Nuevo Euromillón: cómo quedan las probabilidades de acierto

El lunes pasado me acerqué a una administración de loterías a validar mi apuesta semanal del Euromillón y me encontré con que esta misma semana entraban en vigor algunos cambios en este sorteo. Recordé entonces este post de Microsiervos que leí el mes pasado sobre el tema. Pero antes de hablar de ellos comento rápidamente cómo funcionaba el Euromillón hasta la semana pasada:

Para validar una apuesta del Euromillón se tenían que elegir cinco números del 1 al 50 y después dos números del 1 al 9 (llamados estrellas). Se conseguía premio si se acertaban 5+2 (los cinco números y las dos estrellas), 5+1, 5+0, 4+2, 4+1, 4+0, 3+2, 3+1, 3+0, 2+2, 1+2 ó 2+1.


Concretamente los cambios principales referidos al propio mecanismo del juego son los siguientes:

  • Las dos estrellas deben elegirse entre los números 1 y 11.
  • Entra una nueva categoría en las premiadas: 2+0.
  • Pasa a haber dos sorteos: uno los martes y otro los viernes (éste es el que había hasta ahora).

¿Qué provocan estos cambios? Pues muy sencillo: que sea más difícil obtener el premio gordo (en general, cualquier premio que corresponda a una categoría con estrellas). Claro: si aumentamos la cantidad de números entre los que elegimos las estrellas habrá más parejas posibles de dos elementos que se pueden formar con ellos, por lo que será más complicado que nuestra pareja de elementos sea la que corresponde a la de un cierto sorteo, es evidente, ¿verdad?

La cuestión que os quería comentar es la siguiente: ¿cómo queda esa probabilidad de obtener el premio mayor? Vamos a utilizar la combinatoria que vimos en el post ¿Cuántos vídeos caben en Youtube? La respuesta está en la combinatoria.

Probabilidades antiguas y nuevas en el Euromillón

Como hemos comentado antes, hasta ahora se elegían cinco números del 1 al 50 y dos números del 1 al 9. Lo que vamos a hacer es contar cuántas formaciones de cinco números entre 1 y 50 y dos números entre 1 y 9 podemos formar. Como tenemos que contar dos tipos de configuraciones numéricas, las vamos a contar por separados y después multiplicaremos los resultados:

  • Números del 1 al 50: Teniendo en cuenta que da igual el orden en que vayamos eligiendo los números (por tanto no importa ese orden) y que no hay repetición de números (no podemos tomar el mismo varias veces), tendremos que usar combinaciones sin repetición. En este caso de 50 elementos tomados de 5 en 5, quedando que hay

    C_{50,5}={50 \choose 5}=\cfrac{50!}{5! \cdot (50-5)!}=2118760

    disposiciones distintas, por lo que tenemos ese número de formas distintas de elegir los cinco números entre los 50.

  • Números del 1 al 9: Igual que antes, no importa el orden y no hay repetición de elementos, por lo que volvemos a tener que usar combinaciones sin repetición, en este caso de 9 elementos tomados de 2 en 2, quedando que tenemos

    C_{9,2}={9 \choose 2}=\cfrac{9!}{2! \cdot (9-2)!}=36

    formas distintas de elegir estos dos números.

Multiplicando ahora estos dos resultados obtenemos la cantidad de apuestas correctas que podríamos realizar en el Euromillón:

C_{50,5} \cdot C_{9,2}=2118760 \cdot 36=76275360

No está nada mal, ¿verdad? Esto nos da la siguiente probabilidad de acertar el premio mayor validando una apuesta:

P(Euromillon \; Antiguo)=\cfrac{1}{76275360}=0.00000001311

Vamos, muy, muy, muuuuuuuy baja.

¿Qué ocurre ahora con la nueva norma sobre las estrellas? Pues que se eligen entre once números en vez de entre nueve, lo que hace que el segundo resultado obtenido anteriormente cambie al siguiente:

C_{11,2}={11 \choose 2}=\cfrac{11!}{2! \cdot (11-2)!}=55

Hay diferencia, pero podría no parecer demasiada. Vamos a calcular igual que antes el número total de configuraciones qu podríamos obtener:

C_{50,5} \cdot C_{11,2}=2118760 \cdot 55=116531800

Guau, casi nada: 116531800 de apuestas posibles, lo que nos da la siguiente probabilidad de llevarnos el premio gordo con una apuesta:

P(Euromillon \; Nuevo)=\cfrac{1}{116531800}=0.00000000858

Comparando los dos resultados obtenidos

\begin{matrix} 0.00000001311 \\ 0.00000000858 \end{matrix}

vemos que la nueva es bastante más baja.

Y lo mismo ocurre con el resto de premios que contienen alguna estrella. Es decir, vale que han introducido una categoría nueva que recibe premio, pero han aumentado bastante la cantidad de configuraciones válidas, por lo que ha disminuido la probabilidad de acierto. Parece que en lo que concierne a las probabilidades nos deberíamos seguir quedando con la Lotería de Navidad.

Y para terminar una curiosidad que también comentan en el artículo de Microsiervos que enlazo al principio de este post. La probabilidad de acertar 2+1 es 1 entre 46, la de acertar 2+0 es 1 entre 23…y la de acertar 0+2 (las dos estrellas pero ningún número) es…1 entre 95. Es decir, es más difícil acertar 0+2 que 2+0 ó 2+1, pero 0+2 no tiene premio. Bien, a ver quién adivina qué he acertado yo en el primer sorteo de esta nueva era, el del martes pasado…Sí, exacto, ningún número y las dos estrellas. Maldita sea…

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25 comentarios

  1. josejuan | 13 de mayo de 2011 | 12:34

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    “El lunes pasado me acerqué a una administración de loterías…”

    ¿Matemático y juegas a la lotería…?

    ¡Has descubierto un truco!

    :D :D :D

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    Bitacoras.com

  3. Antonio Alcántara | 13 de mayo de 2011 | 12:40

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    quizás si se mira de otra forma, se puede decir que la diferencia es importante: puesto que 36/55 es aprox. 2/3, se puede decir que la probabilidad de obtener el premio gordo ahora es 2/3 el de antes. Es cierto que esto cambia poco nuestra motivación para jugar o dejar de jugar, pero precisamente por eso (porque se va a jugar lo mismo) si se calcula en cuantos millones de euros aumenta la ganancia esperada por la administración de loterias al año, me parece que sale un pico bastante gordo….. al final, la crisis tiene la culpa de todo…. ;)

  4. josejuan | 13 de mayo de 2011 | 13:12

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    “…cuantos millones de euros aumenta la ganancia esperada por la administración…”

    ¿No está estipulado por ley la proporción que deben devolver en premios?, igual han reducido el gordo para aumentar los “flacos”.

    O eso, o antes estaban repartiendo más premio del que estaban obligados (lo cual dudo bastante…).

  5. Javi Oribe | 13 de mayo de 2011 | 16:17

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    Yo casi soy matemático y a veces también juego a la lotería.

    Total, ¿acaso no hay muchos médicos que fuman? :D :D :D

  6. gaussianos | 13 de mayo de 2011 | 18:47

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    Javi Oribe, sí, pero eso es mucho más perjudicial. Te lo digo yo, que aunque no soy médico sí soy exfumador (bueno, proyecto de exfumador, solamente llevo 4 meses sin fumar) :).

  7. HTE | 14 de mayo de 2011 | 01:38

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    Jaja, que casualidad, justamente me llevaba tiempo haciendo la pregunta de qué probabilidad había en el antiguo sistema (50+9) y si me iba a tocar alguna vez xDD. Y hoy me encuentro con esta doble sorpresa, que han aumentado las estrellas de 9 a 11 y que ya sé como se realiza el cálculo de ambas probabilidades.

    Muy buen artículo :P

  8. Trackback | 14 may, 2011

    Nuevo Euromillón: cómo quedan las probabilidades de acierto

  9. Trackback | 15 may, 2011

    La semana en los blogs CCXLIX | NotiGeek

  10. Óscar | 15 de mayo de 2011 | 12:50

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    La probabilidad nunca fue mi fuerte pero el número de apuestas para las diferentes partes del sorteo me parecen bajas… Por ejemplo, de una manera lógica si tienes que escoger 5 números de 50, tienes 50 opciones para escoger el primer número, 49 para el segundo, 48 para el tercero, 47 para el cuarto y 46 para el quinto (50*49*48*47*46) los que viene siendo 50!/(50-5)! y este resultado es del orden de 10^8, 100 veces mayor al que nos das en el artículo.

    ¿En qué me estoy equivocando? Porque mi razonamiento me parece bueno…

  11. Óscar | 15 de mayo de 2011 | 13:05

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    Lo que veo es que, en la combinaciones de 5 elementos elegidos entre 50, al dividir entre k! (n-k)!, estas teniendo en cuenta el orden en que han sido elegidos de esos 5 elementos (k! son la posibilidades de ordenar esos k elementos) y como tú mismo argumentas el orden no importa…

    Vuelvo a recalcar que la probabilidad no es mi fuerte y ya quedan lejos los días en que tenía que saber este tipo de cosas, pero de una manera lógica creo que este argumento es correcto.

  12. Trackback | 15 may, 2011

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  13. gaussianos | 15 de mayo de 2011 | 13:53

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    Óscar, precisamente por eso hay que dividir entre k!, para que el orden no importe. Que el orden no importa significa, por poner un ejemplo, que la formación 1, 2, 3, 4, 5 es la misma que la formación 1, 2, 3, 5, 4. Con tu operación las estás considerando distintas, con la mía las considero iguales. Espero que lo hayas entendido.

  14. Trackback | 15 may, 2011

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  16. Trackback | 15 may, 2011

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  17. Marcial Fonseca | 16 de mayo de 2011 | 07:47

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    Saludos; gracias por la excelencia del post. Con esto de las loterías de esta forma (normalmente llamadas lotto en USA) donde se selecciona una cantidad de números de un universo finito, me ha llamado la atención que los administradores no le sacan ventaja a los cálculos combinatorios. Fíjense en esto; allá en España es 5 de 50 y 2 estrellas (en otros lugares comodines) de los dígitos del 1 al 11. Cambiemos a, por ejemplo, 45 de 50 y 9 estrellas de 11. Pareciera a ojos legos que de esta manera seria más fácil (después de todo, estaríamos seleccionando casi todos los números); pero no, la probabilidad seguirá siendo 0,00000000858 para el gordo

  18. censor cosmico | 16 de mayo de 2011 | 09:56

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    Habrá menos probabilidad de ganar al Euromillon, pero si toca el premio será mayor. Se pierde por un extremo pero se gana por el otro.

  19. antonio2d2 | 20 de junio de 2011 | 19:36

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    a mi no que no me gusta para nada de este nuevo euromillon……es que antes podias ganar hasta un millon de euros con solo 5 y una estrella y ahora veo en el sorteo del viernes que solo ha salido un acertante y solo se llevara 233.582,66 € con lo que cuesta acertar esta mierda y ahora para colmo te bajan el premio joder….saludosssss

  20. Miguel Angel Morales | 5 de marzo de 2013 | 20:52

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    Como era aquello de “cuando P tiende a cero”??
    Qué más me da tener una posibilidad entre 76 millones o entre 116 millones? O entre 7.899.879.875.498.167.894.565.647.789 billones… da igual, cuando P tiende a cero las posibilidades de acertar son nulas.

    Dejen de jugar a la lotería!! Si quieren tirar el dinero yo les puedo pasar mi número de cuenta. :D

  21. Trackback | 15 mar, 2013

    A vueltas con Euromillones | La Ciencia y sus Demonios

  22. Luis | 15 de abril de 2013 | 04:24

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    No creo que este todo inventado, lo que si hay seguro son dos conceptos y bastante claros.
    Acertar-1 y fallar-0. A lo mejor estoy equivocado.

    Te felicito y admiro el trabajo que haces, no lo dejes, creo que pronto habrá sorpresas en esto de los juegos.

  23. Soytrinidad | 8 de junio de 2013 | 22:42

    Vótalo Thumb up 2

    Te puedo asegurar que toca. Tengo un vecino al que le tocaron 2 kilates. Ahí sí me planteé por temas probabilísticos mudarme, pue si difícil es que le toque a un vecino, casi imposible es que nos toque a los dos. Yo en cualquier caso sigo jugando; soy joven y no pienso trabajar toda la vida.
    Saludos

    P.D. También sé por referencias de un chaval de un pueblo del Aljarafe Sevillano al que le tocaron màs de 100 en la euro. Creo que dejó de trabajar en la panadería

  24. Trackback | 17 oct, 2013

    Gaussianos cumple 5 años de vida - Gaussianos | Gaussianos

  25. pol | 7 de octubre de 2014 | 03:20

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    Hola,eso si es verdad !yo me entere de algo de eso tambien..,enfin la suerte esta para el que no la busca..,hajajah;)

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