Número de dígitos igual a cada valor

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Sea $n\geq 1$ un número natural, y $a(i)$ el número de dígitos de $n$ iguales a $i$ , para $1\leq i\leq 9$ . Demostrar que

$2^{a(1)} \cdot 3^{a(2)} \cdot \ldots \cdot 10^{a(9)}\leq n+1$

¿Para qué valores de $n$ se da la igualdad?

Que se os dé bien.

6 comentarios

Manzano | 28 de February de 2012 | 11:09

Se puede probar por inducción sobre el número de cifras. Si no me he equivocado, la igualdad se alcanza cuando el número es de la forma a99…99, es decir, cuando todas sus cifras son nueves salvo posiblemente la primera. En particular, para los números de una sola cifra, se da la igualdad.
Trackback | 28 Feb, 2012

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M | 2 de March de 2012 | 14:17

Coincido con Manzano.
gaussianos | 2 de March de 2012 | 14:58

Pero lo podíais escribir, ¿no?
Manzano | 3 de March de 2012 | 10:29

Pues en principio había escrito eso pensando en no destripar demasiado el asunto pero parece que lo he matado del todo y ya, salvo M, nadie se ha atrevido a escribir. Ahí va la demostración, pues.

Procedamos por inducción sobre el número de cifras. Está claro que para un número $n\geq 1$ de una cifra se cumple el enunciado y, de hecho, se alcanza la igualdad. Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para cualquier número natural de $k$ cifras y probémoslo para un número natural $n$ de $k+1$ cifras. Ese número lo podemos escribir como

$n=\sum_{i=0}^ka_i\cdot 10^i ,$

es decir, $a_0,a_1,\ldots, a_k$ son las cifras del número. La desigualdad a probar se transforma, via esta expresión, en la siguiente:

$\prod_{i=0}^k(a_i+1)\leq 1+\sum_{i=0}^k a_i$

Ahora bien, el resultado es cierto para el número de $k$ cifras $\sum_{i=0}^{k-1}a_i\cdot 10^i$ , con lo que

$\prod_{i=0}^k(a_i+1)=(a_k+1)\prod_{i=0}^{k-1}(a_i+1)\leq(a_k+1)\left(1+\sum_{i=0}^{k-1}a_i\cdot 10^i\right)$

Operando en el último miembro de la desigualdad anterior, llegamos a que

$\prod_{i=0}^k(a_i+1)\leq 1+n+a_k\left(\sum_{i=0}^{k-1}a_i\cdot 10^i-(10^k-1)\right)\leq 1+n.$

Observemos que en la última desigualdad se ha usado que $\sum_{i=0}^{k-1}a_i\cdot 10^i\leq 10^k-1$ ya que $10^k-1$ es el número formado por $k$ nueves y $\sum_{i=0}^{k-1}a_i\cdot 10^i$ es un número de $k$ cifras.

Con eso queda probada la desigualdad. Ahora para que se dé la igualdad, estos dos últimos números de $k$ cifras tienen que ser iguales y de ahí que, si para cierto número natural se alcanza la igualdad, éste tiene que ser de la forma a99…99. Se comprueba que los números de esta forma la cumplen luego son los únicos.
M | 3 de March de 2012 | 12:14

Otra forma: para $n\geq 1$ definimos $f(n)=2^{a(1)} \cdot 3^{a(2)} \cdot \ldots \cdot 10^{a(9)}$ . Claramente, si $n$ posee únicamente un dígito, entonces $f(n)= n+1$ . Supongamos la desigualdad cierta para números $a$ de $k$ dígitos, y tomemos $n=10a+b$ , siendo $0\leq b\leq 9$ . Entonces, por definición, $f(n)=(b+1)f(a)$ . Luego, según la hipótesis de inducción,

$f(n)\leq (b+1)(a+1)\leq 10a+b+1=n+1.$

Además, la anterior desigualdad se satisface con igualdad sii $f(a)=a+1$ y $b=9$ . Por inducción, tenemos entonces que la desigualdad del enunciado se cumple con igualdad únicamente para números de la forma $a$ y $a9\ldots 9$ , con $1\leq a \leq 9$ .