pi+1 = p/q
pi = p/q – 1
pi = p/q – q/q
pi = (p-q)/q

p/q \in Q* \Rightarrow (p-q)/q \in Q* \Rightarrow pi \in Q*. Lo cual sabemos que es falso.

Supongamos que pi+1 es racional, entonces existe un p y q perteneciente a los números naturales tal que pi+1=p/q

pi+1 = p/q
pi = p/q + 1
pi = p/q + q/q
pi = (p+q)/q

Como p y q son naturales, entonces existe un p’ natural tal que p’=p+q
Reemplazando p’ por p+q en la ecuación anterior …
pi = (p+q)/q
pi = p’/q con p’ y q naturales (y por lo tanto p’/q es racional).
Como sabemos que esto es imposible (pi es irracional) entonces llegamos a contradicción que nos indica que nuestro supuesto inicial (pi+1 es racional) es falso y su negación verdadera.

Supongamos que pi+1 es racional,
entonces pi+1 es trascendental,
entonces existe un polinomio del tipo
a_n(pi+1)^(b_n) + a_(n-1)(pi+1)^(b_(n-1)) + a_(n-2)(pi+1)^(b_(n-2)) + …. + a_1 (pi+1) = x
donde todos los a, todos los b y x son racionales.

Desarrollando los diferentes (pi+1)^b, y apartando todos los 1, obtendríamos otro polinomio del tipo
a_n(pi)^(b_n) + a_(n-1)(pi)^(b_(n-1)) + a_(n-2)(pi)^(b_(n-2)) + …. + a_1 (pi) = z con factores, exponentes y z racionales. Pero esto implicaría que pi es algebraico y eso es imposible porque sabemos que pi es trascendental.

Y por lo tanto la hipótesis inicial (pi+1 es racional) es falsa y su negación verdadera.

La demostración la haré por reducción al absurdo
Si suponemos que pi+1 es racional, entonces también es algebraico (todos los racionales son algebraicos) y por lo tanto existirá un polinomio z talque z=pi+1.
Ahora restamos 1 a ambos lados y tenemos que existe un polinomio z-1 tal que z-1=pi, que indicaría que pi es un número algebraico. Como sabemos que esto es imposible, entonces hemos llegado a una contradición que demuestra que nuestra hipótesis inicial (pi+1 es racional) es falsa y por lo tanto es verdadera su negación (pi+1 NO es racional)

2º Creo recordar que hay un problema que para calcular un área circular hablan de un cuadrado de lado igual a 8/9 veces el diámetro, y de ahí luego nosotros deducimos que si ellos hubieran tenido el concepto de pi (que no lo tenían) entonces ellos habrían dado a pi ese valor.

3º Sí. Como el 5 es un número primo, si el cuadrado es múltiplo de 5 es que dicho cuadrado tiene el 5 como factor primo, y por lo tanto dicho factor solo ha podido ser aportado por el número que luego elevamos al cuadrado.

¿el cuadrado de un número es múltiplo de 5 entonces el número es múltiplo de 5?

1^2=1
11^2=121
111^3=12321
1111^4=1234321
…

Nada… solo eso, es simpático.

P.D.: Muy buena la página…

Cuando digo que ningún número mayor que 54 puede cumplir los requisitos, lo digo porque si 100³ es 1.000.000, entonces 999.999 es mayor que el cubo de todos los demás, pero 9+9+9+9+9+9 = 54. El mayor número de Dudeney posible (con dos cifras) sería el correspondiente a 54³, pero no es el caso.

Lo siento, sé que me explico peor que mal.

Y qué hay de los que no son múltiplos de 3… ¿alguno sabe porqué a veces se repiten algunas cadenas?

Bueno, pero pa’mi que la cantidad de números de Dudeney son finitos.
Aquí va mi idea:
Los números de dos cifras son todos menores que 100, por tanto: 100³ es mayor que sus cubos. el resultado es: 1000000. Por tanto ningún número mayor que 54 puede cumplir los requisitos.

Si aumentamos a 3 cifras (y con el mismo razonamiento), tenemos que ningún número superior a 81, ya que 1000³ = 1000000000, por tanto todos los cubos de 3 cifras son menores que 999.999.999, cuya suma es 81. (pero este número es de 2 cifras, por lo que no hay números de 3 cifras que cumplan los requisitos).

De hecho, a medida que aumentamos una cifra… la cota superior de la suma de las cifras sólo aumenta 27 unidades, por lo que nunca podrá haber números de más de 2 cifras… y de estos ninguno podrá ser mayor que 54. Pero los únicos que cumplen esos requisitos son los que se citan en el post.

(espero no haberme equivocado)