Número de Dudeney

Hace ya tiempo hablamos de una lista de tipos de números, en la cual se exponían un montón de tipos de números.

Hoy toca explicar uno que me he encontrado de casualidad en la wikipedia, el número de Dudeney.

Este es un número entero que es un cubo perfecto y, a su vez, la suma de los dígitos que componen dicho número da como resultado la raíz cúbica de dicho número. El nombre viene de Henry Dudeney, que observó la existencia de estos números en uno de sus rompecabezas.

En la siguiente tabla se muestran algunos, supongo que habrá más, de estos números:

Cubo perfecto Suma de sus dígitos
1 = 1 x 1 x 1 1 = 1
512 = 8 x 8 x 8 8 = 5 + 1 + 2
4913 = 17 x 17 x 17 17 = 4 + 9 + 1 + 3
5832 = 18 x 18 x 18 18 = 5 + 8 + 3 + 2
17576 = 26 x 26 x 26 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19683 = 27 x 27 x 27 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

(Vía Wikipedia)

Autor: fran

14 Comentarios

  1. Pues no lo veo tan claro… el número que elevamos al cubo (el 8 para el 512, 17 para 4913, etc) crece mucho más deprisa que la suma de las cifras.

    Además hay una curiosidad muy interesante, no he podido demostrar porqué (aún… es que estoy estudiando), pero todas las sumas de las cifras de los cubos perfectos obtenidos a partir de la sucesión: x1 = 3, xn = x(n-1) + 3, son múltiplos de 9.

    Para muestra un botón:
    3³ = 27, 2+7 = 9
    6³ = 216, 2+1+6 = 9

    15³ = 3375, 3+3+7+5 = 18 = 9*2

    27³ = 19683, 1+9+6+8+3 = 27 = 9*3
    30³ = 27000, 2+7+0+0+0 = 9

    162³ = 4251528, 4+2+5+1+5+2+8 = 27

    4395³ = 84893929875, … = 72 = 9*8

    Seguro que ya está demostrado por alguna parte, “la suma de las cifras del cubo de todo múltiplo de 3 es múltiplo de 9”

    evidentemente (o eso creo) tiene mucho que ver con el hecho de que las cifras de todo múltiplo de 3 suman un múltiplo de 3…

    Además se ve cierta regularidad en los números intermedios, así que fijo que hay alguna forma de identificar cómo aumentan y así averiguar la relación con el número inicial 🙂

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  2. mimetist el hecho de que la suma de las cifras del cubo de todo múltiplo de 3 sea múltiplo de 9 es evidente: si elevamos al cubo un múltiplo de 3 el resultado es claramente múltiplo de 9 (el 3 aparecerá en su descomposición en factores primos un mínimo de 3 veces), y se tiene que todo múliplo de 9 cumple que la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

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  3. mimetist no sé si lo que diré será una idiotez (muy propio en mí) o será tan claro que te fastidiaría tu curiosidad. Así que ahí va:

    Tu sucesión saca números múltiplos de 3, ya que lo único que hace es sumar 3 más 3 más 3 (“n” veces) más 3, con lo cual obtienes un número múltiplo de 3, ahora lo elevas al cubo, por lo que multiplicas el mismo número, que es múltiplo de 3, justamente 3 veces, con lo que el resultado del cubo seguirá siendo múltiplo de 3, lo de que sea múltiplo de 9 será resultado de que es un cubo de un número múltiplo de 3, incluso me atrevería a decir que a lo mejor al elevar a la sexta (o a la novena) te dan múltiplos de 27. Por ahí sí sería interesante una demostración.

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  4. Diamond se me adelantó, es lo que pasa por estar estudiando y a la vez viendo el correo. 😛

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  5. jaja, desde mi ignorancia parecía mucho más curioso 😀 ya dije que intuía que tenía algo que ver con eso jejeje.

    Y qué hay de los que no son múltiplos de 3… ¿alguno sabe porqué a veces se repiten algunas cadenas?

    Bueno, pero pa’mi que la cantidad de números de Dudeney son finitos. 😀
    Aquí va mi idea:
    Los números de dos cifras son todos menores que 100, por tanto: 100³ es mayor que sus cubos. el resultado es: 1000000. Por tanto ningún número mayor que 54 puede cumplir los requisitos.

    Si aumentamos a 3 cifras (y con el mismo razonamiento), tenemos que ningún número superior a 81, ya que 1000³ = 1000000000, por tanto todos los cubos de 3 cifras son menores que 999.999.999, cuya suma es 81. (pero este número es de 2 cifras, por lo que no hay números de 3 cifras que cumplan los requisitos).

    De hecho, a medida que aumentamos una cifra… la cota superior de la suma de las cifras sólo aumenta 27 unidades, por lo que nunca podrá haber números de más de 2 cifras… y de estos ninguno podrá ser mayor que 54. Pero los únicos que cumplen esos requisitos son los que se citan en el post.

    (espero no haberme equivocado) 🙂

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  6. ue, me he comido la mitad de la explicación… aunque luego se ve claramente.

    Cuando digo que ningún número mayor que 54 puede cumplir los requisitos, lo digo porque si 100³ es 1.000.000, entonces 999.999 es mayor que el cubo de todos los demás, pero 9+9+9+9+9+9 = 54. El mayor número de Dudeney posible (con dos cifras) sería el correspondiente a 54³, pero no es el caso.

    Lo siento, sé que me explico peor que mal.

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  7. La verdad es que tengo algo para comentar, y no se donde hacerlo… la idea es esta:

    1^2=1
    11^2=121
    111^3=12321
    1111^4=1234321

    Nada… solo eso, es simpático.

    P.D.: Muy buena la página…

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  8. ¿es pi + 1 racional?¿por qué?
    ¿como se deduce del papiro de Rhind que los egipcios aproximaban pi como 256
    81

    ¿el cuadrado de un número es múltiplo de 5 entonces el número es múltiplo de 5?

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  9. 1º NO.
    Porque pi es trancendental, y eso significa que no es un número algebraico. Y por lo tanto, aplicando la definición de número algebraico sabemos que NO existe una ecuación polinómica racional que sea resuelta por pi.

    La demostración la haré por reducción al absurdo
    Si suponemos que pi+1 es racional, entonces también es algebraico (todos los racionales son algebraicos) y por lo tanto existirá un polinomio z talque z=pi+1.
    Ahora restamos 1 a ambos lados y tenemos que existe un polinomio z-1 tal que z-1=pi, que indicaría que pi es un número algebraico. Como sabemos que esto es imposible, entonces hemos llegado a una contradición que demuestra que nuestra hipótesis inicial (pi+1 es racional) es falsa y por lo tanto es verdadera su negación (pi+1 NO es racional)

    2º Creo recordar que hay un problema que para calcular un área circular hablan de un cuadrado de lado igual a 8/9 veces el diámetro, y de ahí luego nosotros deducimos que si ellos hubieran tenido el concepto de pi (que no lo tenían) entonces ellos habrían dado a pi ese valor.

    3º Sí. Como el 5 es un número primo, si el cuadrado es múltiplo de 5 es que dicho cuadrado tiene el 5 como factor primo, y por lo tanto dicho factor solo ha podido ser aportado por el número que luego elevamos al cuadrado.

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  10. Perdón, un purista podría (con toda la razón del mundo) poner objeciones a la demostración de que pi+1 es racional.

    Supongamos que pi+1 es racional,
    entonces pi+1 es trascendental,
    entonces existe un polinomio del tipo
    a_n(pi+1)^(b_n) + a_(n-1)(pi+1)^(b_(n-1)) + a_(n-2)(pi+1)^(b_(n-2)) + …. + a_1 (pi+1) = x
    donde todos los a, todos los b y x son racionales.

    Desarrollando los diferentes (pi+1)^b, y apartando todos los 1, obtendríamos otro polinomio del tipo
    a_n(pi)^(b_n) + a_(n-1)(pi)^(b_(n-1)) + a_(n-2)(pi)^(b_(n-2)) + …. + a_1 (pi) = z con factores, exponentes y z racionales. Pero esto implicaría que pi es algebraico y eso es imposible porque sabemos que pi es trascendental.

    Y por lo tanto la hipótesis inicial (pi+1 es racional) es falsa y su negación verdadera.

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  11. Creo que fue Pasteur quien dijo «lo siento, pero no he tenido tiempo para ser más breve». Pero no es mi caso y yo sí he tenido tiempo para resumir, abreviar y simplificar el problema para el nivel que supongo que precisará nikole para entender la explicación.

    Supongamos que pi+1 es racional, entonces existe un p y q perteneciente a los números naturales tal que pi+1=p/q

    pi+1 = p/q
    pi = p/q + 1
    pi = p/q + q/q
    pi = (p+q)/q

    Como p y q son naturales, entonces existe un p’ natural tal que p’=p+q
    Reemplazando p’ por p+q en la ecuación anterior …
    pi = (p+q)/q
    pi = p’/q con p’ y q naturales (y por lo tanto p’/q es racional).
    Como sabemos que esto es imposible (pi es irracional) entonces llegamos a contradicción que nos indica que nuestro supuesto inicial (pi+1 es racional) es falso y su negación verdadera.

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  12. Ni que yo estuviera borracho. Espero que ^DiAmOnD^ arregle el desaguisado.

    pi+1 = p/q
    pi = p/q – 1
    pi = p/q – q/q
    pi = (p-q)/q

    p/q \in Q* \Rightarrow (p-q)/q \in Q* \Rightarrow pi \in Q*. Lo cual sabemos que es falso.

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