La respuesta es NO. Para hacer un análisis probabilístico correcto, en este caso tenemos que considerar que el resultado obtenido en un enfrentamiento no influye en lo que pasará en el enfrentamiento siguiente (los resultados son independientes).

La creencia de que muchos resultados “hacia un lado” aumentan la probabilidad de que en la siguiente ocasión la cosa irá “hacia el otro lado” o, más en general, que los resultados obtenidos influyen en los siguientes (vamos, que el juego “tiene memoria”) se denomina falacia del jugador. Uno de los ejemplos más conocidos de esta falacia es el caso que se dio el 18 de agosto de 1913 en una de las ruletas del casino de Monte Carlo. En aquella ocasión, la bolita cayó la friolera de ¡¡26 veces seguidas!! en el negro. Lo que ocurrió es que, a medida que iban saliendo “negros”, los jugadores iban apostando cada vez más al “rojo”, porque entendían que con tantas apariciones del negro era mucho más probable que en la siguiente tirada saliera rojo. Y no, esto no es así: la probabilidad de rojo no aumentaba en este caso. Tomando la ruleta como un juego de probabilidades, y dando un 0.5 al rojo y un 0.5 al negro (esto no exacto, pero para el caso en el que estamos nos vale), esas probabilidades se mantienen en cada tirada independientemente de lo que saliera en tiradas anteriores (la ruleta “no tiene memoria”). ¿Qué ocurrió? Pues no es difícil imaginarlo: el casino ganó muchísimo dinero en ese rato.

¿Por qué entonces pensamos de esta errónea manera (y, si somos jugadores, tan perjudicial para nuestro bolsillo)? Pues porque tendemos a pensar que si los resultados anteriores se desvían sustancialmente de lo que marcan las probabilidades, dicha desviación se corregirá pronto para dejarlo todo “como debe ser” (en este caso, mismo número de rojos que de negros). Eso es, a todas luces, falso. Y de este error por nuestra parte se aprovechan a veces los organizadores de este tipo de juegos, dándonos, por ejemplo, los números calientes y los números fríos (intentando así influir en nuestra percepción sobre las probabilidades de cada número en la siguiente tirada). De hecho, en juegos tipo la ruleta, en una situación como ésta de tantos “negros” seguidos podría ser más razonable pensar que dicha ruleta está “trucada” (premeditadamente o no, eso no es importante) para que salgan más “negros” que “rojos”, por lo que quizás tendría más sentido volver a apostar al “negro” en la tirada siguiente (esta forma de razonar se conoce como principio de Hume).

Y un último detalle. Es también interesante distinguir entre “número de veces que se ha producido cada resultado” y “probabilidad de cada resultado”. Que las probabilidades sean iguales no significa, ni mucho menos, que conforme aumentamos el número de realizaciones del experimento las veces en las que sale cada resultado tiendan a igualarse. Voy a poner un ejemplo para intentar explicar qué quiero decir:

Imaginemos que tiramos una moneda 100 veces y salen 40 caras y 60 cruces. En este caso, llevaríamos un 40% de caras y un 60% de cruces. Imaginemos que seguimos tirando la monda y llegamos a 1000 tiradas, obteniendo 460 caras y 540 cruces. Las probabilidades se van acercando, 0.46 para “cara” y 0.54 para “cruz”, pero la distancia entre el número de veces de cada una es mayor (antes era 20 y ahora es 80).

Recordad: la probabilidades en estos casos se calculan dividiendo casos favorables entre casos posibles. Por ello, aunque las probabilidades se vayan igualando, la diferencia de las veces que sale cada uno de los resultados puede ser cada vez mayor.


Se ha escrito mucho sobre la falacia del jugador, y en internet podéis encontrar gran cantidad de artículos sobre el tema. Os dejo éste del maestro Adrián Paenza: La falacia del jugador.


Sobre la manera de determinar las probabilidades de cada uno de los resultados quería hacer un comentario. ¿Tiene sentido tomar los resultados anteriores entre ambos equipos para determinar dicha probabilidad? Si la respuesta es afirmativa, el hecho de que un equipo haya perdido los últimos enfrentamientos directos debería entonces, bajo mi punto de vista, hacer que la probabilidad de victoria del “perdedor habitual” baje respecto a estimaciones anteriores, pero nunca que suba. Y si no lo veis, ahí va un ejemplo:

Imaginemos que el Granada ha perdido 20 veces seguidas en el Bernabéu, y que “su” probabilidad de victoria era de 0.1. ¿Significa eso que si vuelven a jugar ahora en el Bernabéu tienen una probabilidad mayor de ganar?

Pues yo creo que no. A ver qué pensáis vosotros.


Y sobre el hecho de que los resultados anteriores puedan influir en la mente de los jugadores del equipo “perdedor habitual”, cabrían las dos posibilidades. Podría ser de manera positiva (más ganas de romper la mala racha) o de manera negativa (como llevan muchos años perdiendo no se ven con capacidad de ganar). Pero eso significaría que introducimos efectos externos en el análisis (podrían añadirse más: la buena o mala temporada que está haciendo cada uno, la moral que se tiene en esa época, si se juegan algo importante en ese momento o no…), efectos que no tienen que ver con la probabilidad. Por ello no cabría hablar de estadística en este caso.


Este artículo participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Pimedios.es.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. calcular la probabilidad en esto no incorpora absolutamente nada al próximo resultado, más bien tiene más efecto la cábala del jugador!
    Por esto la estadística estaría mal interpretada (más bien es un ejercicio de probabilidad a priori y con bases muy subjetivas)!

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    • Cuentan que durante la primera guerra mundial, algunos soldados se introducían en los boquetes que dejaban en la tierra los obuses tras impactar, alegaban que si un obús ya habia caido en un punto determinado era muy improbable que volviera a hacerlo….

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      • y saldría de las observaciones de ver que los obuses no caen en el mismo agujero, pero también podría depender de la cantidad de obuses que se tiren sobre esa zona, acá el que define la situación es haber observado que no caían en la misma zona (ej 200 m2) y que la cantidad de obuses iba disminuyendo. Habría una similitud en el caso de arrojar la moneda (cuando la Frecuencia Acumulada es muy grande más se aproxima a 1/2) !

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      • 2 cosas:

        – Si el obús no estalla… no hace un boquete en el que poder meterse.

        – En el lugar el que haya caído un obús… puede caer otro: está a tiro y en algún momento fue un objetivo de los artilleros enemigos.

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      • La probabilidad de que un obus caiga en un lugar cualquiera es cero. La probabilidad de que caiga dos veces en el mismo lugar sigue siendo cero. Aun así los obuses caen por todas partes y supongo que más de una vez en el mismo sitio.

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        • “La probabilidad de que un obus caiga en un lugar cualquiera es cero”… ¿sera posible que escriban esto?

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  2. Bueno, estas considerando una variable aleatoria Bernouilli (p) pero en la realidad eso es un poco imposible de determinar, mas bien se trataría como una Normal cuando n es grande, y veriamos la probabilidad, pero en la realidad la probabilidad puede variar, podemos tener que si un equipo ha perdido, suba la motivación y gane el siguiente, o que este en decaida, realmente no es del todo una variable aleatoria Bernouilli, con una probabilidad p de ganar, o al menos no lo modelizaría así.

    Que conste que si sigues ese razonamiento estás en lo cierto, la Bernouilli no tiene memoría, pero yo lo que digo es que la distribución no es una Bernouilli, depende de más factores.

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  3. Bueno, estas considerando una variable aleatoria Bernouilli (p) pero en la realidad eso es un poco imposible de determinar, mas bien se trataría como una Normal cuando n es grande, y veriamos la probabilidad, pero en la realidad la probabilidad puede variar, podemos tener que si un equipo ha perdido, suba la motivación y gane el siguiente, o que este en decaida, realmente no es del todo una variable aleatoria Bernouilli, con una probabilidad p de ganar, o al menos no lo modelizaría así.

    Que conste que si sigues ese razonamiento estás en lo cierto, la Bernouilli no tiene memoría, pero yo lo que digo es que la distribución no es una Bernouilli (theta), depende de más factores, ya que creo que la probabilidad con la que gana un equipo puede variar y no ser siempre fija.

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  4. El ejemplo del casino de Monte Carlo es correcto (de hecho hay un teorema de Kolmogorov que “obliga” a la bola a caer en negro +20 veces seguidas cada cierto tiempo); pero el ejemplo del futbol no es acertado (un resultado futbolístico no lo rige la aleatoriedad).

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  5. Como futuro matemático que espero ser, siempre he tenido una dicotomía de conceptos muy grande respecto a este hecho.

    Sea mi experimento: lanzar una moneda no trucada con cara o cruz.

    En un experimento  n , la probabilidad de un hecho es independiente de la del mismo hecho en el experimento  n-1 . Ahora bien, voy a situarme en  n-5 . La probabilidad de que salga alguna cara en las 5 tiradas posteriores es:  1 - \frac{1}{2^5} .

    Entonces si el Granada ha perdido los últimos 4 encuentros, es erróneo pensar que vaya perder un 5º según tus razonamientos, pero ¿en qué se relaciona esto con lo que he expuesto?

    Un saludo

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    • Exacto, si por ejemplo se hacen  n tiradas independientes de una moneda no cargada, entonces la probabilidad de tener caras en los  n turnos es menor que la de tener al menos un águila y el resto caras, pues la probabilidad de que la moneda caiga águila en el primer turno y luego puras caras es la misma que de tener solo caras y también es la misma de tener águila en el  j-esimo turno, y cara en el resto, de modo que la probabilidad de tener un águila y el resto caras tiende a ser mucho mayor que la de tener solo caras, este es un ejemplo simple de experimentos independientes en donde la probabilidad de que ocurra lo mismo todo el rato (puras caras) va disminuyendo en comparación del resto de posibles casos, ahora, si consideramos otras funciones de probabilidad para cosas como el ganar en el estadio, el resultado podría ser realmente independiente o no.

      Nota:

      La probabilidad de obtener solo caras (o águilas) en el lanzamiento  n es de :

       P_n(x=n)= 2^{-1/n}

      Mientras que la probabilidad de tener una sola águila y el resto caras es :

       P_n(x=n-1)= n*2^{-1/n}

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  6. Creo que las leyes de la probabilidad nunca vienen solas. Me refiero a la ley de los grandes números, por ejemplo. La tirada de 26 negros seguidos en la ruleta ni implicaba que la probabilidad del rojo aumentase, pero la ley de los grandes numeros nos dice que el rojo tenderá a salir pronto, más ronto que tarde. Y que las leyes matemáticas son como las leyes físicas, que nunca se dan solas.

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  7. Todo, lógicamente, cierto.

    Para completar, comentar que no es lo mismo decir: “es poco probable que salga 30 veces seguidas el rojo”. Lo cual es cierto. Asumiendo que no hubiera verde, sería 1/5 elevado a 30. Mu’ poquico, oye.

    Peri si llevamos 29 rojos seguidos, decir que en la siguiente tirada es más probable que salga el negro, como has comentado, es falso.

    Asumiendo claro que la ruleta no esté trucada… que podría comprobarse estadísticamente usando un muestreo significativo. Lo interesante sería calcular cuántos rojos o negros seguidos deben salir para que sepamos que la ruleta está trucada, estadísticamente hablando. ¿Alguien lo calcula please? 🙂

    Tampoco es lo mismo “te calculo pi” que “te pica el culo”. Dicho esto, me voy a dormir.

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  8. Bueno: si es estadística pura estás en lo correcto. Pero en el caso del fútbol yo no diría que puedas aplicarla. Es claro que el fútbol se puede “trucar” : el Madrid no gana “aleatoriamente” al Granada. Si el fútbol se rigiera por estadística pura, entonces tampoco deberíamos apostar por el Madrid cuando se enfrenta con el Granada en el Bernabeu porque el resultado sería aleatorio y el Granada tendría la misma posibilidad que el Madrid de ganar. Es claro que no sabemos que pasara en un solo evento(puede que el Granada gane el partido), pero lo que si sabemos es que existen unas condiciones iniciales(dinero, peso histórico que influye en la mentalidad de los jugadores, etc) que siempre que “más o menos” se repitan harán que la apuesta por el Madrid sea una buena apuesta(y esto depende de nuestro análisis de pasados resultados donde se repitieron dichas condiciones). Es decir:hay influencia del pasado.
    En el caso de una ruleta que supongamos “correcta” (que no esta trucada) muy probablemente no(a no ser que se dieran unas condiciones de idealidad en la ruleta de tal forma que las tiradas fueran susceptibles de ser analizadas desde el punto de vista físico, pero que yo sepa eso no lo podemos hacer actualmente).

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  9. Me preocupa, que no distingamos en la estadistica un proceso y un evento. Asi como la lamentables acepciones que tiene la misma probabilidad, como numero y porcentaje. El problema del articulo, es la poca precision matematica de los conceptos actuales y esto es un problema que se viene arrastrando hace siglos. Con la llegada de las computadoras y la teoria del caos, TODA la probabilidad requiere una revision critica y estricta.

    En el juego de la ruleta, solo el primer tiro es realmente independiente, si lo abordas como un proceso, esta condicionado a que un proceso DEBE ser perfectamente azaroso y ahi la cosa cambia, por que entra la teoria de juegos, la variedad cibernetica y el teorema del valor medio. Y el azar pierde cierto significado.

    En el juego del cara o sello, si van ya 99 tiros de 100 tiros. Ni todo un ejercito de matematicos podria dar una vision objetiva del problema, sin que antes no se pongan de acuerdo de muchas definiiones y que es el azar.

    Si te salen 99 caras, y el proceso es azaroso, hay que apostarle al SELLO al ultimo. El teorema de valor medio, hace su trabajo. Estadistica inductiva.

    Si te salen 99 caras, hay que apostar CARA al ultimo tiro. Estadistica descriptiva.

    Independientemente si el proceso es puramente azaroso, o no. El problema es que el modelo de pensamiento aplicado; -segun lo que se sabe, puede ser refutado desde sus bases.

    Por justamente pensar que los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria, es errado. Es como si se negara a que alguien contara la frecuencia, pero ya contar la frecuencia restringe la variedad, y si restringimos la variedad, es que hay un orden .. y si hay orden, es que vamos en contra del azar absoluto.

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